1 UVOD
Povratno sipana svetloba (reflektanca) iz biološkega
tkiva je bogata z informacijo o njegovi kemični sestavi
in strukturi. Pri tem lahko absorpcijo svetlobe povežemo
s sestavo glavnih tkivnih kromoforjev (kri, voda, me-
lanin, maščobe, rumeni pigmenti), kompleksni proces
sipanja svetlobe pa z lokalnimi spremembami lomnega
količnika, ki so posledica morfologije in mikrostruk-
ture tkiva [10], [13], [14], [11]. Prostorsko in valovno
razločene meritve povratno sipane svetlobe (reflektance)
lahko učinkovito izvedemo z optičnimi sondami z več
vlakni [5], [12], [8], [2]. Širjenje nepolarizirane sve-
tlobe v sipajočih medijih zadovoljivo dobro opišemo v
okviru enačbe sevalnega prenosa energije (RTE). Zajeto
reflektanco v tem primeru opišemo z absorpcijskim ko-
eficientom µa in sipalnim koeficientom µs, ki določata
atenuacijo kolimiranega snopa svetlobe, ter sipalno fa-
zno (verjetnostno) funkcijo p(s, s′), ki določa verjetnost
sipanja fotona iz vpadne smeri s v smer s′. Pri bioloških
tkivih pogosto predpostavimo izotropnost sipalne fazne
funkcije, ki se tako poenostavi v p(cos θ), kjer θ pomeni
kot med s in s′. V obstoječi literaturi se sipalne lastnosti
tkiv pogosto poenostavljeno podajajo z reduciranim si-
palnim koeficientom µ′s = (1–g)µs, ki povezuje sipalni
koeficient µs in prvi Legnderov moment g (povprečni
kot sipanja) sipalne fazne funkcije [4]. Žal RTE v
splošnem ni analitično rešljiva [7], [6] zato se pri njenem
62 MIRAN BÜRMEN
reševanju najpogosteje poslužujemo stohastičnih simula-
cij Monte Carlo (MC) [15]. Pri tem simulacije dodatno
pohitrimo z uporabo strojne opreme, najpogosteje z
večjedrnimi grafičnimi pospeševalniki [1]. Ko izčrpamo
razpoložljive možnosti za strojno pohitritev simulacij,
nam ostanejo še tiste, ki so vezane na poenostavitve
eksperimentalne geometrije. Pri tem moramo paziti, da
s tovrstnimi poenostavitvami ne vnašamo dodatne ali
prevelike napake v numerične izračune reflektance.
V okviru te študije smo podrobneje proučili možnosti
za dodatne pohitritev Monte Carlo simulacij prostor-
sko razločene reflektance z uporabo omejenega simu-
lacijskega volumna. Pri tovrstni simulacijah prenehamo
slediti vsem fotonom, ki zapustijo izbrano okolico iz-
vornega optičnega vlakna. Pristop je zanimiv predvsem
takrat, ko je vrednost absorpcijskega koeficienta vzorca
nizka, in se posledično fotoni lahko bistveno oddaljijo
od izvornega optičnega vlakna.
2 METODOLOGIJA
Za namene študije smo uporabili polneskončno geo-
metrijo biološkega tkiva in optično vlakneno sondo s
šestimi linearno razporejenimi optičnimi vlakni premera
200 µm in razdaljo med središči vlaken 220 µm. Tako
smo v vsaki simulaciji izračunali reflektanco pri petih
razdaljah med izvornim in sprejemnim vlaknom. Pri tem
smo skrajno levo vlakno uporabili kot izvorno. Vrednost
numerične odprtine (ang. numerical aperture) optičnih
vlaken smo postavili na NA = 0, 22, lomni količnik pa
na nfib = 1, 45. Mejo med optično sondo in tkivom smo
pri izračunih obravnavali lateralno uniformno. V simula-
μa, μs', nt
NA
nf
rt
200 μm
5 x 220 μm
z
Slika 1: Prikaz eksperimentalne postavitve s prečnim prerezom
optične sondo in pripadajočo razporeditev oddajnega (rumeno)
in sprejemnih (modra) optičnih vlaken na naležni površini
cijah Monte Carlo smo začetno pozicijo fotonov vzorčili
enakomerno s prečnega preseka izvornega optičnega
vlakna, začetno smer pa enakomerno iz prostorskega
kota, ki ga omejujeta numerična odprtina vlakna in
lomni količnik tkiva. Postopek naključnega vzorčenja
začetnih pozicij in smeri širjenja fotonov običajno udeja-
njimo s pomočjo generatorja enakomerno razporejenih
psevdonaključnih števil iz intervala [0, 1]. V ta namen
je vsakokrat treba uporabiti nova štiri psevdonaključna
števila, in sicer ξ1 do ξ4. Začetne koordinate (x, y, z)
in smer širjenja fotona (sx, sy, sz) nato določimo po
naslednjih enačbah:
x = x0 + rv
√
ξ1 cos(2πξ2), (1)
y = y0 + rv
√
ξ1 sin(2πξ2), (2)
z = 0, (3)
θNA = 1− ξ4(1− cos arcsin(NA/nt)), (4)
sx = cos(2πξ3) sin(θNA), (5)
sy = sin(2πξ3) sin(θNA), (6)
sz = cos(θNA), (7)
kjer rv pomeni radij x0 in y0 pa koordinati središča
izvornega optičnega vlakna, nt pa lomni količnik opazo-
vanega vzorca. Podrobnejšo geometrijo eksperimentalne
postavitve in optične sonde prikazuje slika 1. Optične
lastnosti tkiva, ki smo jih obravnavali v okviru te študije,
smo izbrali tako, da pokrivajo celoten razpon vrednosti
absorpcijskega in reduciranega sipalnega koeficienta, ki
jih navaja obstoječa literatura [4]. Pri tem smo vrednost
absorpcijskega koeficienta µa spreminjali v razponu od
0 cm−1 do 25 cm−1, vrednosti reduciranega sipalnega
koeficienta µ′s pa v razponu od 5 cm
−1 do 60 cm−1, in
sicer oba s 25 enakomerno razporejenimi koraki. Lomni
količnik biološkega tkiva smo postavili na nm = 1, 33.
V simulacijah MC smo uporabili Henyey-Greenstein
(HG) [3] model sipalne fazne funkcije, ki ga določa
naslednja enačba:
p(cos θ) =
1
2
1− g2
1 + g2 − 2g cos θ
, (8)
kjer θ pomeni kot med smerjo širjenja fotona pred
sipanjem in po njem, parameter g pa faktor anizotropije
sipalne fazne funkcije (povprečna vrednost cos(θ)). Pri
simulacijah z omejenim volumnom tkiva smo prenehali
slediti vsem fotonom, ki so se od izvornega vlakna
oddaljili za več kot rt. Referenčne izračune reflektance
pri vrednosti absorpcijskega koeficienta 0 cm−1 smo iz-
vedli pri veliki vrednosti radija simulacijskega volumna
rt = 30mm. Vsi izračuni reflektance v tej študiji so
bili izvedeni s pomočjo simulacij Monte Carlo podprtih
z OpenClTM vmesnikom. Pri tem smo v eni simulaciji
sledili 108 fotonom. Za določitev reflektance, izmerjene
skozi posamezna optična vlakna, smo izkoristili radialno
simetrijo reflektance in s tem dodatno izboljšali kakovost
signala.
3 REZULTATI
V prvem eksperimentu smo poskušali identificirati ti-
sta področja optičnih lastnosti, pri katerih nastane kot
posledica omejenega simulacijskega volumna največja
VPLIVA SIMULACIJSKEGA VOLUMNA NA NAPAKO IN HITROST IZRAČUNOV 63
napaka pri izračunih reflektance. V ta namen smo upo-
rabili relativno majhen radij simulacijskega volumna
rt = 1.5mm, ki komajda še zaobjame vsa optična
vlakna. Ta lahko v dani geometriji popolnoma zaob-
jamemo s hemisfero radija 1.2mm. Slika 2 prikazuje
relativno napako izračunane reflektance pri vrednosti
radija simulacijskega volumna rt = 1.5mm, in sicer za
najmanjšo (220 µm) in največjo (1100 µm) razdaljo med
izvornim in sprejemnim optičnim vlaknom. Vrednost
faktorja anizotropije g sipalne fazne funkcije HG smo
postavili na g =0.85 Vidimo, da največja relativna
napaka izračunane reflektance nastopi pri nizkih vre-
dnostih absorpcijskega in reduciranega sipalnega koe-
ficienta, in narašča z razdaljo med izvornim in spre-
jemnim vlaknom. Posledično smo v drugem eksperi-
mentu podrobneje proučili vpliv vrednost radija simu-
lacijskega volumna rt na relativno napako izračunane
reflektance. V ta namen smo vrednost absorpcijskega
koeficienta postavili na 0.01 cm−1, vrednost reducira-
nega sipalnega koeficienta pa na 5 cm−1, kar je najnižja
vrednost, ki jo običajno še srečamo med biološkimi
tkivi v vidnem in začetnem bližnjem infrardečem delu
spektra [4]. Vrednost faktorja anizotropije sipalne fa-
zne funkcije smo postavili na 0,85. Slika 3 prikazuje,
kako se relativna napaka izračunane reflektance spre-
minja z radijem simulacijskega volumna rt in razdaljo
med izvornim in sprejemnim optičnim vlaknom. Vi-
dimo, da je relativna napaka izračunane reflektance pri
vseh sprejemnih optičnih vlaknih manjša od 2%, ko
je radij simulacijskega volumna rt približno večji ali
enak 8mm. V naslednjem koraku smo proučili, kako
se relativna napaka reflektance spreminja v odvisnosti
od faktorja anizotropije sipalne fazne funkcije. Slika 4
prikazuje relativno napako reflektance v odvisnosti od
razdalje med izvornim in sprejemnim optičnim vlaknom
za vrednosti faktorja anizotropije med 0,4 in 0,95. Pri
izračunih smo uporabili radij simulacijskega volumna
8mm, vrednost absorpcijskega koeficienta 0.01 cm−1
ter vrednost reduciranega sipalnega koeficienta 5 cm−1.
Za konec smo ocenili še faktorje pohitritve simulacij
Monte Carlo, ki jih dosežemo pri simulacijskem vo-
lumnu rt = 8mm, ko relativna napaka reflektance za
biološko zanimiv nabor optičnih lastnosti ne preseže
2%. Slika 5 prikazuje izračunane faktorje pohitritve pri
vrednosti faktorja anizotropije 0,85.
4 RAZPRAVA
Rezultati eksperimentov kažejo, da lahko z zmanjšanjem
simulacijskega volumna bistveno, tudi do dvakratno,
pohitrimo MC simulacije, ne da bi pri tem bistveno
vplivali na natančnost izračunov reflektance. Praktična
uporaba tovrstnih pohitritev v izbrani geometriji optičnih
vlaken je omejena na vzorce z nizkimi absorpcijskimi
koeficienti (do ≈ 1 cm−1) in vrednostmi reduciranega
sipalnega koeficienta do približno 30 cm−1. Pri tem je
relativna napaka izračunane reflektance le malo odvisna
od faktorja anizotropije sipalne fazne funkcije (slika 4),
hkrati pa močno odvisna od razdalje med izvornim in
sprejemnim optičnim vlaknom (slika 3). V dani ekspe-
rimentalni geometriji lahko pri relativno nizki vredno-
sti absorpcijskega in reduciranega sipalnega koeficienta
dosežemo okoli dvakratno pohitritev izračunov, ne da
bi pri tem relativna napaka reflektance presegla 2%.
Pri naraščajočih vrednostih reduciranega sipalnega ko-
eficienta, pa se pohitritev zmanjša in pri 30 cm−1 znaša
približno 30%. Z optičnimi lastnostmi, ki omogočajo
uporabo tovrstnih pohitritev, se pogosto srečujemo pri
optičnih fantomih, ki so namenjeni za vrednotenje in
umerjanje simulacij Monte Carlo [9]. Slednje pogosto
pripravimo iz vodnih suspenzij polistirenskih mikros-
feričnih delcev, ki brez dodatkov izkazujejo zelo nizek
absorpcijski koeficient. Pri takšnih optičnih lastnostih je
skoraj nujno uporabiti končni simulacijski volumen.
Pred praktično uporabo omejenega simulacijskega vo-
lumna je za izbrano eksperimentalno geometrijo treba
podrobno proučiti vpliv na napako izračunane reflek-
tance. Pri tej se pogosto zadovoljimo z največ 2 odstotno
relativno napako. Glede na prikazane rezultate vidimo,
da je napaka pri izračunih reflektance najmanjša za
visoke vrednosti absorpcijskega koeficienta. Rezultati so
smiselni, saj z naraščajočo absorpcijo fotoni pospešeno
ugašajo in se večina tistih fotonov, ki bi jih pri pol-
neskončni obravnavi medija zaznali skozi sprejemna
optična vlakna, ne uspe dovolj oddaljiti od izvornega
optičnega vlakna, da bi povzročili prekinitev simulacije.
To je tudi razlog, da pri tovrstnih optičnih lastnostih
vzorca zmanjšanje simulacijskega volumna ne vodi do
bistvenih pohitritev simulacij Monte Carlo. Nasprotno
se pri nizki vrednosti absorpcijskega in reduciranega
sipalnega koeficienta, ko medij postaja prosojen, fotoni
uspejo močno oddaljiti od izvornega vlakna. Posledično
lahko z zmanjšanjem simulacijskega volumna bistveno
pohitrimo izračune, a hkrati tudi najhitreje pridelamo
nesprejemljivo veliko napako izračunane reflektance, saj
je delež fotonov, ki zapustijo simulacijski volumen in
bi jih pri polneskončni obravnavi medija zaznali skozi
sprejemna optična vlakna, velik. Naraščanje relativne
napake reflektance z razdaljo med izvornim in spreje-
mnim vlaknom je pričakovano, saj lahko fotoni pri večji
razdalji med izvornim in sprejemnim vlaknom uberejo
daljše poti, še zlasti pri nizkih vrednostih absorpcijskega
koeficienta.
5 SKLEP
V študiji smo pokazali, da lahko s smiselno izbiro
simulacijskega volumna pohitrimo izračune simulacij
MC pri nizkih vrednostih absorpcijskega koeficienta, ne
da bi pri tem bistveno vplivali na natančnost izračunov
reflektance. Faktor pohitritve, ki ga na ta način lahko
dosežemo, je odvisen predvsem od optičnih lastnosti
vzorca in geometrije eksperimentalne postavitve. Na
splošno je najbolje, da pred uporabo natančno ovre-
64 MIRAN BÜRMEN
0
5
10
15
20
25
5 10 20 30 40 50 60
Red.jsipalnijkoeficientjμ
s
'j(cm-1)
A
b
so
rp
ci
js
ki
jk
o
e
fic
ie
n
tj
μ
a
j(
cm
-1
)
5 10 20 30 40 50 60
Red.jsipalnijkoeficientjμ
s
'j(cm-1)
0
10
20
30
50
R
e
la
tiv
n
a
jn
a
p
a
ka
jr
e
fle
kt
a
n
ce
j(
%
)
220jμmj 1100jμmj
2j%
2j%
40
Slika 2: Relativna napaka reflektance pri radiju simulacijskega volumna rt = 1.5mm, prikazana v odvisnosti od absorpcijskega in
reduciranega sipalnega koeficienta za najbližje (levo) in najbolj oddaljeno sprejemno optično vlakno (desno). Kontura razmejuje
območje z relativno napako reflektance, manjšo od 2%
10
15
20
5
0
5 10 15 200
Radij6simulacijskega6volumna6rt6(mm)
R
e
la
tiv
n
a
6n
a
p
a
ka
6r
e
fle
kt
a
n
ce
6(
-
)
~86mm
2206μm
4406μm
6606μm
8806μm
11006μm
Razdalja6med6izvornim6
in6sprejemnim6vlaknom:
26-
g6=60,85
μa6=60,016cm
-1
μs'6=656cm
-1
Slika 3: Relativna napaka izračunane reflektance v odvisnosti
od radija simulacijskega volumna rt pri vrednosti absorpcij-
skega koeficienta 0.01 cm−1, reduciranega sipalnega koefici-
enta 5 cm−1 ter faktorja anizotropije 0,85
Razdaljafmedfizvornimfinfsprejemnimfvlaknom:
220fμm 440fμm 660fμm
880fμm 1100fμm
0
1
2
3
4
-1
5
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
R
e
la
tiv
n
a
fn
a
p
a
ka
fr
e
fle
kt
a
n
ce
f(
F
)
Faktorfanizotropijefg
rtf=f8fmmμaf=f0,01fcm
-1
μs'f=f5fcm
-1
Slika 4: Relativna napaka reflektance v odvisnosti od razdalje
med izvornim in sprejemnim optičnim vlaknom za vrednosti
faktorja anizotropije med 0,4 in 0,95 pri absorpcijskem koefi-
cientu 0.01 cm−1, reduciranem sipalnem koeficientu 5 cm−1
in radiju simulacijskega volumna rt =8mm
0
5
10
15
20
25A
b
so
rp
ci
js
ki
'k
o
e
fic
ie
n
t'
μ
a
'(
cm
-1
)
10 20 30 40 50 60
Red.'sipalni'koeficient'μs''(cm
-1)
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
F
a
kt
o
r'
p
o
h
itr
itv
e
'p
ri
'r
t'=
'8
'm
m
5
Slika 5: Faktor pohitritve simulacij Monte Carlo kot posledica
zmanjšanja simulacijskega volumna pri rt = 8mm. Vrednost
faktorja anizotropije g je bila pri izračunih 0,85
dnotimo vpliv zmanjšanega simulacijskega volumna za
izbrano eksperimentalno geometrijo in pričakovani raz-
pon optičnih lastnosti proučevanih vzorcev. Na podlagi
rezultatov lahko nato določimo najmanjši simulacijski
volumen, ki nam daje še zadovoljivo točne izračune
reflektance.
ZAHVALA
Raziskavo sta omogočila Ministrstvo za visoko šolstvo,
znanost in tehnologijo Republike Slovenije v okviru
programa P2-0232 in Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije v okviru projektov J2-
7211, J7-6781, J2-7211 in J2-7118.