1 Uvod
Stereoskopija je veda, ki se ukvarja s slikami, ki nam
vzbudijo občutek tridimenzionalnega prostora.
Stereoskopske slike so vedno posnete v parih,
posamezni sliki v paru pa prikazujeta isti motiv, zajet iz
različnih položajev oziroma iz različnih zornih kotov.
Obstoji več metod zajema stereoskopskih posnetkov.
Prvotno so v ta namen uporabljali stereoskopske
kamere, danes pa so najbolj razširjeni stereoskopski
sistemi. V prvem primeru gre za posebno kamero z
dvema lečama, v drugem primeru pa za kombinacijo
dveh kamer, ki ju združimo na vodilu.
Podaki o stereoskopskem sistemu in informacije, ki
jih dobimo na podlagi analize stereoskopskih slik,
omogočajo izračun razdalje med stereoskopskim
Prejet 3. junij, 2009
Odobren 28. november, 2009
44  Mrovlje
sistemom in poljubnim objektom v zajetem motivu
(prostoru). Napake optičnega sistema kamer se prek
geometrijskega popačenja slik odražajo na izračunani
razdalji. Vpliv distorzije na razdalje, izračunane s
pomočjo takšnih stereoskopskih slik, je predmet analize
tega članka.
2 Napake optičnega sistema
Napake optičnega sistema, ki nastajajo na zajetih slikah,
v odločilni meri vplivajo na kakovost in geometrijo slik,
prek tega pa tudi na izračunane razdalje. Med
najpomembnejše napake optičnega sistema prištevamo
sferično in kromatično aberacijo ter distorzije.
Kromatična aberacija je napaka leč, zaradi katere so
predmeti na slikah obrobljeni z mavričnimi barvami.
Napaka je posledica disperzije, nastane pa zaradi
različnega loma svetlobe posameznih valovnih dolžin.
Sferična aberacija povzroči zmanjševanje ostrine slike
proti robovom, medtem ko je v sredini slika ostra.
Vzrok zanjo je različno lomljene svetlobnih žarkov na
neidealni površini leče. Žarki, ki vpadajo na  lečo blizu
sredine, se lomijo v točko, ki na goriščnici leži dlje od
točke, v katero se lomijo žarki, ki vpadajo na lečo na
robovih. Goriščnica ni strogo definirana točka.
Omenjeni napaki bolj kot na geometrijo slike vplivata
na njeno kakovost [6].
Radialna distorzija ali ukrivljenost slikovnega polja
je ena najbolj dominantnih napak optičnega sistema in
močno popači geometrijo zajetega motiva. Ločimo dve
obliki radialne distorzije, in sicer »blazino« (angl.
pincushion) ter »sodček« (angl. barrel). Pojav blazine
upogne ravne linije proti središču slike, pojav sodčka pa
proti robovom slike. Medtem ko je pojav blazine
značilen za telefotoobjektive, se pojav sodček pojavlja
pri širokokotnih objektivih [8]. Slika 1 prikazuje obe
obliki radialne distorzije.
Tangencialna distorzija je posledica nenatančnega
centriranja lečja objektiva glede na slikovni senzor.
3 Kalibracija in model distorzije
Napako distorzije v slikah lahko odpravimo
matematično. V ta namen moramo poznati koeficiente
distorzije, ki jih izračunamo s postopkom kalibracije
kamere. V literaturi najdemo več metod kalibracije,
večini pa je skupno kalibracijsko polje – mreža točk z
znanimi koordinatami. Na podlagi znanih dejanskih
koordinat točk kalibracijskega polja in na zajetih slikah
izmerjenih koordinat točk istega polja izračunamo
koeficiente radialne in tangecialne distorzije.
Postopek kalibracije smo izvedli ločeno za obe
kameri stereoskopskega sistema (kameri tipa Canon
PowerShot A640). Pri tem smo se poslužili prosto
dostopnega orodja za kalibracijo kamer »Camera
Calibration Toolbox for Matlab« [7]; S posamezno
kamero smo zajeli 20 slik kalibracijskega polja (tabla z
vzorcem šahovnice) v različnih orientacijah. Znotraj
kalibracijskega polja smo na zajetih slikah poiskali
kalibracijske točke (presečišča belih in črnih polj).
Dejanske koordinate točk kalibracijskega polja smo
definirali z velikostjo  in številom polj šahovnice.
Za opis distorzije smo uporabili v orodju privzeti
Brownov »Plumb Bob« model distorzije:
,
)4(2)2)(3(
)2)(4()3(2
))5()2()1(1(
22
22
642






++
++
+
+





+++=





xykyrk
xrkxyk
y
x
rkrkrk
y
x
cc
cc
ccc
d
d
(1)
kjer so kc parametri distorzije, [xd yd] koordinate
»popačene« točke, [x y] koordinate »nepopačene« točke
in r2=x2+y2. Prvi del enačbe predstavlja radialno
komponento, drugi del pa tangencialno komponento
distorzije. Kc(1), kc(2) in kc(5) so parametri radialne
distorzije, kc(3) in kc(4) pa parametra tangencialne
distorzije. Na podlagi modela (1) vpliv distorzije na
slikovne točke lahko prikažemo grafično (sliki 3 in 4).
Križec na grafikonih je matematično središče slike,
krogec pa središče radialne distorzije. Puščice
prikazujejo premik slikovnih točk zaradi distorzije.
Velikost distorzijske napake je v sredinskem delu slike
na območju do 10 slikovnih točk, proti robovom slike
pa naraste do 90 slikovnih točk. Iz grafikonov je
razvidno, da je geometrijsko popačenje slik pri našem
Slika 2: Slike kalibracijske table
Figure 2. Calibration board taken in six different orientations.
Slika 1: Shematični prikaz »sodčka« (sredina) in »blazine«
(desno)
Figure 1. Barrel distortion (middle) and pincushion distortion
(right).
Vpliv distorzije na razdalje, izračunane s pomočjo stereoskopskih slik 45
modelu kamere veliko. Vpliv geometrijskega popačenja
na izračunano razdaljo je analizirano v nadaljevanju.
4 Vpliv distorzije na izračunane razdalje
Razdalje izračunavamo s pomočjo aplikacije
»STEDIMAT« (»STEreo DIstance MeAsuring Tool«).
Aplikacija je bila zgrajena v programskem paketu
Matlab in prevedena s pomočjo orodja Matlab
Compiler. Uporabniški vmesnik aplikacije Stedimat je
prikazan na sliki 6.
Razdalja med kamero in poljubnim objektom v
prostoru se izračunava na podlagi razlike med
lokacijama istega objekta na levi in desni stereoskopski
sliki ter dodatnih informacij o stereoskopskem sistemu
(fizična razdalja med kamerama, horizontalni zorni kot
kamer itd.) [5]. Trenutna verzija aplikacije omogoča
»offline« obdelavo na terenu zajetih slik. Na izbrani levi
sliki določimo objekt, katerega oddaljenost želimo
izračunati. Lokalizacija na levi sliki izranega objekta se
na desni sliki izvede avtomatsko, poteka pa v dveh
stopnjah. Primarno iskanje se izvede v horizontalni
smeri. Rešitev slednjega je izhodišče za sekundarno
iskanje, ki v manjšem obsegu poteka v dveh smereh: v
horizontalni in vertikalni. Na podlagi razlik položaja
izbranega objekta na levi in desni sliki, izračunamo
končno razdaljo do objekta:
,
)(
2
tan2 0
0
DL xx
Bx
D
−





=
ϕ
(2)
kjer B pomeni razdaljo med kamerama, φ0 horizontalni
zorni kot kamere, x0 širino zajetih slik (v slikovnih
točkah), xL-xD pa razliko lokacij izbranega objekta med
levo in desno sliko (slika 5).
V nadaljevanju smo na podlagi izbranega »Plumb
Bob« modela distorzije in parametrov distorzije v
aplikacijo Stedimat vgradili funcijo odpravljanja napake
distorzije. Slednjo je treba za posamezno razdaljo
uporabiti samo v dveh točkah, in sicer v točki izbranega
objekta leve slike in v točki najdenega objekta desne
slike. Napaka distorzije se tako samodejno upošteva pri
izračunu razdalje. Uspešnost delovanja funkcije za
odpravljanje distorzije smo preizkusili na množici tesnih
slik.
Slika 5: Shema stereoskopskega sistema
Figure 5. Scheme of stereoscopic system
Slika 3: Grafični prikaz distorzije leve kamere
Figure 3. Vizualizing distortion of the left camera.
Slika 6: Uporabniški vmesnik aplikacije Stedimat
Figure 6. Stedimat (user interface).
Slika 4: Grafični prikaz distorzije desne kamere
Figure 4. Vizualizing distortion of the right camera.
46  Mrovlje
4.1 Testne slike in rezultati
Za zajem testnih slik smo uporabili stereoskopski sistem
dveh kamer Canon PowerShot A640. Slike smo zajeli
pri največji resoluciji desetih milijonov slikovnih točk
(3648x2736) in najmanjši goriščni razdalji (35 mm).
Velikost stereoskopke baze je bila konstantna (56 cm).
Na posameznem stereoskopskem paru slik smo zajeli 7
testnih tablic, razporejenih na enaki referenčni
oddaljenosti (Dref) od stereoskopskega sistema. Tablice
smo razporedili tako, da so se znotraj celotnega
horizontalega zornega polja stereoskopskega sistema
nahajale čim bolj enakomerno. Shema razporeditve
testnih tablic je prikazana na sliki 7. Postavitev tablic
smo zajeli pri štirih različnih oddaljenostih, in sicer 30,
40, 50 in 60 metrov od stereoskopkega sistema. Pri tem
je treba opozoriti, da smo tablice namestili ročno in s
tem že takoj vnesli določena odstopanja od referenčne
razdalje (ΔDref=0.4 m).
Razdaljo do posamezne tablice smo izračunali
dvakrat. V prvem primeru smo za izračun uporabili
originalne, geometrijsko popačene stereoskopske slike.
V drugem primeru smo pri izračunu razdalje dodatno
aktivirali vgrajeno funkcijo odpravljanja napake
distorzije.  Zaradi centralne lege tablice 4 smo slednjo
izbrali za referenčni objekt, ki se nahaja na referenčni
razdalji (Dref).
Izračunane razdalje za posamezne testne objekte
(tablice) so predstavljene v tabelah 1-4. Na slikah 9-12
so rezultati predstavljeni tudi grafično. Črtkane krivulje
na grafikonih predstavljajo izračunane razdalje brez
upoštevanja napake distorzije, polne krivulje pa
izračunane razdalje z odpravljeno napako distorzije. Ker
lokalizacija izbranega objekta leve slike na desni sliki
poteka po korakih ene slikovne točke, za posamezni
izračun podajamo tudi napako razdalje zaradi
lokalizacije objekta (za ± eno slikovno točko):
,tan
2
ϕ∆=∆
B
D
D  (3)
kjer je Δφ horizontalni zorni kot, ki pripada eni slikovni
točki (slika 8).
Tabela 1: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
30 metrov
Table 1: Calculated distances for 30-meter distant test objects
Testni
objekt
Prisotna distorzija
D1±∆D1 [m]
Odpravljena distorzija
D2±∆D2 [m]
1 28,71±0,38 29,55±0,40
2 28,71±0,38 29,00±0,39
3 29,13±0,39 29,34±0,40
4 30,00±0,42 30,00±0,42
5 30,93±0,44 29,86±0,41
6 31,91±0,47 29,66±0,41
7 33,51±0,52 28,42±0,37
Slika 7: Shema razporeditve testnih tablic na oddaljenosti
Dref od stereoskopskega sistema
Figure 7. Schematic arrangements of test objects
Slika 8: Napaka razdalje zaradi napačne lokalizacije
objekta
Figure 8. Distance error caused by the positioning error
Slika 9: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
30 metrov
Figure 9: Calculated distances for 30-meter distant test objects
Vpliv distorzije na razdalje, izračunane s pomočjo stereoskopskih slik 47
Tabela 2: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
40 metrov
Table 2: Calculated distances for 40-meter distant test objects
Testni
objekt
Prisotna distorzija
D1±∆D1 [m]
Odpravljena distorzija
D2±∆D2 [m]
1 38,46±0,68 40,22±0,75
2 38,47±0,68 39,29±0,71
3 38,47±1,68 39,01+0,70
4 40,00±0,74 40,00±0,74
5 42,55±0,84 40,75±0,77
6 43,47±0,87 39,31±0,71
7 46,49±1,00 36,79±0,62
Tabela 3: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
50 metrov
Table 3: Calculated distances for 50-meter distant test objects
Testni
objekt
Prisotna distorzija
D1±∆D1 [m]
Odpravljena distorzija
D2±∆D2 [m]
1 46,52±1,00 49,06±1,11
2 46,52±1,00 47,79±1,05
3 47,62±1,05 48,52±1,07
4 50,00±1,15 50,00±1,15
5 54,04±1,35 51,42±1,22
6 57,12±1,51 50,53±1,18
7 64,47±1,92 48,83±1,10
5  Sklepne ugotovitve
Napaka distorzije na uporabljenih kamerah tipa Canon
PowerShot A640 je velika. V srednjem delu slik napaka
zavzame vrednosti do 10 slikovnih točk, proti levemu in
desnemu robu naraste na več kot 50 slikovnih točk, v
kotih slike pa zavzame celo vrednosti do 90 slikovnih
točk. Geometrijsko popačenje stereoskopskih slik na
izračunano razdaljo vpliva manj, če je objekt v srednjem
delu slike, kot če je slednji v robnih delih slike.
Vpliv distorzije na izračunane razdalje je razviden iz
grafikonov na slikah 9–12. Zaradi neenakomerne
razporeditve testnih objektov je napaka izračunane
razdalje asimetrična. Testni objekti desne polovice slike
(tablici 6 in 7) so bili umeščeni bliže desnemu robu kot
testni objekti leve polovice slike (tablici 1 in 2) levemu
robu. Absolutna napaka razdalj za tablici 6 in 7 je tako
4–8 slikovnih točk, za tablici 1 in 2 pa le 2–4 slikovne
točke.
Tabela 4: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
60 metrov
Table 4: Calculated distances for 60-meter distant test objects
Testni
objekt
Prisotna distorzija
D1±∆D1 [m]
Odpravljena distorzija
D2±∆D2 [m]
1 56,61±1,48 60,32±1,68
2 56,61±1,48 59,04±1,61
3 56,61±1,48 58,14±1,56
4 60,00±1,66 60,00±1,66
5 63,82±1,88 60,28±1,68
6 70,56±2,30 60,70±1,70
7 78,89±2,87 57,99±1,55
Slika 11: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
50 metrov
Figure 11: Calculated distances for 50-meter distant test
objects
Slika 10: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
40 metrov
Figure 10: Calculated distances for 40-meter distant test
objects
48  Mrovlje
Tabela 5: Absolutne vrednosti napak razdalj v slikovnih
točkah (prisotna distorzija)
Table 5: Absolute distance error in pixels (distorted image)
Testni
objekt
Dref=30m Dref=40m Dref=50m Dref=60m
1 3,4 2,3 3,5 2,3
2 3,4 2,2 3,5 2,3
3 2,2 2,2 2,3 2,3
4 0 (referenčna točka/reference point)
5 2,1 3,1 3,0 2,0
6 4,1 4,0 4,7 4,6
7 6,8 6,5 7,5 6,6
Tabela 6: Absolutne vrednosti napak razdalj v slikovnih
točkah (prisotna distorzija)
Table 6: Absolute distance error in pixels (undistorted image)
Testni
objekt
Dref=30m Dref=40m Dref=50m Dref=60m
1 1,1 0,3 0,8 0,2
2 2,6 1,0 2,1 0,6
3 1,7 1,4 1,4 1,2
4 0 (referenčna točka/reference point)
5 0,4 1,0 1,2 0,2
6 0,8 1,0 0,5 0,4
7 4,2 5,2 1,1 1,3
Z uporabo funkcije odpravljanja distorzije se napaka
izračunane razdaje izrazito zmanjša. Slednja se za
večino testnih objektov tako nahaja znotraj tolerančnega
območja 1–2 slikovnih točk. Pri tem nismo upoštevali
napake, ki jo vnesemo z ročnim umeščanjem testnih
objektov (ΔDref). Brownov »Plumb Bob« model
distorzije se izkaže za učinkovitega.
Kljub upoštevanju napake distorzije pri skrajno
desnem testnem objektu opazimo večje odstopanje od
referenčne razdalje (5 slikovnih točk). Razlog za to bi
bil lahko nedosleden model distorzije, ki je sicer
natančen v večjem delu slike, ne pa tudi na robnih
območjih. Poudariti je treba, da so bile kalibracijske
točke, ki so bile uporabljene za izračun parametrov
distorzije, večinoma umeščene v srednjem delu slike in
le v manjšem obsegu tudi na robnih območjih (zaradi
kvadratne oblike kalibracijske table je bilo slednjo teže
zajeti prek celotnega zornega polja obeh kamer).
Kalibracijska tabla pravokotne oblike bi verjetno bolje
služila svojemu namenu.
6 Literatura
[1] D. Schulte: Welt der stereoskopie.
http://www.stereoskopie.com. Pridobljeno dne
30.4.2008.
[2] H. Walcher (1994): Position sensing: Angle and distance
measurement for engineers, 2nd Ed. Oxford:
Butterworth-Heinemann Ltd.
[3] J. Carnicelli: Stereo vision: measuring object distance
using pixel offset.
http://www.alexandria.nu/ai/blog/entry.asp?E=32.
Pridobljeno dne 29.11.2007.
[4] J. Mrovlje, D. Vrančić (2008): Distance measuring based
on stereoscopic pictures. V:  Proceedings of the 9th
International PhD Workshop on Systems and Control:
young generation viewpoint. Izola, Slovenia: October
2008.
[5]  J. Perš, S. Kovačič (2002): Nonparametric, Model-Based
Radial Lens Distortion Correction Using Tilted Camera
Assumption. V: Proceedings of the Computer Vision
Winter Workshop, 2002. Bad Aussee, Austria. pp.286-
295.
[6] T. Luhmann, H. Hastedt, W. Tecklenburg, (2006):
Modelling of chromatic aberration for high-precision
photogrammetry. V: ISPRS Symposium Commission V.
Dresden: September 2006.
[7] J.-Y. Bouguet: Camera Calibration Toolbox for Matlab.
http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc.
Pridobljeno dne 22.4.2009.
[8] M. Vidmar (2008): ABC sodobne stereofotografije z
maloslikovnimi kamerami. Ljubljana: Cetera.
[9] Woods A.: Image distortions and stereoscopic
video systems. http://www.3d.curtin.edu.au
Pridobljeno dne 21.12.2007.
Jernej Mrovlje je diplomiral leta 2008 na Fakulteti za
elektrotehniko v Ljubljani. Od leta 2008 je zaposlen na
Odseku za sisteme in vodenje na Insitutu »Jožef Stefan« v
Ljubljani.
Slika 12: Izračunane razdalje za testne objekte na oddaljenosti
60 metrov
Figure 12: Calculated distances for 60-meter distant test
objects