1 Uvod
Polizolirani vodniki naj bi bili narejeni z jedrom iz
karbona. Prihranek na teži uporabimo za izolacijo
vodnika. Ta mora biti tolikšna, da električna poljska
jakost na robu izolacije ne preseže kritične električne
poljske jakosti za zrak. Takšen polizoliran vodnik ima
Prejet 18. maj, 2009
Odobren 12. avgust, 2009
282    Voršič, Pihler, Voršič
spremenjene tudi primarne in sekundarne konstante
(kapacitivnost, valovna upornost in konstanta širjenja).
2 Zaporedna namestitev slojnih
dielektrikov
V prostorskih ali ravninskih radialnih poljih električna
poljska jakost od notranje elektrode navzven pada. Zato
je smiselno uporabiti slojne dielektrike različnih
dielektričnosti in električnih prebojnih trdnosti.
Debeline posameznih slojev projektiramo tako, da bo
električna obremenitev posameznih slojev optimalna.
V nehomogenih elektrostatičnih poljih uporabimo
zaporedno namestitev dielektrikov zato, da območja
velikih električnih poljskih jakosti razbremenimo in
električno polje izrinemo v območja manjših električnih
poljskih jakosti.
V homogenih poljih ima zaporedna namestitev
dielektrikov skoraj vedno negativne posledice.
Dielektriki z majhnimi dielektričnostmi (zlasti zrak ali
plini) imajo pogosto tudi manjšo električno prebojno
trdnost. Vstavitev zaporednega dielektrika z večjo
dielektričnostjo povzroči izriv električnega polja, kar pri
manjši prebojni trdnosti povzroči električni preboj
šibkejšega.
Prevleka kovinskih valjnih ali krogelnih elektrod z
izolacijo
Na površini valjnih ali krogelnih visokonapetostnih
elektrod ima električna poljska jakost maksimalno
vrednost. Da ne pride do korone, prevlečemo elektrodo
s plastjo dielektrika z večjo prebojno trdnostjo in
dielektričnostjo. Ker pride do izriva električnega polja v
dielektrik z nižjo dielektričnostjo, to povzroča dvoje:
a) Kovinska elektroda ima lahko manjši polmer.
b) Na elektrodo, ki ima skupaj z dielektrikom enak
polmer kot kovinska, smemo priključiti višjo napetost.
Slika 2.1. Večslojni izolator
Figure 2.1. More layer insulator.
Slika 2.2. Potek napetosti in električne poljske jakosti v
večslojnem izolatorju
Figure 2.2. Voltage and electric field strength in a more layer
insulator
Iz obeh slik je razvidno, da morajo dielektrične
konstante slojnih dielektrikov upadati od notranje plasti
navzven. S primerno izbiro dielektričnih konstant lahko
dosežemo v vseh slojih približno enako velikost
največje električne poljske jakosti.
Dvoslojni enožilni kabel
Dvoslojni enožilni kabel (slika 2.3) je tipičen primer
uporabe dvoslojnih dielektrikov. Napetost med žilo in
plaščem se razdeli na dve plasti dielektrika.
r1-q
+q
r3
r2
U1 U2
U
Slika 2.3. Dvoslojni enožilni kabel
Figure 2.3. Two layer one core cable
21
0 r1 1
ln
2
rq
U
rπ ε ε
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(2.1)
32
0 r2 2
ln
2
rq
U
rπ ε ε
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅
(2.2)
U = U1 + U2 (2.3)
Uporaba polizoliranih vodnikov pri najvišjih napetostih 283
32
0 r1 1 r2 2
1 1
ln ln
2
rrq
U
r rπ ε ε ε
 
= ⋅ ⋅+ 
⋅ ⋅  
(2.4)
Izračunamo naboj in nato obe napetosti.
2
1
1
32
r1
r1 1 r2 2
ln
1 1
ln ln
r
U
r
U
rr
r r
ε
ε ε
⋅
=
 
⋅ ⋅ + ⋅ 
 
(2.5)
3
2
2
32
r2
r1 1 r2 2
ln
1 1
ln ln
r
U
r
U
rr
r r
ε
ε ε
⋅
=
 
⋅ ⋅ + ⋅ 
 
(2.6)
Največjo električno poljsko jakost v snovi 1 dobimo na
polmeru r1
1
1max
0 r1 1 32
r1
r1 1 r2 2
1
1
2 1 1
ln ln
U
rq
E
r rr
r r
π ε ε
ε
ε ε
⋅
= =⋅
⋅ ⋅ ⋅  
⋅ ⋅ + ⋅ 
 
. (2.7)
Največjo električno poljsko jakost v snovi 2 dobimo na
polmeru r2
2
2 max
r2 20 32
r2
r1 1 r2 2
1
1
2 1 1
ln ln
U
rq
E
r rr
r r
π ε ε
ε
ε ε
⋅
= =⋅
⋅ ⋅ ⋅  
⋅ ⋅ + ⋅ 
 
. (2.8)
3 Polizolirani vodniki in električna poljska
jakost
V praksi se velikokrat zgodi, da je notranja elektroda
izolirana, prostor do zunanje elektrode pa je zrak.
Izolacija ima bistveno večjo prebojno trdnost kot zrak,
zato ni pomembno, da je električna poljska jakost
majhna na notranji elektrodi. Pomembnejše je, da je
poljska jakost v zraku najmanjša: Ez = E2(r2).
Slika 3.1. Koaksialna valjna razporeditev delne izolacije
Figure 3.1. Coaxial cylinder arrangement of partial insulation
Ob upoštevanju  εr1 = εr  in  εr2 = 1 dobimo
2
32
1 2
2
r
ln ln
1
U
E
rr
r r
r
ε
=
 
 
 +
 
 
 
(3.1)
Najmanjšo poljsko jakost  E2 v odvisnosti od  r2
dobimo, ko je imenovalec v enačbi (3.1) največji.
Imenovalec:
3
1
r 1 3 1 3
ln ln
1
( ) ln ln ln ln
1
r
r r
x r
r x x x x xxy x x
r r r r
ε
ε ε ε
 
     
 = + = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅   
     
 
 
(3.2)
Poiščemo največjo vrednost imenovalca
( )1 3( ) ln ln ln lnr r
r
x
y x x r r xε ε
ε
= − + −  (3.3)
( )1 3
d ( ) 1 1
ln ln ln ln ( ) 0
d
r
r r
r r
y x x
x r r x
x x x
ε
ε ε
ε ε
= ⋅ − + − + ⋅ − = (3.4)
1 3
ln1 1
1 ln ln 1 0
r r r
r
x r
ε ε ε
 
− − + + − = 
 
(3.5)
13
ln1 1
1 ln 1 ln
r r r
r
x r
ε ε ε
 
− = − + − 
 
(3.6)
( ) 3 11 ln ln ln 1    r r rx r rε ε ε− ⋅ = + − ⋅ + −  (3.7)
( ) 3 11 ln ln ln 1    r r rx r rε ε ε− = − + ⋅ − +  (3.8)
3 1
ln ln 1
ln
1 1 1 1
rr
r r r r
r r
x
εε
ε ε ε ε
⋅
= − + − +
− − − −
(3.9)
13
ln 1
ln 1 ln
1
r
r r r
r
x r
ε
ε ε ε
 
= − + − 
− 
(3.10)
1
1 1
3 1ln 1 ln ln
r
r rx r r
ε
ε ε− −= − + −  (3.11)
( ) ( )
r
r
1
1 1
3 1
1
rx r r
e
ε
ε ε− −= ⋅ ⋅  (3.12)
in dobimo polmer
1
3
2 opt 1
1
1
,
e
r
rr
r r
r
ε
ε − 
= ⋅ ⋅ 
 
(3.13)
pri katerem je električna poljska jakost v zraku
najmanjša
2 2 min
1
3
1
1 r
e
.
1
1
r
r
U
E E
r
r
r
ε
ε
ε
−
⋅
= =
   
⋅ ⋅ −   
   
(3.14)
S stebrom, verigo kapastih izolatorjev in vrvjo je
določena geometrija, tako je edina spremenljivka
relativna dielektričnost. Na sliki 3.2 je prikazana
odvisnost optimalnega polmera od relativne
dielektričnosti.
0,000
50,000
100,000
150,000
0 2 4…
optimalni polmer [m]
Slika 3.2. Optimalni polmer v odvisnosti od relativne
dielektričnosti
Figure 3.2. Optimal radius in dependence of relative
permittivity
284    Voršič, Pihler, Voršič
Če vstavimo za polmer vodnika polmer trenutno
uporabljenega vodnika pri 220 kV nadzemnih vodih
(15,3 mm), za relativno dielektrično konstanto εr = 3,4,
vrednost, ki je običajna pri polizoliranih vodnikih na
110 kV nivojih in debelino 15 mm, ter napetost 400 kV,
dobimo (slika 3.3):
zrak
32
2 2
1 1 2 2
2,57 MV/m  .
1 1
ln ln
r r
U
E
rr
r
r r
ε
ε ε
= =
 
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 
 
(3.15)
Največja električna poljska jakost v zraku
[MV/m]
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0 5 10 15 20 25 30
debelina izolacije [mm]
Slika 3.3. Največja električna poljska jakost v zraku
Figure 3.3. The largest electric field strength in the air
Vrednost je manjša od prebojne trdnosti za zrak pri
normalnih pogojih (3 MV/m).
Največja električna poljska jakost na robu
vodnika [MV/m]
1,30
1,40
1,50
1,60
0 5 10 15 20 25 30
debelina izolacije [mm]
Slika 3.4. Največja električna poljska jakost na robu vodnika
Figure 3.4. The largest electric field strength on the edge of
the conductor
4 Primarne konstante voda
Ohmsko upornost daljnovoda na enoto dolžine R'L pri
temperaturi vodnika 20 °C določimo iz nazivnega
prereza An in specifične upornosti ρ :
[ ]L
n
'  .R
A
ρ
= Ω  (4.1)
Kot specifične upornosti lahko uporabimo naslednje
vrednosti:
material: baker aluminij
aluminijeve
zlitine
spec.
upornost
[ ]mρ Ω ⋅
610
54
ρ
−
=
610
34
ρ
−
=
610
31
ρ
−
=
Ker pri vodnikih z jeklenim jedrom ne upoštevamo
prevodnosti jekla, se ohmska upornost polizoliranega
vodnika v primerjavi s klasičnim vodnikom ne
spremeni.
Za vodnik 490 mm2/65 mm2 je R = 0,0592 Ω / km.
Po definiciji je induktivnost na enoto dolžine zaradi
magnetnega polja v zunanjosti tako
zun 0zun
H
ln
2 m
d
L
I r
Ψ µ  
= = ⋅  ⋅ π  
. (4.2)
Za izračun skupne induktivnosti moramo tej
induktivnosti na enoto dolžine prišteti še relativno
majhen delež zaradi magnetnih silnic v notranjosti
polnega vodnika:
0not
H
8 π m
L
µ  
=  ⋅  
. (4.3)
Za celotno induktivnost na dolžinsko enoto
(magnetne silnice računamo od osi vodnika do razdalje
d ) lahko zapišemo
0 0zun not
H
ln
2 8 m
d
L L L
r
µ µ   
= + = ⋅ +   ⋅ π ⋅ π   
. (4.4)
Oba člena v oklepaju lahko zapišemo tudi drugače:
0
H
ln 0,25
2 m
d
L
r
µ    
= +   ⋅ π    
. (4.5)
Izraz je veljaven tudi za trifazne vode, pri katerih so
fazni vodniki razporejeni v ogliščih enakostraničnega
trikotnika in je med njimi razdalja d. Če fazni vodniki
niso razporejeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika,
temveč so razdalje med njimi dL1L2, dL2L3, dL1L3, vodniki
pa so prepleteni, je treba namesto razdalje d izračunati
geometrijsko srednjo razdaljo med faznimi vodniki.
Induktivna upornost (reaktanca) za pozitivni sistem
tokov na enoto dolžine X'(1)L je za enojni daljnovod
0(1)L
' 0, 25 ln   ,
2 π m
d
X
r
ω ⋅µ Ω   = ⋅ +   ⋅    
(4.6)
kjer so:
3
L1L2 L2L3 L3L1d d d d= ⋅ ⋅  – srednja geometrijska razdalja
med vodniki
r  – polmer posameznega vodnika
ω  – krožna frekvenca
µ0  – permeabilnost zraka 4·π·10
–7 H/m.
Relativna dielektrična konstanta plašča
polizoliranega vodnika ne vpliva na induktivnost
vodnika.
Za vodnik 490 / 65 je x = 0.414 Ω / km.
Nadaljnja pomembna in v večini primerov dovolj
natančno izračunljiva elektromagnetna lastnost vodov je
obratovalna kapacitivnost. Kapacitivnost je snovno
geometrijska lastnost zaključenega električnega polja.
Količinsko je podana z razmerjem električnega naboja
na elektrodah in napetostjo med elektrodama
[ ]  QC F
U
=  . (4.7)
Uporaba polizoliranih vodnikov pri najvišjih napetostih 285
Vod je simetrični valj, na katerem je elektrina
približno enakomerno razporejena po vsem cilindričnem
plašču. Zato se omejimo na enoto dolžine, na kateri je
elektrina.
A s
m
Q
q
l
 =  
 
(4.8)
Polje takega valja se po dolžini nič ne spreminja, valj
sam pa nadomestimo z naelektreno premico, ki leži v
osi valja. Če je na površini valja ploskovna gostota
elektrine
2
A s
2 π m
q
r
δ  =  ⋅ ⋅  
, (4.9)
je tam gostota električnega pretoka
2 π
q
D E
r
ε= = ⋅
⋅ ⋅
(4.10)
in ustrezna električna poljska jakost
1
2 π
q
E
rε
= ⋅
⋅ ⋅
. (4.11)
Če poznamo električno poljsko jakost, lahko
izračunamo napetost med površino vodnika in
sosednjim vodnikom.
r
d
V1 V2
Slika 4.1. Potencialna razlika med dvema vodnikoma
Figure 4.1. The potencial difference between two conductors
12 1 2
2 2
1 1
d
d ln
2 π 2 π
q r q d
U V V E r
r rε ε
= − = ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫
(4.12)
Pri simetrični obremenitvi lahko upoštevamo, da ima
vsaka faza trifaznega voda enako obratovalno
kapacitivnost
2 π
ln
q
C
dU
r
ε⋅ ⋅
= =  . (4.13)
Za nadzemne vode je izolant zrak in s tem dielektrična
konstanta
9
12
0
10 A s
8,854187 818 10
36 π V m
ε
−
−  = ε = = ⋅  ⋅  
.(4.14)
Pri polizoliranih vodnikih moramo upoštevati, da
izolant do sosednjih vodnikov ni samo zrak, ampak tudi
plašč z relativno dielektričnostjo εr.(slika 4.2).
Zunanji izolator je zrak z εr2 = 1, relativna
dielektrična konstanta plašča εr1 = εr.
321 2
0 1 1 2 2
1 1
ln ln
2 r r
rrq
U U U
r rπ ε ε ε
 
= + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅  
(4.15)
r1 -q
+q
r3
r2
U1 U2
U
εr2=1
εr1= εr
Slika 4.2. Skica za določitev kapacitivnosti dvoslojno
izoliranega vodnika
Figure 4.2. Determining capacitance of two layer insulated
conductor
Kapacitivnost polizoliranega vodnika je tako
0
32
1 2
2
1
ln ln
r
q
C
U rr
r r
π ε
ε
⋅ ⋅
= =
 
⋅ + 
 
(4.16)
Za vodnik 490 / 65 s 15 mm debelim plaščem izolacije
iz polietilena (εr = 3,4) je kapacitivnost
C = 9,533 nF/km. Brez plašča bi bila kapacitivnost
C = 8,88 nF/km.
5 Sekundarne konstante voda
Prenosni nadzemni vod je edini element električnega
omrežja, v katerem so parametri R, L, G in C prostorsko
porazdeljeni. Čeprav navadno ohmsko prevodnost G
zanemarimo (v primerjavi z drugimi parametri je
zanemarljivo majhna), jo bomo mi zaradi univerzalnosti
izpeljave vseeno upoštevali.
Zaradi porazdeljene narave parametrov bomo celotni
vod predstavili kot kaskadno vezavo diferencialno
majhnih četveropolov. Slika voda z vrisanim
diferencialnim četveropolom na razdalji x od izhodnih
sponk voda je podana na sliki 5.1.
y·dx
1 2
z·dx
I1 I2
U1 U2
dU
dI
l – x dx x
l
Slika 5.1. Predstavitev voda
Figure 5.1. Presentation of the conductor
Ob predpostavki, da so vse električne veličine sinusne,
imamo na dolžinskem diferencialu dx spremembo
napetosti:
d dU I z x= ⋅ ⋅  (5.1)
in spremembo toka
d d   ,I U y x= ⋅ ⋅  (5.2)
kjer sta tako U kot I funkciji kraja x. Tu sta z vzdolžna
impedanca voda na dolžinsko enoto in y prečna
admitanca voda na dolžinsko enoto. Obe enačbi
prevedemo v obliko
286    Voršič, Pihler, Voršič
d
d
U
I z
x
= ⋅  (5.3)
d
d
I
U y
x
= ⋅  (5.4)
Če dobljeni enačbi še enkrat odvajamo po x, dobimo z
upoštevanjem predhodnih enačb
2
2
d
0
d
U
z y U
x
− ⋅ ⋅ =  (5.5)
2
2
d
0
d
I
z y I
x
− ⋅ ⋅ =  (5.6)
Dobljeni diferencialni enačbi imenujemo telegrafski
enačbi, podajata krajevno odvisnost kompleksnih
efektivnih vrednosti toka in napetosti vzdolž voda.
V zgornjih dveh enačbah označimo z
2
ali   jz y z yγ γ α β= ⋅ = ⋅ = + ⋅  (5.7)
propagacijsko konstanto ali konstanto širjenja voda.
Konstanta širjenja γ je na splošno za sinusne oblike toka
in napetosti kompleksna vrednost. Realno komponento
α imenujemo konstanto dušenja in nam pove, kako se
vzdolž voda spreminja temenska vrednost sinusne
veličine. Imaginarno komponento β imenujemo fazna
konstanta (konstanta vrtenja); pove, kako se spreminja
fazni kot sinusne veličine vzdolž voda.
Nadalje vpeljemo oznake
0
z z
Z
yγ
= =  (5.8)
oziroma
0   ,
y
Y
z z
γ
= =   (5.9)
kjer je Z0 valovna upornost in Y0 = 1/Z0 valovna
prevodnost voda. Valovno upornost Z0 in konstanto
širjenja γ imenujemo tudi sekundarne parametre voda.
Izračun sekundarnih konstant klasičnega voda za
napetostni nivo 220 kV s tremi faznimi vodniki 490/65
Al/Fe nam da valovno upornost
Z0 = (386,33 – j 27,48) Ω in konstanto širjenja
γ = (7,66·10-5 + j·1,08·10-3). Predlagani polizolirani
vodnik ima
Z0 = (324,32 ─ j·23,07) Ω in konstanto širjenja
γ = (9,13·10-5 + j 1,28·10-3).
6 Sklep
Vodniki z jedrom iz karbona so do dve tretjini lažji od
klasičnih z jeklenim jedrom. Prihranek na masi zadošča
za potrebno dodano maso izolacijskega materiala in bi
bili tako stebri kakor kapasti izolatorji zmožni nositi
takšne polizolirane vodnike. V članku smo z
analitičnimi izračuni ugotovili, da električna poljska
jakost na robu izolacije ne presega prebojne trdnosti
zraka. Zaradi nekoliko povečane kapacitivnosti se
spremenijo tudi sekundarne konstante polizoliranega
trifaznega voda.
7 Viri, literatura
[1] Manfred Beyer, Wolfram Boeck, Klaus Möller,
Walter Zaengl, Hochspannungstechnik,
Theoretische und praktische Grundlagen;
Springer-Verlag 1986.
[2] IEC 60652 (2002), Voltage measurement by means
of standard air gaps (one sphere earthed),
International Electrotechnical Commission,
Geneve 2002.
[3] Terminološka komisija (urednik Anton Ogorelec),
Slovenski elektrotehniški slovar, Področje
elektroenergetika, Sloko CIGRÉ, Ljubljana 1996.
[4] Igor Tičar, Oszkar Biro, Kurt Preis, Uporaba 2D in
3D metode končnih elementov v
bielektromagnetnih raziskavah, Sloko CIGRÉ,
Nova Gorica, 3.-5. junij 1997.
[5] Igor Tičar, Tine Zorič, Osnove elektrotehnike 1.
zvezek Elektrostatična in tokovna polja, Univerza v
Mariboru, FERI, Maribor 2003.
[6] Andreas Kuechler, Hochspannungstechnik, VDI
Verlag, 1996.
[7] Jože Voršič, Jože Pihler, Tehnika visokih napetosti
in velikih tokov, Univerza v Mariboru, FERI,
Maribor 2008.
Žiga Voršič je diplomiral leta 2006. Zaposlen je na SODO
sistemski operater distribucijskega omrežja z električno
energijo d.o.o.
Red.prof.dr. Jože Pihler je diplomiral leta 1978 na  Visoki
tehniški šoli v Mariboru. Leta 1991 je magistriral, leta 1995 pa
doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in
informatiko Univerze v Mariboru, kjer je zaposlen kot redni
profesor. Je član mednarodnih elektrotehniških združenj
CIGRE - Paris in IEEE - New York; član mednarodnega
tehničnega komiteja IEC SC32A za visokonapetostne
varovalke ter domačih Zveze inženirjev in tehnikov-EZ
Maribor, SLOKO CIGRE ter predsednik tehničnega odbora
SIST za visoko napetost in član drugih tehničnih odborov.
Red.prof.dr. Jože Voršič je diplomiral iz elektrotehnike na
Univerzi v Ljubljani leta 1972, magistriral na Sveučilištu u
Zagrebu 1982 in doktoriral na Univerzi v Mariboru leta 1983.
Zaposlen je kot redni profesor za elektroenergetiko na
Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Univerze v Mariboru. Od leta 1976 je aktivno sodeloval v
samoupravnih organih fakultete, pozneje tudi na PISERU
(posebna izobraževalna skupnost elektrotehniške in
računalniške usmeritve R Slovenije) in MZT (Ministrstvo za
znanost in tehnologijo). Trenutno je predstojnik Instituta za
močnostno elektrotehniko na UM FERI. Je član IEEE (The
Institute of Electrical and Electronic Engineers), CIGRE
(Conférence Internationale des Grands Réseaux Electriques),
WEC (World Energy Council), ED Maribor (elektrotehniško
društvo) in SDVD (Slovensko društvo za visokošolsko
didaktiko).