1. Uvod Članek obravnava eno izmed metod ugotavljanja tranzientne stabilnosti elektroenergetskih sistemov (EES), to je direktna Ljapunova metoda. Ta metoda je imela zaradi svoje enostavnosti velik pomen pred nastankom računalnikov. S pojavom računalnikov so prišle v ospredje digitalne simulacije EES, s katerimi korak za korakom rešujemo sistem nelinearnih diferencialnih (nihajnih) enačb. Kljub čedalje večji hitrosti računalniških simulacij le-te niso primerne za sprotno (on-line) ugotavljanje tranzientrne stabilnosti, temveč le pri načrtovanju elektroenergetskih omrežij. Želja upravljavcev prenosnega omrežja po sprotnem ugotavljanju tranzientne stabilnosti je ponovno zbudila zanimanje za direktno Ljapunovo metodo, ki bi pri tem lahko imela ključno vlogo. Osnovni del direktne Ljapunove metode je konstrukcija primerne Ljapunove funkcije, s katero EES namesto z nizom nelinearnih diferencialnih enačb opišemo z nizom algebrajskih enačb. Konstruiranih je bilo več različnih Ljapunovih funkcij, a se je za edino uporabno izkazala funkcija, ki pomeni sistem kot vsoto kinetične in potencialne energije po odpravi motnje [1] in jo dobimo z integriranjem nihajnih enačb sistema. Ta energijska funkcija je bila za EES brez naprav FACTS že določena, z nastankom naprav FACTS pa je nastala potreba po določitvi njihovega vpliva na energijsko funkcijo EES. Članek prikazuje določitev energijske funkcije EES, ki vsebuje najbolj vsestransko napravo FACTS, t.j. univerzalni prečni transformator (UPT). Določena je na modelu EES z ohranjeno strukturo, kar med drugim omogoča upoštevanje več naprav FACTS hkrati. V nadaljevanju je predstavljen princip direktne Ljapunove metode, v naslednjem poglavju sledi opis UPT, v 4. poglavju izpeljava energijske funkcije, v 5. poglavju numerični primeri ugotavljanja tranzientne stabilnosti EES in v 6. poglavju sklep članka. 2. Direktna Ljapunova metoda Uporabo direktne Ljapunove metode za ugotavljanje tranzientne stabilnosti EES lahko ilustrativno prikažemo na mehanskem modelu kroglice na skledasto oblikovani površini kot v [2]. Model je prikazan na sliki 1. Površina skledaste oblike pomeni potencialno energijo sistema po odpravi motnje. Za omrežje s tremi generatorji jo lahko predstavimo kot ploskev v tridimenzionalnem prostoru, kjer horizontalni osi predstavljata rotorski kot dveh generatorjev glede na tretjega. (t.j. δ1 in δ2 glede na sliko 1), vertikalna os pa potencialno energijo sistema. Potencialna energija ima lokalni minimum v stabilni ravnovesni točki, ki ustreza rotorskim kotom po končanem prehodnem pojavu po odpravi motnje. Okrog te točke potencialna energija tvori površino skledaste oblike, ki je stabilno območje obratovanja sistema. Slika. 1: Kroglica na površini potencialne energije Figure 1: Ball on a potential-energy surface Stanje sistema (t.j. kote rotorjev) predstavlja kroglica, katere kinetična energija predstavlja kinetično energijo sistema in se kotali po površini potencialne energije. V stacionarnem stanju kroglica miruje na dnu sklede v stacionarni ravnovesni točki. Ko nastane motnja, npr. kratek stik, kroglica pospešuje proti vrhu sklede, vse dokler motnja ni odstranjena. Glede na vsoto kinetične in potencialne energije kroglice v trenutku odstranitve motnje se lahko le-ta odkotali čez rob oz. prevoj sklede, kar pomeni nestabilno stanje, ali pa niha v skledi in se vrne na dno, kar pomeni stabilno stanje. Za ugotavljanje tranzientne stabilnosti sistema vsoto kinetične in potencialne energije kroglice primerjamo s kritično energijo, t.j. potencialno energijo EES na meji stabilnega območja. Uporaba direktne Ljapunove metode za ugotavljaje stabilnosti elektroenergetskih sistemov ... 69 Meja stabilnega območja poteka po prevojnih točkah, kot je prikazano na sliki 1. Eno od meril tranzientne stabilnosti je kritični čas odstranitve motnje (critical clearing time - CCT). To je čas, v katerem mora biti motnja odstranjena, da sistem ohrani stabilnost. Za povsem točno ugotovitev CCT bi morali določiti kritično energijo v točki, kjer bi kroglica pri tem CCT dosegla mejo stabilnosti. Ker to točko lahko določimo le s ponavljanjem simulacije, si pomagamo s poenostavitvami. Prvi način poenostavitve je, da za kritično energijo določimo potencialno energijo v najnižji sedelni točki. S tem je ugotovljeni CCT vedno manjši od dejanskega in je tako »na varni strani«. Vendar se je izkazalo, da so ti rezultati preveč konservativni in s tem predaleč od dejanskih, še zlasti pri EES z večjim številom generatorjev in s tem z večjim številom sedelnih točk, ki so lahko precej oddaljene od dejanske trajektorije kroglice. Druga možnost izbire kritične energije je vrednost potencialne energije v točki sedla, ki je najbliže trajektoriji kroglice. Tretja možnost je metoda PEBS (potential energy boundary surface), s katero kritično energijo določimo kot vrednost potencialne energije v točki, kjer kroglica prečka mejo stabilnosti, če motnje ne odstranimo. S tem se izognemo matematično zapletenemu iskanju sedelnih točk. Izvedemo le eno simulacijo, t.j. simulacijo sistema z neodpravljeno motnjo. CCT določimo kot trenutek, ko je na trajektoriji kroglice z neodstranjeno motnjo vsota kinetične in potencialne energije kroglice (t.j. energija sistema z odpravljeno motnjo) enaka potencialni energiji kroglice na meji stabilosti. Za sistem generator – toga mreža postane tri- dimenzionalna krivulja na sliki 1 dvodimenzionalna z eno samo prevojno točko, ki določa mejo stabilnosti. Trajektorija takega sistema (kroglice) je enoumno določena, zato se morajo CCT, določeni po direktni metodi, povsem ujemati z rezultati simulacijske metode. Pogoj za to je seveda pravilna energijska funkcija EES, po kateri računamo vrednost potencialne in kinetične energije. Tako lahko na sistemu generator – toga mreža s primerjanjem CCT, dobljenih s pomočjo simulacije in direktne metode, potrjujemo ustreznost energijske funkcije EES. 3. Prenosne karakteristike UPT Za upoštevanje UPT v energijskih funkcijah EES le- tega predstavimo z injekcijskim modelom. Za sistem brez upoštevanja izgub UPT lahko zapišemo kot serijsko vezan napetostni vir z reaktanco XTRS in vzporedno priključenim tokovnim virom. Model naprave, nameščene med zbiralki i in j, ter diagram fazorjev napetosti predstavlja slika 2 (a-b). Tok IT je v fazi z Ui in predstavlja izmenjavo delovne moči med serijsko in vzporedno vejo. Iq je jalovi tok paralelne veje in je v večjem delu operacijskega območja neodvisen od velikosti napetosti Ui. Regulabilni parametri so UT, ϕT in Iq, medtem ko je IT odvisen od injicirane delovne moči v serijski veji. Slika 2: a) model UPT; b) diagram fazorjev napetosti; c) injekcijski model Figure 2: a) model of the UPFC; b) phasor diagram; c) injection model Injekcijski model serijske veje UPT je predstavljen v [3]. Je enak splošnemu injekcijskemu modelu statičnega sinhronskega serijskega kompenzatorja (SSSC - static synchronous series compensator). Dodamo še jalovi tok vzporedne veje in po nekaj matematičnih operacijah dobimo izraze za injekcijski model UPT. ( )T T TRS sinjsi ij U U P X θ ϕ= + (1) ( )T T TRS sinjsj ij U U P X θ ϕ= − + (2) ( )T T q TRS cosisi i U U Q U I X ϕ ⋅ = + ⋅ (3) ( )T T TRS cosjsj ij U U Q X θ ϕ ⋅ = − + (4) kjer je θij = θi - θj glede na sliko 2. 4. Energijska funkcija UPT Energijska funkcija kot integral nihajnih enačb EES z ohranjeno strukturo je konstruirana v [4]. Ta energijska funkcija V je zapisana kot vsota kinetične energije Vk in potencialne energije Vp. k pV V V= + (5) Ažbe, Mihalič70 Energijska funkcija (5) je izpeljana za EES brez naprav FACTS. Ker je določena za EES z ohranjeno strukturo, vpliv UPT določimo kot dodatek k energijski funkciji (5). Glede na postopek izpeljave (5) v [4] ta dodatek določimo kot integral vsote injiciranih delovnih in jalovih moči (1) – (4), ki jih preoblikujemo enako kot nihajne enačbe EES v [4]. Pri tem je energijska funkcija odvisna od regulacijske strategije oz. od poteka regulabilnih parametrov v času prehodnega pojava in je za vsako regulacijsko strategijo ni mogoče najti v analitični obliki, temveč ostaja v obliki integrala in je s tem odvisna od poti. Naš pristop k reševanju tega problema je, da smo energijsko funkcijo izpeljali za konstantne regulabilne parametre, ki omogočajo najmanj zapleteno določanje energijske funkcije. Uporabo tako določene energijske funkcije smo razširili na odsekoma konstantne parametre. Tako se v času prehodnega pojava regulabilni parametri lahko večkrat skočno spremenijo. V preteklosti je že bilo ugotovljeno ([3], [5]), da mora UPT za največje izboljšanje tranzientne stabilnosti injicirati največji UT in Iq. S tem je predpostavka, da sta UT in Iq konstantna (t.j. nastavljena na maksimum), povsem upravičena. Upoštevanje konstantnega kota ϕT na splošno ni najbolj primerno za izboljšanje tranzientne stabilnosti, vendar pa je ob upoštevanju možnosti uporabe izpeljane energijske funkcije tudi za odsekoma konstantne regulabilne parametre ta način upoštevanja ustrezen. Upoštevanje odsekoma konstantnih parametrov je opisano v poglavju 4.2. Ob upoštevanju, da so UT, Iq in ϕT konstantni, lahko konstruiramo energijsko funkcijo UPT. 4.1 Konstruiranje Ljapunove energijske funkcije Za konstrukcijo energijske funkcije UPT sledimo postopku iz [4], ki opisuje konstruiranje energijske funkcije za EES brez naprav FACTS. Injicirane delovne moči (1) in (2) pomnožimo s časovnim odvodom posameznih kotov napetosti iθ&in jθ& in jih seštejemo: ( )T T TRS sinjsi ij ij ij U U P X θ θ ϕ θ= + ⋅& & (6) Enačbe (3) in (4) delimo z Ui in Uj in množimo s časovnim odvodom iU& in jU&: ( )T T q TRS cossi ii i i Q U U U U I U X ϕ= + ⋅ & & & (7) ( )T T TRS cossj jj ij j Q U U U U X θ ϕ= − + & & (8) Enačbe (6) - (8) seštejemo: ( ) ( ) ( ) T T T TRS T q sin cos cos j ij ij i j ij i U U U X U U I θ ϕ θ ϕ θ ϕ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ & & & & (9) Ob predpostavki, da sta UT in Iq nastavljena na največjo vrednost in da je ϕT konstanten, lahko z nekaj intuicije zapišemo (9) kot: ( ) ( )( )T T T q TRS d cos cos d i j ij i U U U U I t X ϕ θ ϕ   ⋅ − ⋅ + + ⋅    (10) Zdaj lahko preprosto dobimo Ljapunovo energijsko funkcijo v obliki VUPT = f (Ui , Uj) kot integral (10), ki opisuje potencialno energijo UPT: ( ) ( )( )TUPT T T q TRS cos cosi j ij i U V U U U I X ϕ θ ϕ= ⋅ − ⋅ + + ⋅ (11) Ta energijska funkcija je enaka vsoti injiciranih jalovih moči UPT Qi in Qj glede na sliko 2c. Energijske funkcije naprav FACTS so tesno povezane z injiciranimi jalovimi močmi naprav v omrežje. V okviru raziskav smo ugotovili, da je pri napravah, ki delujejo kot napetostni ali tokovni pretvornik in sta injicirana napetost ali/in tok neodvisna od napetosti priključnih sponk, energijska funkcija enaka celotni vsoti jalovih moči, ki jih naprava injicira v omrežje. Take naprave so poleg UPT še npr. STATCOM (Static compensator), SSSC (static series synchronous compensator) in IPFC (interline power- flow controller). Pri napravah, kjer je vir napetosti ali toka pasivni element in sta injicirana napetost ali tok linearno odvisna od napetosti priključnih sponk, je energijska funkcija enaka polovici injicirane jalove moči naprave v omrežje. Take naprave so SVC (static var compensator), CSC (controllable series compensation), PAR (phase angle regulator) in QBT (quadrature boosting transformer). 4.2 Upoštevanje odsekoma konstantnih regulabilnih parametrov Konstantni regulabilni parametri, za katere smo definirali energijsko funkcijo UPT (11), na splošno niso najbolj primerni za proučevanje prispevka serijskih naprav FACTS k izboljšanju tranzientne stabilnosti. Osredotočili smo se predvsem na parameter ϕT , t.j. na kot injicirane serijske napetosti UPT. Testni primeri v [6] so pokazali, da se kot ϕT ne spreminja hitro, torej ga lahko upoštevamo kot odsekoma konstantnega – vrednost kota ϕT se med trajanjem prvega nihaja po odstranitvi motnje le nekajkrat skočno spremeni. Če je kot ϕT odsekoma konstanten, velja za UPT enaka energijska funkcija (11) – vendar le v okviru posameznega odseka, v katerem so parametri konstantni. Pri uporabi direktnih metod za ugotavljanje tranzientne stabilnosti, kjer primerjamo vrednost energijske funkcije med posameznimi odseki z različnimi regulacijskimi parametri, je treba posamezne odseke medsebojno uskladiti, kot je to opisano v nadaljevanju. Za pravilno primerjavo energije V, ki je vsota kinetične energije Vk in potencialne energije Vp, s Uporaba direktne Ljapunove metode za ugotavljaje stabilnosti elektroenergetskih sistemov ... 71 potencialno energijo Vp vzdolž trajektorije sistema za čas prvega nihaja mora biti potencialna energija Vp vzdolž trajektorije sistema zvezna. Poudariti je treba, da se ob skočni spremembi kota injicirane napetosti ϕT skočno spremenijo tudi fazorji napetosti omrežja, medtem ko se koti in hitrosti generatorjev ne morejo skočno spremeniti. Posledično se skočno spremeni potencialna energija sistema, ki je odvisna od fazorjev napetosti omrežja. Da naredimo potencialno energijo Vp zvezno vzdolž trajektorije sistema, moramo odšteti posamezne skočne spremembe potencialne energije, ki nastanejo ob spremembi kota ϕT. To je mogoče narediti, saj je Vp določena le do integracijske konstante. Označimo število sekcij do trenutno računane potencialne energije Vp z w. Ustrezno vrednost potencialne energije izračunamo s pomočjo enačbe: 1 p p p PRVA p ZADNJA p PRVA 1 w w w z z z V V V V V − =  = − + − ∑ (12) kjer je p p UPFCV V V= + (13) Oznaka PRVA pomeni prvo vrednost potencialne energije Vp v odseku z, oznaka ZADNJA pa zadnjo vrednost potencialne energije Vp v odseku z vzdolž trajektorije sistema. Vsota, izražena v drugem delu (12), pomeni vsoto posameznih skokov potencialne energije pri spremembi kota ϕT. Enačbo (12) lahko posplošimo za upoštevanje skočnega spreminjanja kateregakoli od regulabilnih parametrov UPT. 5. Numerični primeri Ugotovljeno energijsko funkcijo UPT (11) smo najprej preverili na longitudinalnem sistemu generator – toga mreža. Za določanje CCT smo uporabili metodo PEBS, opisano v 2. poglavju. Testni sistem predstavlja slika 3. Sestavljen je iz generatorja, priključenega na togo mrežo prek dveh odsekov dveh vzporednih 500 kV daljnovodov. UPT moči 265 MVA je vključen v sredini vodov prek serijskega transformatorja s kratkostično napetostjo uk=3.75 %. Pred in med motnjo sta parametra UT in Iq nastavljena na vrednost 0. Na zbiralko 2 smo priključili breme. Generator je predstavljen klasično, začetna napetost je bila nastavljena na 1 p.u. in kot 300. Predvideli smo odstranitev motnje, torej je konfiguracija sistema pred motnjo in po njej enaka. Slika 3. Testni sistem generator – toga mreža Figure 3. Single-machine infinite-bus test system Za kratkek stik blizu zbiralke 2 smo izračunali CCT s pomočjo simulacijske metode korak za korakom ter po direktni metodi s pomočjo novo konstruirane energijske funkcije. Rezultati za različne največje vrednosti UT in Iq in za različne kote ϕT so predstavljeni v tabeli I. Delovna bremena so modelirana kot konstantne admitance, tako kot v [4], zato je njihov vpliv v direktni metodi določen numerično. Kot je razvidno iz tabele I, so rezultati digitalne simulacijske in direktne metode identični, kar potrjuje pravilnost konstruirane energijske funkcije (11). Koti ϕT so izbrani tako, da je povečanje tranzientne stabilnosti maksimalno. Pri drugih kotih je povečanje tranzientne stablinosti manjše, lahko pa pride tudi do zmanjšanja tranzientne stabilnosti. TABELA I KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] ϕT [ °] Iq [pu] čas [ms] čas [ms] 0 0 0 133 133 0.1 85 0 144 144 0.15 85 0 149 149 0 0 0.1 142 142 0.15 85 0.1 156 156 0.15 85 0.2 162 162 Naslednji numerični primer prikazuje izračun CCT, ko so regulabilni parametri odsekoma konstantni. Izračun smo izvedli na IEEE devetvozliščnem sistemu s tremi generatorji [8], ki ga prikazuje slika 4. Slika 4: IEEE devetvozliščni sistem z enim UPT Figure 4: IEEE nine-bus test system with one UPFC Regulabilni parameter ϕT se skočno spreminja tako, da je pretok delovne moči med serijsko in vzporedno vejo UPT čim manjši (t.j. niha okrog vrednosti 0, pri tem je amplituda nihanja lahko poljubno majhna, odvisno od velikosti koraka spreminjanja kota ϕT). Poleg tega smo vzporedni jalovi tok Iq nastavili na vrednost 0. Tako UPT obratuje kot SSSC. Pri izračunu CCT smo za upoštevanje skokov potencialne energije upoštevali (12) in (13). Ažbe, Mihalič72 Rezultati so zbrani v tabeli II. Izračunane CCT smo primerjali z rezultati v [7], kjer je predstavljen SSSC v enakem IEEE devetvozliščnem testnem sistemu. Rezultati so v obeh primerih enaki. Izračun lahko upoštevamo kot dokaz, da v direktnih metodah ugotavljanja tranzientne stabilnosti lahko odsekoma konstantne parametre uporabimo za aproksimacijo zveznih regulacijskih strategij. TABELA II IZRAČUNANI CCT PO DIREKTNI METODI ZA SSSC V [7] IN ZA UPT, KI OBRATUJE KOT SSSC SSSC UPT SSSC UPT UT [pu] UT [ pu] CCT [ms] CCT [ms] brez SSSC brez UPT 245 245 0 0 234 234 0.1 0.1 241 241 0.2 0.2 247 247 0.3 0.3 253 253 Z dodatnimi numeričnimi primeri smo ugotavljali občutljivost metode na širino koraka, v katerem predpostavimo, da so regulacijski parametri konstantni. Izračuni kažejo, da med trajanjem prvega nihaja dovolj le par skočnih sprememb, da je sprememba CCT manjša od 1 ms, kolikor znaša integracijska konstanta numeričnih izračunov. 6. Sklep Za uporabo direktne Ljapunove metode ugotavljanja tranzientne stabilnosti EES smo konstruirali energijsko funkcijo EES, ki upošteva vključitev UPT. Ker je energijska funkcija določena za sistem z ohranjeno strukturo, omogoča upoštevanje več UPT hkrati. Energijska funkcija je določena za konstantne regulabilne parametre UPT in razširjena za uporabo pri odsekoma konstantnih parametrih. Ustreznost energijske funkcije smo preverili s primerjavo rezultatov ugotavljanja kritičnih časov odstranitve motnje po direktni in simulacijski metodi na testnem sistemu generator – toga mreža. Ustreznost upoštevanje odsekoma konstantnih regulabilnih parametrov smo preverili na IEEE devetvozliščnem sistemu s tremi generatorji, pri čemer smo kot injicirane napetosti UPT skočno spreminjali tako, da je obratoval kot SSSC. S primerjavo rezultatov med UPT in SSSC smo potrdili ustreznost upoštevanja odsekoma konstantnih parametrov. Rezultati numeričnih primerov kažejo, da UPT lahko izboljša tranzientno stabilnost EES. Ugotovljeno energijsko funkcijo bi lahko uporabili tudi za regulacijsko strategijo UPT za čim večje izboljšanje tranzientne stabilnosti na podlagi numeričnega iskanja največjega odvoda energijske funkcije EES znotraj posameznega časovnega odseka s konstantnimi regulacijskimi parametri, kar bo smer nadaljnjega dela. 7. Literatura [1] P. Sauer, M. A. Pai, “Power System Dynamics and Stability,” Prentice Hall, 1998. [2] T. Athay, R. Podmore, S. Virmani, "A practical method for the direct analysis of transient stability," IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, vol PAS-98, pp 573–582, March/April 1979. [3] K. R. Padiyar, V. Immanuel, “Modelling of SVC for stability evaluation using structure preserving energy function,” Electric Power & Energy Systems, vol. 16, str. 339–348, 1994. [4] Th. Van Cutsem, M. Ribbens-Pavella, “Structure preserving direct methods for transient stability analysis of power systems,” Proceedings of 24th Conference on Decision and Control, str. 70-77, December 1985. [5] L. D. Colvara, E. B. Festraits, S. C. B. Araujo, “Power System Stability Analysis With FACTS Effects,” Proceedings of the 2nd IASTED International Conference, Power and Energy Systems, str. 227–232, Junij 2002. [6] R. Mihalič, “Določitev obratovalnih parametrov prečnega transformatorja za izboljšanje obratovalnih razmer in povečanje prenosne zmogljivosti elektroenergetskega sistema,” doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljana, 1993. [7] U. Gabrijel, “Naprave FACTS v energijskih funkcijah elektroenergetskih sistemov”, Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana, 2003. [8] P. M. Anderson, A. A. Fouad, “Power System Control and Stability”, IEEE Press Power Systems Engineering Series, Revised Printing, 1999. Valentin Ažbe je diplomiral leta 1996, magistriral leta 2003 in doktoriral leta 2005 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Leta 2000 se je zaposlil na Fakulteti za elektrotehniko kot mladi raziskovalec. Raziskovalno delo opravlja v Laboratoriju za preskrbo z električno energijo. Od leta 2005 je zaposlen kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Ukvarja se z analizo elektroenergetskih sistemov in naprav FACTS. Rafael Mihalič je diplomiral leta 1986, magistriral leta 1989 in doktoriral leta 1993 na Fakulteti za elektrotehniko in računalništvo v Ljubljani. Po diplomi je postal asistent na omenjeni fakulteti na Katedri za elektroenergetske sisteme in naprave. Med letoma 1988 in 1991 je bil zaposlen pri SIEMENS AG Erlangen na inštitutu za razdeljevanje električne energije in načrtovanje omrežij. Od leta 2005 je redni profesor na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Je član CIGRE, član IEEE, predsednik ŠK B4 SLOKO CIGRE. Področje delovanja vključuje predvsem analizo elektroenergetskih sistemov in naprav FACTS.