1 Uvod
Načrtovanje vodenja sistemov je pogosto povezano z
negotovostjo sistemov in težavami pri uporabi ustreznih
regulatorjev, vzdrževanju stabilnosti sistema in
preprečevanju neželenih učinkov, kot npr. eksternih
motenj in perturbacij sistema. Za odpravljanje učinka
negotovosti se uporabljajo adaptivni regulatorji, kjer se
parametri objekta (proge) sproti identificirajo, kar
ustrezno vpliva na dinamično sintezo regulatorja in
robustni regulatorji, ki upoštevajo najslabše mogoče
razmere celotne družine modelov objekta s stališča
negotovosti ob nespremenjenem regulatorju. Delovanja
sistemov v realnosti nikoli ne poznamo v celoti, saj se
njihovo delovanje spreminja s časom zaradi staranja
komponent, spreminjanja parametrov ali s spremembo
delovnih razmer (obremenitve, motnje). Cilj načrtovanja
je izdelati takšen regulator, ki bo zagotavljal stabilno in
performančno zadovoljivo delovanje vodenega sistema
v realnem okolju.
Metoda QFT načrtovanja robustnih regulatorjev [2]
se je razvila v zadnjih 25 letih sistematičnega ukvarjanja
z negotovostjo modelov. Začetki reševanja problematike
segajo v leto 1980, ko sta Gera in Horowitz objavila
članek o uporabi Bodejevega ojačitveno-faznega
integrala za ugotavljanje karakteristike nominalne zanke
z iteracijskim postopkom [12]. Postopek ni bil vedno
konvergenčen, prav tako je bila za rešitev potrebna
aproksimacija. Postopek je bil avtomatiziran z uporabo
orodja QFT Toolbox [1], ki je poenostavil postopek
Prejet 25. maj, 2007
Odobren 4. februar, 2008
Igrec, Chowdhury, Svečko 38
iteriranja in uporabo aproksimacij višjega reda.
Thompson in Nwokah [7] sta za izračunavanje
uporabila nelinearne tehnike programiranja, kjer sta
meje funkcij QFT določila s pretvorbo funkcij QFT v
funkcije H∞. Bryant in Halikias [3] sta uporabila
linearne tehnike programiranja, vendar so bili njuni
rezultati močno poenostavljeni in zaradi neupoštevanja
polov in ničel funkcij nesposobni zagotavljati stabilnost
sistemov. Zhao in Jayasuriya [9] sta uporabila Youlovo
parametrizacijo za transformiranje funkcije QFT v
enodimenzionalen problem, vendar se s tem lahko
avtomatično spreminja le en parameter regulatorja.
V primerjavi z drugimi optimizacijskimi metodami
načrtovanja robustnega vodenja ima metoda QFT nekaj
prednosti, kot na primer možnost kvantitativnega
ugotavljanja "izgube povratne zanke", možnost
upoštevanja faznih zamikov v procesu načrtovanja in
možnost izbire med zahtevnostjo načrtovanja procesa in
kompleksnostjo regulatorja. Omenjena prednost je še
posebno pomembna, saj omogoča izdelavo preprostih
regulatorjev, ki jih je mogoče tudi preprosto
implementirati.
2 Princip načrtovanja
Cilj robustnega vodenja je zadovoljivo performančno
obnašanje vodenega sistema kljub nepopolnemu
poznavanju objekta. Zadovoljivo performančno
obnašanje lahko opišemo kot ojačenje ( )H jω
prenosne funkcije zaprte zanke, ki leži v dovoljenem
območju Bodejevega diagrama na sliki 1:
( ) ( ) ( )0 j H j jα ω ω β ω≤ ≤ ≤  (1)
Amplituda želene prenosne funkcije zaprte zanke je
do določene frekvence enaka 0dB, nato pa hitro pada.
Ponavadi so meje ( )α ω in ( )β ω določene tako, da je
sprememba ( ) ( )β ω α ω− dovolj majhna, da ne
povzroča nestabilnosti in zadovolji performančne
kriterije, v frekvenčnem območju hω ω< . hω pomeni
frekvenco pri absolutni vrednosti razlike mej
( ) ( )β ω α ω− . Pri izbiri mej ( )α ω in ( )β ω je nerealno
določiti ozko spremembo nad frekvenco hω , saj je
naraščanje občutljivosti sistema v visokofrekvenčnem
območju neizogibno. Predvidevamo, da so vrednosti
( ) ( )β ω α ω pri hω ω� zelo velike, medtem ko so
dejanske vrednosti ( )α ω in ( )β ω majhne.
Slika 1: Meje tolerance za ojačenje zaprte zanke
Figure 1. Tolerance band for the closed-loop gain
Za doseganje robustnosti je treba zadostiti vsem
pogojem, prikazanim na sliki 1. Pri objektih z ne-
minimalno fazo moramo za fazo prenosne funkcije
zaprte zanke dodatno definirati tolerančne meje [6].
Elektromehanski objekti so lahko predstavljeni kot
modeli, ki vsebujejo strukturirano in nestrukturirano
odstopanje [11]. Nestrukturirana odstopanja so zajeta z
metodo QFT prek omejitve amplitude zaprte zanke, ki
zagotavlja stabilnost za vse objekte iz družine objektov
z nestrukturiranim odstopanjem.
Cilj metode QFT je, da dosežemo robustno
stabilnost in hkratni robustni učinek za družino modelov
objekta. Med vsemi regulatorji, ki zadostujejo pogojem,
imenujemo tistega z minimalnim visokofrekvenčnim
ojačenjem optimalni regulator [7].
Postopek načrtovanja regulatorja po metodi QFT je
sestavljen iz več korakov. V prvem koraku izberemo
prenosno funkcijo nominalnega objekta P0(s), ki ga
dobimo iz lineariziranega modela objekta. Koeficiente
modela izberemo iz njihovih intervalov negotovosti.
Edina omejitev pri tej izbiri je, da mora nominalna
zanka L0(s) zadostiti pogoju ničelne izključitve [8].
V drugem koraku izberemo množico kritičnih
frekvenc tako, da bodo meje pri izbranih frekvencah
zadostovale pogojem za vse frekvence v opazovanem
območju [1]. Frekvence so empirično izbrane po
priporočilu v [14]. Z večanjem števila izbranih frekvenc
se povečuje zapletenost načrtovanja.
S tretjim korakom določimo vzorce, ki prikazujejo
učinek negotovosti parametrov na ojačenje in fazo
nominalne zanke pri kritičnih frekvencah. Določimo
meje stabilnosti, ki so vodilo pri načrtovanju regulatorja
C(s) za kritične frekvence. Mejo stabilnosti vseh
kritičnih frekvenc sestavljajo nominalne točke, vzorec
se dotika kroga območja stabilnosti v Nicholsovem
grafu (slika 2). Iz tega sledi, da je maksimalna
dovoljena amplituda odvisna od omejitvenega kriterija
( )β ω , ki je supremum zgornje meje ( )sup β ω . Tako
dobimo mejo stabilnosti za nizke frekvence.
Uporaba metode QFT »Quantitative Feedback Theory« pri načrtovanju robustnega vodenja 39
Postavitev meje stabilnosti za visoke frekvence si
zamislimo tako, da postavimo pisalo na nominalno
točko vzorca za določeno kritično frekvenco. Nato
celoten vzorec premikamo okoli kroga območja
stabilnosti, medtem ko še vedno držimo pisalo v
nominalni točki vzorca. Slika 2 prikazuje, kako v
korakih pri določeni kritični frekvenci premikamo
vzorec v smeri urnega kazalca okoli kroga območja
stabilnosti. Obris na sliki 2 je meja stabilnosti za
pripadajočo kritično frekvenco. Dobljen obris je na
zgornji strani fiksno določen z območjem stabilnosti
(polna črta), na spodnji pa odvisen od oblike vzorca
(črtkana črta).
Potem določimo mejno črto pri kritični frekvenci.
Točko mejne črte dobimo s postavitvijo nominalne
točke vzorca na določeno fazo odprte zanke in s
premikanjem vzorca navzgor in navzdol tako dolgo,
dokler ne najdemo najnižjega položaja, kjer je
sprememba ojačenja zaprte zanke enaka dovoljeni
spremembi, določeni z mejo tolerance. Amplitudo
zaprte zanke razberemo iz zaprtozančne mreže v
Nicholsovem grafu (M-linije).
Načrtovanje regulatorja z oblikovanjem odprte
zanke izvajamo tako, da dosežemo:
- robustno stabilnost: to pomeni, da je pri vsaki
kritični frekvenci pripadajoči odziv odprte zanke
desno od pripadajoče meje stabilnosti ali na njej,
- robustni učinek: to pomeni, da je pri vsaki kritični
frekvenci pripadajoči odziv odprte zanke nad
pripadajočo mejno črto ali na njej.
Spreminjanje oblike pomeni spreminjanje ojačenja
ter dodajanje ničel ali polov v odprto zanko.
Najpomembnejša zahteva je, da mora ( ) ( ) ( )L s C s P s=
zadovoljiti Nyquistov stabilnostni kriterij [14].
Pri nestabilnih modelih in modelih z neminimalno
fazo obstajajo določene omejitve pri izvajanju metode
zaradi povezave med amplitudo in fazo, ki sta podana s
Hilbertovim transformom in Bodejevim integralom
[14]. Omejitev zmanjšuje svobodo pri izbiri strukture
regulatorja in v določenih primerih vsiljuje nasprotujoče
si zahteve, posledica pa je, da regulatorja sploh ni
mogoče načrtati.
Osnovni elementi, ki jih dodajamo v odprto zanko
objekta L(s) med načrtovanjem regulatorja, so:
- ojačenje: k,
- pol ali ničla: p
s p+
, s p
p
+ , (2)
- element lead ali lag: s a
s b
+
+
, (3)
- filter Notch:
2 2
1
2 2
2
2
2
s s
s s
ξ ω ω
ξ ω ω
+ +
+ +
, (4)
- pol ali ničla drugega reda:
2
2 22s s
ω
ξω ω+ +
,
2 2
2
2s sξω ω
ω
+ + . (5)
Priporočila za uporabo predstavljenih elementov pri
načrtovanje po metodi QFT so podana v [14].
Slika 2: Preslikava meje stabilnosti
Figure 2. Stability boundary transformation
3 Modeliranje objekta
Za poskus smo izbrali problem regulacije višine
lebdenja kovinske krogle v magnetnem polju. Model
objekta sestavljata kovinska krogla in elektromagnet
(slika 3). Na kroglo, ki leži pod elektromagnetom,
delujeta magnetna sila Fm in gravitacijska sila Fg.
Velikost in smer delovanja magnetne sile sta pogojeni z
delovanjem elektromagneta. Ker je elektromagnet
nepremičen, bomo predpostavili, da se smer delovanja
ne spreminja. Krogla se lahko premika le v navpični
smeri. Model opisujejo enačbe
( )
( ) ( )
d t
u t i t R
dt
ψ
= +  (6)
( ) ( ) ( )t L t i tψ = (7)
m gF F F= +
v v v
(8)
Igrec, Chowdhury, Svečko 40
Slika 3: Model objekta
Figure 3. Object model
Induktivnost L je sestavljena iz induktivnosti 0L , ki
jo prispeva elektromagnet, in induktivnosti 1L , ki je
prispevek krogle. Prispevek krogle eksponencialno pada
z večanjem razdalje med kroglo in elektromagnetom. Za
celotno induktivnost L velja aproksimativni predpis
0 1
xL L L e ε−= +  (9)
� � �� �� �� ��
���
����
���
����
��
��	�
��	�
�
�
�
��
�
Slika 4: Induktivnost v odvisnosti od položaja krogle
Figure 4. Inductivity in dependence on the ball position
Prenosna funkcija lineariziranega modela objekta je
1 3
3 2
4 2 1 5 2 4
( )
( )
k k
P s
s k s k k k s k k
=
− − + +
. (10)
Relacije med enačbami (6) - (10) so opisane v [10].
4 Načrtovanja vodenja po metodi QFT
Postopek načrtovanja bomo prikazali na izbranem
primeru. S spreminjanjem koeficientov k1, k2, k3, k4, k5
dobimo družino prenosnih funkcij lineariziranega
modela. Meje intervalov negotovosti koeficientov od k1
do k5 so določene v odvisnosti od razdalje med
elektromagnetom in kroglo:
1 2 3
4 5
7;13 ,  540;640 ,  2.5;2.6
7.25; 7.55 ,  4.7; 2.6
k k k
k k
∈ ∈ ∈          
∈ − − ∈ − −      
(11)
P0(s) smo izbrali pri delovni točki x = 15 mm, ker so
parametri k1=9.8, k2=638, k3=2.58, k4=-7.45, k5=-3.7.
Linearizirani model objekta je nestabilen. Kot izhodišče
načrtovanja postavimo zahteve vodenja:
- prenihaj na stopnico mora biti manjši od 60%,
- čas postavitve mora biti krajši od 0,5 sekunde,
- stacionarni pogrešek naj bo manjši od 5%,
- sistem naj bo robustno stabilen.
Iz zahtev določimo prenosni funkciji, ki opisujeta
zgornji in spodnji performančni kriterij [10] zaprto-
zančnega sistema:
( ) ( )2 2
1113.54 522.9
,
24 1113.54 112 522.9
s s
s s s s
α β= =
+ + + +
(12)
Na začetku postopka sinteze izberemo regulator
C(s)=1. Sledi izbira množice kritičnih frekvenc, za
izbrani primer: 2, 5, 10, 20, 45 [rad/s] [14].
Slika 5: Vzorci pri kritičnih frekvencah objekta
Figure 5. Templates for critical frequencies
Določimo meje stabilnosti vseh kritičnih frekvenc,
ki jo sestavljajo nominalne točke, katere vzorec se
dotika kroga 8.6 dB (slika 6). Tako postavimo pisalo na
nominalno točko vzorca za določeno kritično frekvenco
in celoten vzorec premikamo okoli kroga 8.6 dB. Slika
6 prikazuje, kako v 32 korakih pri kritični frekvenci 10
[rad/s] premikamo vzorec v smeri urnega kazalca okoli
kroga 8.6 dB. Obris, ki ga vidimo na sliki 6, je meja
stabilnosti za pripadajočo kritično frekvenco.
S tretjim korakom določimo vzorce, ki prikazujejo
učinek negotovosti parametrov na ojačenje in fazo
nominalne zanke pri kritični frekvenci. Na sliki 5 so
vzorci prikazani s sivim območjem (pet vzorcev na
spodnji strani slike 5), ki se zmanjšujejo z večanjem
kritične frekvence. Skrajne vrednosti negotovosti s slike
6 ustrezajo izbranemu vzorcu s slike 5.
Določimo mejno črto pri kritični frekvenci. Slika 7
prikazuje postopek pri kritični frekvenci 10 [rad/s]. Pri
fazi odprte zanke -110º smo premaknili vzorec navzdol,
kjer je bila pri položaju 2 sprememba ojačenja zaprte
zanke enaka dovoljeni spremembi ojačenja zaprte zanke
pri 10 [rad/s] v meji tolerance na sliki 2.
Uporaba metode QFT »Quantitative Feedback Theory« pri načrtovanju robustnega vodenja 41
Slika 6: Meja stabilnosti pri kritični frekvenci 10 [rad/s]
Figure 6. Stability boundary for critical frequency 10 [rad/s]
Slika 7: Mejna linija pri kritični frekvenci 10 [rad/s]
Figure 7. Performance boundary for critical frequency 10
[rad/s]
Načrtovanje regulatorja s spreminjanjem oblike
izvajamo po korakih oz. priporočilih [14] s pomočjo
programskega orodja [1]. Načrtovanje temelji na
principu poskusa in napake. Končno potrditev dobimo
šele s performančnim testom (slika 11) in če so zahteve
vodenja izpolnjene, je načrtovanje končano. V
nasprotnem primeru ponovno načrtujemo in uporabimo
drug nabor elementov metode QFT, ali pa drugačne
vrednosti le-teh. Kateri element dodamo, je odvisno od
trenutne oblike in lege krivulje v Nicholsovem grafu
(slika 8). Za lažjo izbiro prej preverimo, kako in kam
želimo, da se krivulja v naslednjem koraku premakne. S
tem zožimo nabor mogočih in olajšamo izbiro
naslednjega dodanega elementa. Z dodajanjem ne
pretiravamo, saj vsak na novo dodan element poviša red
regulatorja, s tem pa tudi njegovo kompleksnost in
izvedbo v praksi.
Začnemo tako, da vrišemo v Nicholsov graf L(s) pri
( ) 1C s = (slika 8, krivulja A). Povečamo ojačenje na
( ) 2200C s = in premaknemo ( )L s navzgor, s tem
zadovoljimo zahtevam pri nizkih frekvencah (slika 8,
krivulja B).
Dodamo integrator 1s− , s katerim odpravimo
stacionarni pogrešek, kar je ena od zahtev vodenja (slika
8, krivulja C).
Dodamo realno ničlo ( 1)s + in z njo zvišamo zančno
ojačenje in fazno rezervo, krivuljo premaknemo v desno
(slika 8, krivulja D). Podobno storimo v naslednjih dveh
korakih. Dodamo realni ničli ( 10)s + (slika 8, krivulja
E) in ( 30)s + (slika 8, krivulja F).
Iz krivulje F je razvidno, da je sistem pri nizkih
frekvencah v mejah pričakovanega. Dodamo še
kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ + , ki premakne
krivuljo v drugo smer, obrne fazo in tako zadosti
pogojem pri visokih frekvencah (slika 8, krivulja G).
Prenosna funkcija regulatorja:
6 3 8 2 9 9
3 3 2 6
7.333 10 3.007 10 2.493 10 2.2 10
( )
10 10
s s s
C s
s s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ +
(17)
Slika 8: Spreminjanje oblike v Nicholsovem grafu
Figure 8. Loop shaping in the Nichols chart
Slika 9: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem grafu
Figure 9. Loop shaping result in the Nichols chart
Kot rezultat dobimo regulator, ki še ne zadosti v
celoti podanim zahtevam vodenja. S spreminjanjem
parametrov posameznih elementov zmanjšamo
visokofrekvenčno ojačenje ter krivuljo L(s)
premaknemo v QFT zahtevano območje [14]. L(s) s
končnim regulatorjem je prikazana na sliki 8, krivulja
H.
Če ima končni regulator previsok red strukture,
odziv sistema pa je v mejah zahtevanega, izvedemo
redukcijo regulatorja. Z odvzemanjem elementov QFT
opazujemo dogajanje s krivuljo v Nicholsovem grafu.
Če je krivulja blizu zahtevani in če s popravkom
Igrec, Chowdhury, Svečko 42
parametrov preostalih elementov dobimo performančno
zadovoljive rezultate, smo redukcijo uspešno izvedli.
Slika 9 prikazuje spremembo ojačenja in faze odprte
zanke L(s) pri frekvenci 10 [rad/s] ob dodanem
končnem regulatorju, katerega prenosna funkcija je:
7 3 8 2 9 9
3 3 2 6
1.18 10 4.644 10 3.541 10 2.369 10
( )
1.086 10 1.073 10
s s s
C s
s s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ ⋅ + ⋅
(18)
Na koncu postopka določimo še predfilter F(s) tako,
da zadostimo mejam performanc (slika 1). Prenosna
funkcija predfiltra:
5
3 2 4 5
1.825 10
( )
411.9 4.231 10 1.82 10
F s
s s s
⋅
=
+ + ⋅ + ⋅
(19)
5 Rezultati preizkusa
Občutljivost in komplementarno občutljivost sistema
smo preverili v treh delovnih točkah (slika 10) in
ugotovili, da regulator QFT zagotavlja sistemu
zahtevano občutljivost in komplementarno občutljivost
v celotnem delovnem območju.
Slika 10: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle
Figure 10. System sensitivity at three varied deviations
Sistem z regulatorjem QFT smo preizkusili tudi
performančno z odzivom na stopnično vzbujanje in
ugotovili, da regulator zagotavlja zahtevano obnašanje
sistema v celotnem delovnem območju.
Delovanje sistema, vodenega z regulatorjem QFT,
smo primerjali tudi z delovanjem sistema, vodenega z
regulatorjem H∞. Reducirani suboptimalni regulator H∞
smo zasnovali po postopku [10]. Utežnostne funkcije za
določitev performančnih zahtev in modeliranje
dinamike nestrukturiranih odstopanj pa smo določili po
priporočilih [11]. Utežnostne funkcije metode H∞:
1
10
5,5( )
1,5
s
W s
s
+
=
+
, 2( ) 0W s = ,
3
3
3 3
250
3,5
( )
0,15 250
s
W s
s
 
+ 
 =
 +
 
 
(18)
Prenosna funkcija reduciranega suboptimalnega
regulatorja H∞:
7 3 8 2 9 8
3 3 2 6
1.105 10 3.823 10 2.923 10 3.934 10
( )
2.360 10 1.251 10
s s s
C s
s s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ ⋅ + ⋅
(19)
Slika 11 predstavlja stopnične odzive vodenega
sistema z regulatorjem QFT pri treh različnih razdaljah
med kroglo in elektromagnetom (5, 12 in 20 mm). α in
β sta stopnična odziva performančnih mej ( )α ω in
( )β ω omenjenih v drugem poglavju.
Slika 11: Stopnični odziv zaprte zanke sistema
Figure 11. Closed-loop system step response
Slika 12 prikazuje odsekoma stopnični odziv
sistemov, vodenih z regulatorjem QFT in z reduciranim
suboptimalnim regulatorjem H∞ na celotnem delovnem
območju. Razvidno je, da performančno sistem, voden z
regulatorjem QFT, deluje bolje kot sistem, voden z
reduciranim suboptimalnim regulatorjem H∞. Poleg
direktne primerjave odzivov je pri primerjavi metod
treba upoštevati tudi, da je prenosna funkcija
suboptimalnega regulatorja H∞ pred redukcijo sedmega
reda. Slednje je vsekakor pomanjkljivost pri izvedbi
suboptimalnega regulatorja H∞, ki pa se jo da deloma
kompenzirati z redukcijo.
Slika 12: Primerjava odzivov v delovnem območju
Figure 12. Response comparison in the working range
6 Sklep
Metoda QFT je grafična metoda načrtovanja
regulatorjev za SISO in deloma MIMO negotove
objekte. Pri načrtovanju regulatorjev za MIMO sisteme
je metoda QFT uporabna, če se problem lahko razgradi
v preproste nepovezane probleme SISO.
Uporaba metode QFT »Quantitative Feedback Theory« pri načrtovanju robustnega vodenja 43
Osnovna ideja metode je razdeliti proces načrtovanja
na več stopenj, od katerih vsaka pomeni poenostavljen
problem povratne zanke SISO ali MISO. Ker proces
zahteva veliko računanja in grafične podpore, so
računalniški programi še posebno primerni za
načrtovanje [1].
Pri enostavnih objektih SISO metoda QFT dosega
podobne rezultate kot druge metode načrtovanja
robustnega vodenja. Prednost metode QFT je, da ima
načrtovalec neposreden vpogled v potek načrtovanja, saj
sam postavi strukturo regulatorja. Prav tako ima
možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu
načrtovanja, rezultat pa je znižana struktura regulatorja,
kar npr. pri metodi LQG, H∞ ali H2 nima [10].
Kljub določenim prednostim metode QFT še vedno
ostajajo pomanjkljivosti. Načrtovanje po metodi QFT
zahteva nabor značilnih dinamik objekta za celotno
območje variacij negotovosti. Žal pa preslikava
negotovosti modelov v frekvenčni prostor ni enolično
določena. Zato je včasih težko določiti obliko vzorcev
objekta, ker ni transparentno, kako fizikalni parametri
vplivajo na obliko. Rezultat tega načina ni optimalen
zaradi svoje odvisnosti od izkušenosti načrtovalca.
Metoda QFT se izkaže za uporabno pri načrtovanju
vodenja kompleksnih sistemov SISO. Pri metodi QFT
načrtovanje ni avtomatizirano in je načrtovalec potreben
na vsaki stopnji načrtovanja. Pozitivna lastnost tega je,
da ima načrtovalec nadzor nad celotnim postopkom
načrtovanja in se lahko odloči za zanemarjanje
določenih specifikacij oziroma omejitev. Načrtovanje z
metodo QFT je postopek poskusov in napak, ki je
močno odvisen od izkušenj načrtovalca.
Rezultat načrtovanja z metodo QFT so regulatorji
nižjega reda, ki so uporabni zaradi obvladovanja
strukture regulatorja. Vsi poli in ničle so rezultat metode
in ne samega analitičnega postopka kot pri metodi LQG,
H∞ ali H2.
7 Literatura
[1] C. Borghesani, Y. Chait, O. Yaniv, The QFT Frequency
Domain Control Design Toolbox, 2001.
[2] Isac M. Horowitz, Quantitative Feedback Design Theory
(QFT), QFT Publications, Boulder, Colorado, 1993.
[3] R. Nordgren, O.D.I. Nwokah and M.A. Franchek, A New
Perspective on the Formulation of QFT, Proceedings of
the American Control Conference, 2, 1716-1720, San
Francisco, California, 1993.
[4] K. Zhou, John C. Doyle, K. Glover, J. Doyle Robust and
Optimal Control, Prentice Hall, 1st edition, 1995.
[5] C. Houpis, John D Azzo, Linear Control System Analysis
and Design, The McGraw-Hill Companies, 1995.
[6] I. M. Horowitz, M. Sidi, Optimum synthesis of
non-minimum phase feedback system with plant
uncertainty, Int. J. Control, 1978.
[7] Thompson, D.F., Gain-Bandwidth Optimal Design for
the New Formulation Quantitative Feedback Theory, J.
of Dynamic Systems, Measurement, and Control, V.
120, No. 3, 1998.
[8] J. Ackermann, A. Bartlett, D. Kaesbauer, W. Sienel, and
R. Steinhauser, Robust Control: Systems with Uncertain
Physical Parameters, London: Springer-Verlag, 1993.
[9] Zhao, Y., and Jayasuriya, S., Robust Stabilization of
Uncertain Systems with Parametric Uncertainties,
Procs.12th IFAC Conf., Sydney, Australia, Vol. 6, 1993.
[10] A. Chowdhury, Robustna sinteza regulacijskih sistemov
z upoštevanjem performančnih kriterijev : doktorska
disertacija. Maribor, 2001
[11] K. Zhou, John C. Doyle, Essentials of Robust Control,
Prentice Hall, 1998
[12] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, Plant Template
Generation in Quantitative Feedback Theory, University
of Glasgow, 1998
[13] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, On Choice of the
Nominal Plant in Quantitative Feedback Theory,
University of Glasgow, 1997
[14] O. Yaniv, Quantitative Feedback Design of Linear and
Nonlinear Control Systems, Kluwer Academic
Publishers, 1999
Dalibor Igrec graduated in 2000 from the Faculty of
Electrical Engineering and Computer Sciences of the
University of Maribor, Slovenia. Since 2001, he has
been employed as a researcher with Ultra d.o.o., R&D
center Maribor. His work is focused on mobile
communications networks and solutions.
Amor Chowdhury received his B.Sc., M.Sc. and Ph.D.
degrees in electrical engineering from the Faculty of
Electrical Engineering and Computer Sciences of the
University of Maribor, Slovenia, in 1994, 1997 and
2001, respectively. Since 1994, he has been employed
with the Institute of Automation, Maribor as a
researcher. His main research interests include control
systems design and H2 and H∞ theory.
Rajko Svečko received his B.Sc., M.Sc. and Ph.D.
degrees in electrical engineering from the Faculty of
Electrical Engineering and Computer Sciences of the
University of Maribor, Slovenia, in 1981, 1984 and
1989, respectively. Since 1981, he has been employed
with the Institute of Automation, Maribor. He is the
Head of the Laboratory for Control Systems. From 1995
he has been Associate Professor. His main research
interests include system theory, intelligent control
systems, classical and modern control design.