1 UVOD
Lipidni dvosloj je preprost model celične membrane [1],
[2], [3], [4], zato ga uporabljamo kot osnovni gradnik
pri proučevanju lastnosti celičnih membran, tako pri
poskusih [5], [6] kot v teoretičnih modelih. Teoretični
modeli temeljijo na simulacijah molekularne dinamike
[7], [8] in obravnavajo dinamične razmere, obstajajo pa
tudi posplošeni modeli [9], [10], [11], ki obravnavajo
statične razmere. Celično membrano večinoma sesta-
vljajo fosfolipidne molekule, ki so sestavljene iz polarne
Prejet 20. april, 2014
Odobren 28. maj, 2014
glave in dveh nepolarnih repov. Predstavnik fosfolipidov
je tudi zwitterionska lipidna molekula.
Zwitterionsko membrano sestavljajo zwitterionske li-
pidne molekule, katerih glave tvorita dve nasprotno
naelektreni atomski skupini. Bliže repom se nahaja
negativno naelektrena fosfatna skupina, bolj oddaljena
pa je pozitivno naelektrena amino skupina. Ob do-
tiku zwitterionske lipidne molekule s polarno raztopino
soli se zwitterionska lipidna molekula orientira tako,
da se repi obrnejo stran od raztopine soli, negativno
naelektreni deli glav so v stiku z raztopino, pozitivni
deli glav pa prodrejo v njeno notranjost [4], [12]. S
stališča elektrostatike lahko stik zwitterionske lipidne
molekule z raztopino soli obravnavamo kot negativno
naelektreno površino, pozitivno naelektrene dele glav pa
kot pozitivno naelektreno površino [1], [12].
Soli natrijevega klorida in kalcijevega klorida v vodni
raztopini disocirata na katione (Na+), anione (Cl−) in
divalentne katione (Ca++). Gre za naelektrene prosto gi-
bajoče se delce, katerih porazdelitev med nanodelcem in
zwitterionsko membrano lahko izračunamo. Porazdelitev
je odvisna od razdalje med nanodelcem in membrano
Dnp (slika 1). Prisotnost kalcija v bližini zwitterionske
membrane zmanjša njeno fluidnost in naj bi vplivala na
fuzijo membrane [13], [14], prisotnost nanodelca pa naj
bi vplivala na povečanje fluidnosti membrane. Povečanje
fluidnosti membrane omogoča ionski transport, celično
rast in celično komunikacijo [15], [16].
154 MESAREC, VELIKONJA, IGLIČ
2 TEORETIČNI MODEL
Interakcijo med zwitterionsko membrano in nanodel-
cem, med katerima je raztopina natrijevega klorida ter
kalcijevega klorida, teoretično opišemo s pomočjo spre-
menjenega Langevin-Poisson-Boltzmannovega (MLPB)
modela [9], [11], [17]. MLPB model upošteva nasičenje
in polarizacijo dipolov vodnih molekul [1], [9], [10],
[18] v bližini naelektrene površine in končni volumen
lipidnih glav [11]. Model ne upošteva končnih volumnov
preostalih delcev.
np
Slika 1: Shematska predstavitev modela za obravnavo razmer
med zwitterionsko membrano in pozitivno naelektrenim na-
nodelcem, med katerima je raztopina soli, ki vsebuje katione
(Na+), anione (Cl−) in divalentne katione (Ca++). Negativni
deli glav na razdalji x = 0 predstavljajo negativno naelektreno
površino z negativno površinsko gostoto elektrine σ1. D je
razdalja med nasprotno naelektrenima deloma v glavi, σ2 je
površinska gostota elektrine nanodelca, ω je orientacijski kot
glave posamezne zwitterionske molekule, Dnp pa je razdalja
med nanodelcem in negativno naelektreno površino pri x = 0.
Poissonovo enačbo zapišemo kot:
d
dx
[
ε0εr(x)
dϕ(x)
dx
]
= 2e0n0 sinh(e0ϕ(x)β)
+2e0m0
[
ee0ϕβ − e−2e0ϕβ
]
−
e0P(x)
Da0
, (1)
kjer je ϕ(x) električni potencial, ε0 dielektrična kon-
stanta vakuuma, εr(x) relativna dielektričnost raztopine
soli in kalcijevega klorida, e0 osnovni naboj, n0 rav-
novesna koncentracija natrijevega klorida, ko ni vpliva
zwitterionske membrane ali nanodelca, m0 ravnovesna
koncentracija kalcijevega klorida, ko ni vpliva zwitteri-
onske membrane ali nanodelca, β = 1/kT , k je Bol-
tzmannova konstanta, T temperatura, P(x) je funkcija
gostote verjetnosti za kot ω (slika 1), D je razdalja med
naboji v lipidnih glavah, a0 pa je površina, ki jo zavzema
ena zwitterionska lipidna molekula. Ravnovesno kon-
centracijo posameznih ionov, ko ni vpliva zwitterionske
membrane ali nanodelca, bomo v nadaljevanju imenovali
kemijska koncentracija (ang. bulk concentration).
Pri reševanju enačbe 1 uporabimo naslednje robne
pogoje:
dϕ
dx
(x = 0) = −
σ1
ε0 εr(x = 0)
, (2)
dϕ
dx
(x = Dnp) =
σ2
ε0 εr(x = Dnp)
, (3)
ϕ (x = D−) = ϕ (x = D+) , (4)
dϕ
dx
(x = D−) =
dϕ
dx
(x = D+) . (5)
Enačba 2 definira prvi robni pogoj, ki določa, da je
površinska gostota elektrine na razdalji x = 0 enaka
σ1 = −e0/a0. Enačba 3 definira drugi robni pogoj, ki
določa, da je površinska gostota elektrine na razdalji x =
Dnp enaka σ2, kar ustreza površinski gostoti elektrine
nanodelca (slika 1). Enačbi 4 in 5 zagotavljata zveznost
električnega polja in potenciala na koncu zwitterionskih
lipidnih glav v točki x = D. Razdalji D+ in D−
ponazarjata razdaljo D z leve in desne strani, uporabimo
ju le zato, ker pri numeričnem reševanju območje med
x = 0 in x = Dnp razdelimo na dva dela, 0 ≤ x ≤ D
in D < x ≤ Dnp.
Enačbo 1 smo reševali numerično s pomočjo stan-
dardne funkcije za reševanje diferencialne enačbe z več
robnimi pogoji (bvp4c) v programskem paketu Ma-
tlab2012b. Vrednosti εr(x) in P(x) smo izračunali v
iteracijskem postopku zunaj funkcije bvp4c. V MLPB
modelu je εr(x) podana takole [9], [11]:
εr(x) = n
2 +
n0wp0
ε0
(
2 + n2
3
)
L(γp0E(x)β)
E(x)
, (6)
kjer je n lomni količnik vode, n0w koncentracija vodnih
molekul, p0 dipolni moment vode, L(u) = (coth(u) −
1/u) Langevinova funkcija, γ = (3/2)((2 + n2)/3),
E(x) = |ϕ(x)′| pa je velikost električnega polja. V
modelu je upoštevan končni volumen lipidnih glav, zato
ima funkcija verjetnostne gostote naslednjo obliko [11]:
P(x) = Λ
α exp(−e0ϕ(x)β)
α(exp(−e0ϕ(x)β) + 1)
, (7)
kjer je α razmerje med pozitivno naelektrenimi deli glav
in vsemi delci v območju glav (glej sliko 1). Vrednost Λ
v iteracijah popravljamo tako dolgo, dokler ni zadoščeno
normalizacijskemu pogoju:
1
D
∫ D
0
P(x)dx = 1. (8)
Rešitev enačbe 1 je električni potencial ϕ(x), s pomočjo
katerega izračunamo poteke koncentracij posameznih
ionov. Končnih volumnov ionov ter vodnih molekul ne
upoštevamo, zato predpostavimo, da se kationi, anioni
ZWITTERIONSKA MEMBRANA V DOTIKU Z RAZTOPINO SOLI IN KALCIJEVEGA KLORIDA 155
in divalentni kationi, porazdelijo v skladu z Boltzman-
novimi porazdelitvenimi funkcijami:
n+(x) = n0 exp(−e0ϕ(x)β) , (9)
n−(x) = (n0 + 2m0) exp(e0ϕ(x)β) , (10)
m++(x) = m0 exp(−2e0ϕ(x)β) . (11)
V našem primeru n+(x) predstavlja potek koncentracije
kationov (Na+), n−(x) potek koncentracije anionov
(Cl−) in m++(x) potek koncentracije divalentnih ka-
tionov (Ca++).
3 REZULTATI IN DISKUSIJA
Pri numeričnem reševanju enačbe 1 smo za nekatere
parametre v vseh primerih izbrali enake vrednosti. Za
T smo izbrali sobno temperaturo T = 298 K, koncen-
tracijo vodnih molekul smo določili iz eksperimentalnih
podatkov n0w/NA = 55 mol/l, prav tako razdaljo med
nabojema v lipidnih glavah D = 0, 42 nm. Vrednost
p0 = 3, 1 Debye določimo tako, da dobimo za vrednost
εr (enačba 6) daleč stran od membrane pri sobni tem-
peraturi vrednost 78, 5, kar se sklada z eksperimenti.
Parameter α = 0, 5 smo izbrali tako, da dobimo dobro
ujemanje s simulacijami molekularne dinamike [11].
Površino na eno lipidno molekulo a0 = 0, 60 nm2
smo določili iz eksperimentalnih podatkov, n = 1, 33
je lomni količnik vode, NA pa Avogadrovo število.
Drugi parametri so za posamezne primere različni, zato
so podani pod slikami. Kemijsko koncentracijo soli
spreminjamo okoli fiziološke vrednosti, drugi parametri
pa so določeni tako, da so čim bližje eksperimentalnim
podatkom.
Pri prvem primeru (slika 2) spreminjamo kemijsko
koncentracijo natrijevega klorida, pri konstantni kemijski
koncentraciji kalcijevega klorida. Na grafu opazimo, da
se kationi naberejo v okolici nanodelca in v okolici
negativno nabite površine na razdalji x = 0. Podobno
velja za divalentne katione. Ob nanodelcu se nabere več
kationov kot ob negativno nabiti površini. Razlog za to
so lipidne glave, ki so v bližini negativno nabite površine
in so pozitivno nabite. Te glave imajo dovolj velik vpliv,
da iz svoje okolice izrinejo precejšen delež kationov.
V okolici lipidnih glav pa se po pričakovanjih naberejo
anioni, kar opazimo na srednjem grafu na sliki 2. Tik
ob obeh negativno nabitih površinah je koncentracija
anionov miniminalna. Povečevanje n0 na sam potek kon-
centracij nima bistvenega vpliva. Opazimo, da se grafi
potekov koncentracij kationiov (n+) in anionov (n−)
pomaknejo k višjim vrednostim, saj s povečevanjem
n0 povečamo kemijski koncentraciji kationov in ani-
onov. S povečevanjem n0 ne povečamo le kemijske
koncentracije divalentnih kationov, zato so spremembe
minimalne pri poteku koncentracije divalentnih kationov
(m++). Na spodnjem grafu na sliki 2 opazimo le, da
Slika 2: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posameznih
delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer: Dnp =
12 nm, σ2 = 0, 5 σ1. Kemijska koncentracija kalcijevega
klorida je konstantna: m0/NA = 0, 01 mol/l, spreminjamo le
kemijsko koncentracijo natrijevega klorida n0. Z n+ označimo
potek koncentracije kationov (Na+), z n− potek koncentracije
anionov (Cl−) in z m++ potek koncentracije divalentnih
kationov (Ca++).
se s povečevanjem n0 rahlo zmanjšuje koncentracija
divalentnih kationov tik ob nanodelcu.
V drugem primeru (slika 3) spreminjamo kemijsko
koncentracijo kalcijevega klorida pri konstantni kemij-
ski koncentraciji natrijevega klorida. V tem primeru
ostane konstantna le kemijska koncentracija kationov.
S povečevanjem m0 povečamo kemijski koncentraciji
anionov in divalentnih kationov. Na srednjem grafu na
sliki 3 ponovno opazimo kopičenje anionov v območju
lipidnih glav. Nanodelec je v tem primeru nevtralen,
zato se v njegovi okolici ne dogaja nič posebnega.
Večina pozitivnih ionov (n+, m++) se nakopiči pri
negativno naelektreni površini na razdalji x = 0. Na
zgornjem grafu na sliki 3 opazimo, da povečevanje m0
vpliva tudi na sam potek koncentracije kationov (n+). S
povečevanjem m0 se koncentracija kationov na razdalji
x = 0 zmanjšuje, hkrati pa se v bližini nanodelca
156 MESAREC, VELIKONJA, IGLIČ
Slika 3: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posameznih
delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer: Dnp =
1, 5 nm, σ2 = 0. Kemijska koncentracija natrijevega klorida
je konstantna: n0/NA = 0, 1 mol/l, spreminjamo le kemijsko
koncentracijo kalcijevega klorida m0. Z n+ označimo potek
koncentracije kationov (Na+), z n− potek koncentracije anio-
nov (Cl−) in z m++ potek koncentracije divalentnih kationov
(Ca++).
povečuje. Spreminjanje m0 pri konstantni n0 torej vpliva
tudi na poteke koncentracij posameznih ionov, česar v
prejšnjem primeru nismo opazili.
Primer na sliki 4 je podoben tistemu na sliki 3, le
da imamo sedaj pozitivno nabit nanodelec. Na srednjem
grafu na sliki 4 opazimo, da maksimum koncentracije
anionov (n−) v okolici lipidnih glav ni več tako izrazit,
saj se le-ti naberejo v bližini pozitivno naelektrenega
nanodelca. Razlog, da se večina anionov nabere v okolici
nanodelca in ne v območju lipidnih glav, je v tem, da je v
bližini lipidnih glav tudi negativno naelektrena površina,
ki anione odbija. Na spodnjem grafu na sliki 4 opazimo,
da se večina divalentnih kationov (m++) nabere v
okolici negativno nabite površine na razdalji x = 0.
Podobno velja za katione (n+), vendar je tam potek
koncentracije precej odvisen tudi od m0, kar opazimo
na zgornjem grafu na sliki 4. S povečevanjem m0 se v
Slika 4: Na grafih so prikazani poteki koncentracij posame-
znih delcev med lipidnim slojem in nanodelcem, za primer:
Dnp = 1, 5 nm, σ2 = −0, 5 σ1. Kemijska koncentracija
natrijevega klorida je konstantna: n0/NA = 0, 1 mol/l, spre-
minjamo le kemijsko koncentracijo kalcijevega klorida m0. Z
n+ označimo potek koncentracije kationov (Na+), z n− potek
koncentracije anionov (Cl−) in z m++ potek koncentracije
divalentnih kationov (Ca++).
območju med lipidnimi glavami in nanodelcem pojavi
lokalni maksimum koncentracije kationov. Kationi se v
tem območju začnejo nabirati zato, ker s povečevanjem
m0, povečamo kemijsko koncentracijo divalentnih kati-
onov, ki se naberejo tik ob negativni površini in od tam
izrinejo monovalentne katione.
Povprečni kot lipidnih glav je odvisen od naelektre-
nosti nanodelca. Kot je manjši, tedaj ko ima naboj
nanodelca nasproten predznak kot naboj lipidnih glav.
V tem primeru nanodelec privlači lipidne glave, zato
se bolj odprejo. Mejni primer je popolnoma poravnana
lipidna glava (ω = 0), kar je prikazano na sliki 1.
Na sliki 5 opazimo, da je povprečni kot lipidnih glav
pri konstantni koncentraciji n0 odvisen od koncentra-
cije m0. Na grafu (slika 5) vidimo, da je povprečni
kot lipidnih glav pri pozitivno naelektrenem nanodelcu
(σ2 = −0, 5 σ1) večji kot pri negativno naelektrenem
ZWITTERIONSKA MEMBRANA V DOTIKU Z RAZTOPINO SOLI IN KALCIJEVEGA KLORIDA 157
Slika 5: Graf prikazuje povprečni kot lipidnih glav v odvisnosti
od kemijske koncentracije kalcijevega klorida m0 za primera
dveh različno nabitih nanodelcev. Parametri so: n0/NA =
0, 1 mol/l, Dnp = 0, 6 nm.
nanodelcu (σ2 = 0, 5 σ1). Pri pozitivnem nanodelcu je
kot večji, saj so tudi lipidne glave pozitivno naelektrene
in se zaradi odbojne sile bolj zaprejo. Negativni nanode-
lec lipidne glave privlači, zato je kot v povprečju manjši.
Povečevanje m0 na kot vpliva tako, da zmanjša razliko
med povprečnima kotoma za različno nabita nanodelca
(slika 5).
Slika 6: Osmotski tlak v odvisnosti od razdalje Dnp za
dva primera kemijskih koncentracij in dva različno nabita
nanodelca.
Osmotski tlak nam pove, kakšna je sila med nano-
delcem in zwitterionsko membrano. Pozitiven osmotski
tlak ponazarja odbojno silo, negativen pa privlačno.
Na grafu (slika 6) prikažemo, kako je osmotski tlak
odvisen od razdalje med nanodelcem in membrano. Pri
pozitivno naelektrenem nanodelcu (σ2 = −0, 5 σ1) je
osmotski tlak pozitiven in se povečuje, če nanodelec
približujemo lipidnim glavam. Pozitiven nanodelec čuti
odbojno silo zaradi pozitivno naelektrenih lipidnih glav.
Negativen nanodelec (σ2 = 0, 5 σ1) v celotnem območju
čuti privlačno silo, ki se povečuje, ko se nanodelec
bliža lipidnim glavam. Sprememba m0 pri konstantni
koncentraciji n0 nima velikega vpliva na osmotski tlak.
Osmotski tlak torej ni močno odvisen od razmerja ke-
mijskih koncentracij kalcijevega in natrijevega klorida.
4 SKLEP
V študiji smo s pomočjo MLPB modela prikazali raz-
mere med zwitterionsko membrano in nanodelcem, med
katerima je raztopina soli in kalcijevega klorida. Iz
rezultatov razberemo, da prisotnost kalcija na razmere
med zwitterionsko membrano in nanodelcem ne vpliva,
če sta ta dva dovolj narazen ali pa če nanodelec sploh
ni prisoten. Primerljive rezultate smo dobili tudi v naših
prejšnjih študijah, v katerih MLPB modeli niso vsebo-
vali kalcijevega klorida [11], [19]. Ko je nanodelec do-
volj blizu zwitterionske membrane, pa prisotnost kalcija
zmanjša vpliv nanodelca na povprečni kot zwitterionskih
glav. Vpliv se s povečevanjem koncentracije kalcijevega
klorida povečuje ne glede na naelektrenost nanodelca.
ZAHVALA
Raziskavo je omogočila Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije (ARRS) v okviru pro-
grama mladih raziskovalcev. A.V. se za finančno pomoč
zahvaljuje tudi podjetju SMARTEH, d.o.o., in Evrop-
skemu socialnemu skladu.
DODATEK
Osmotski tlak
Lokalna vrednost tlaka Ploc je s pomočjo integrira-
nja (glej tudi [19]) izpeljana iz enačbe MLPB modela
(enačba 1). Če nato od lokalne vrednosti tlaka odštejemo
vrednost tlaka, ko ni vpliva Zwitterionske membrane
ali nanodelca Pbulk, dobimo izraz za osmotski tlak:
Π = Ploc − Pbulk. Enačbo 1 lahko zapišemo tudi v
naslednji obliki :
−
d
dx
[
ε0n
2 dϕ
dx
]
−n0wp0
(
2 + n2
3
)
d
dx
L (γp0E(x)β)
+2e0n0 sinh e0ϕβ
+2e0m0
(
ee0ϕ(x)β − e−2e0ϕ(x)β
)
−
e0P(x)
Da0
= 0. (12)
158 MESAREC, VELIKONJA, IGLIČ
Enačbo 12 najprej pomnožimo z ϕ′ ≡ dϕ/dx, nato pa
jo integriramo, da dobimo:
1
2
ε0 n
2E(x)2
−E(x)
(
2 + n2
3
)
n0w p0 L (γp0E(x)β)
+
(
2 + n2
3
)
n0w
γ β
ln
(
sinh(γp0E(x)β)
γp0E(x)β
)
+2n0 kT (cosh(−e0ϕ(x)β))
+
m0
β
(
2ee0ϕ(x)β + e−2e0ϕ(x)β
)
= konst , (13)
kjer je konst lokalna vrednost osmotskega tlaka. Zadnji
člen v enačbi 12 smo zanemarili, saj je definiran le
v območju zwitterionskih lipidnih glav na intervalu
0 ≤ x ≤ D, tlak pa smo vedno računali zunaj območja
zwitterionskih lipidnih glav. Pri izpeljavi enačbe 13 smo
uporabili naslednje relacije:∫
ϕ′′ ϕ′ dx =
∫
1
2
d (ϕ′)2 =
1
2
(ϕ′)2 ,∫
dL
dx
ϕ′ dx = Lϕ′ −
∫
Ldϕ′ ,
ϕ′′ ≡ d2ϕ/dx2 , dϕ = ϕ′ dx . (14)
Osmotski tlak Π = Ploc − Pbulk lahko tako zapišemo
kot [19]:
Π =
1
2
ε0 n
2E(x)2
−E(x)
(
2 + n2
3
)
n0w p0 L (γp0E(x)β)
+
(
2 + n2
3
)
n0w
γ β
ln
(
sinh(γp0E(x)β)
γp0E(x)β
)
+2n0 kT (cosh(−e0ϕ(x)β)− 1)
+
m0
β
(
2ee0ϕ(x)β + e−2e0ϕ(x)β − 3
)
. (15)
Povprečni kot zwitterionskih lipidnih glav
Povprečni kot zwitterionskih lipidnih glav (< ω >)
lahko zapišemo kot normalizirano funkcijo gostote ver-
jetnosti P(x) [11]:
< ω >=
D∫
0
ωP(x)dx
D∫
0
P(x)dx
, (16)
kjer je orientacijski kot posamezne zwitterionske mole-
kule (glej sliko 1):
ω = arccos
( x
D
)
. (17)