1 Uvod
Samonastavljajne regulatorjev ima pestro zgodovino.
Začelo se je s samonastavljenjem PID regulatorjev. Med
prvimi, ki so raziskovali to področje,  so bili Ziegler in
Nichols (1942) [6][7], Chein, Hornes in Reswick
(1952)[8]. Nekateri poskušajo nastaviti parametre na
podlagi notranjega modela (IMC-internal model
control) (Chien in Fruehauf 1990 [12], Morari in
Zafiriou [13]), spet drugi skušajo nastaviti regulator na
podlagi določenega faznega razločka (Ogata 1990 [9],
Franklin et al. 1986 [10], Ho et al. 1995 [11]). T.
Yamamoto et al. predlagajo nastavitve regulatorja PID
na podlagi enačenja z GPC-posplošenim prediktivnim
regulatorjem. Obstaja pa še veliko drugih različnih
člankov in knjig, ki se ukvarjajo z nastavljanjem
parametrov regulatorja PID [14], [15], [16], [17].
Nastavljanje parametrov pri prediktivnem vodenju na
podlagi modela (MPC-model based predictive control)
pri večini pristopov poteka po metodi poskušanja.
Cammacho in Bordones za GPC omenjata
nastavljanje na podlagi Ziegler-Nicholsonovega
preizkusa [3], W. Liu in G. Wang pa za to isto strategijo
izpeljeta samonastavljiv algoritem [18]. Al-Ghazzawi
predstavlja on-line samonastavljanje MPC regulatorjev
z linearnim modelom (LMPC), ki temeljijo na modelu
FIR. Tomas Schön pa se v svojem magisterskem delu
pod vodstvom Ljunga [20] ukvarja z metodami
identifikacije modelov za prediktivno vodenje.
Metode, predstavljene v omenjenih delih, so bolj ali
manj kompleksne. Zato smo se odločili za testiranje
preproste metode identifikacije modela prvega reda z
zakasnitvijo, ki ga uporabljamo pri PFC-strategiji
Prejet 15. april, 2009
Odobren 22. junij, 2009
206    Dovžan, Škrjanc
vodenja. Dobljene rezultate primerjamo med seboj in
poskušamo določiti priporočila za nastavljanje
regulatorja.
V prvem poglavju je predstavljen PFC-regulacijski
algoritem, nato so predstavljene testirane metode
identifikacije, sledijo rezultati testa in komentar ter
sklep.
2 Uvod v PFC
Osnove prediktivnofunkcijskega regulatorja je postavil
leta 1978 Richalet [19].
Prediktivnofunkcijski regulator z notranjim
modelom prvega reda sprejme pet parametrov. Od tega
so trije parametri modela (časovna konstanta Tm,
ojačanje Km in zakasnitev Dm), preostala (H in Tr) pa sta
parametra regulatorja, ki sledita iz analitične izpeljave.
Parameter H podaja trenutek, v katerem želimo, da se
zaprtozančni odziv sistema čim bolj prilega
referenčnemu odzivu prvega reda z ojačenjem ena in
časovno konstanto Tr (drugi parameter regulatorja).
Bločna shema regulatorja je prikazana na sliki 1,
regulacijski zakon pa podaja enačba (1):
)())()()()(()( 1 kykykykykwgku mdKmdm m
++−−= ,  (1)
kjer je
)1(
)1(
H
mm
H
r
aK
a
g
−
−= ,
m
m
a
b
mK −= 1 ,
mT
sT
eam
−
=  in rT
sT
ear
−
= .
3 Metode identifikacije
V nadeljevanju bomo opisali tri uporabljene metode, ki
smo jih avtomatizirali. Ustaljeno stanje odziva na
stopnico iščemo s pomočjo variance in naklona premice.
Dosežemo ga takrat, ko je trenutna varianca šuma
približno enaka ocenjeni varianci šuma pred nastopom
stopnice, hkrati pa je naklon trenutne tangente na odziv
sistema približno enak nič.
3.1 Tangentna metoda
Tangentna metoda je ena najbolj intuitivnih metod. S
pomočjo ustaljenega stanja določimo ojačenje modela s
pomočjo tangente na krivuljo, ki ima največji naklon, pa
časovno konstanto in zakasnitev modela (slika 2).
Tangento določamo s pomočjo metode najmanjših
kvadratov, kjer za število vzorcev vzamemo
0,5Tmocena/Ts. Ts je čas vzorčenja, ki je približno desetino
časovne konstante procesa, Tmocena pa je ocenjena
časovna konstanta. Časovno konstanto ocenimo kot čas
od trenutka, ko se izhod procesa dvigne čez mejo šuma,
in do trenutka, ko preide v bližino ustaljenega stanja.
3.2 Metoda ploščin
Metoda temelji na računanju ploščine A0 (slika 3) in
ploščine pod odzivom sistem A1. Za izpeljavo je
predpostavljen odziv sistema prvega reda. S pomočjo
ploščine A0 in ojačenja sistema (Km), ki ga zopet
določimo iz ustaljenega stanja, določimo čas vzpona
signala Tar:
∫∫ −=−∞=
∞ arT
m dttsKdttssA
00
0 ))(())()((  (2)
mK
A
arT
0= . (3)
Časovno konstanto določimo z integracijo izhoda
sistema od nič do časa vzpona, kar nam da ploščino A1.
dteKdtA
D T
D
TDt
m
ar
m∫ ∫
−−−+⋅=
0
/)(
1 )1(0  (4)
11
1 ))1((
−− =−+= eTKeTTKA mmmmm  (5)
.1
m
m
K
eA
T =  (6)
Zakasnitev pa določimo prek zveze:
.mar TTD −=  (7)
Podrobnejšo izpeljavo najdemo v knjigi Ǻströma in
Hagglunda [1].
3.3 Izboljšana metoda ploščin
Izboljšana metoda ploščin je izpeljanka metode ploščin.
Na tem mestu bo podana poenostavljena izpeljava.
Podrobnejšo razlago in izpeljavo te metode lahko
najdemo v [2].
Slika 2: Tangentna metoda
Figure 2: Tangent method.
Slika 1: Bločna shema PFC
Figure 1: Block scheme of PFC.
Samonastavljivi algoritmi za prediktivnofunkcijski regulator 207
Za vsak trenutek k izračunamo ploščino pod izhodom
procesa.
== ∫
τ
τ
0
)()( dttyA , τ>D  (8)
Odziv procesa na stopnico amplitude W je enak:
)1()( /)( mTDtm eWKty
−−−=   za t>D. (9)
Enačbo (8) zapišemo kot:
][)(
)(
mWK
y
mm TDWKA
τττ −−= , (10)
kjer smo upoštevali relacijo iz enačbe (9):
m
m
WK
tyTDte
)(/)( 1−=−−  (11)
in y(D)=0.
Enačbo (10) zapišemo v matrični obliki:
[ ] )()( τττ A
T
DK
K
yWW
m
m
m
=










−−  za τ>D. (12)
Če to enačbo zapišemo za vsak vzorec izhodnega
signala y(τ), kjer je τ>D, dobimo sistem linearnih enačb:
Γ=Ψθ , (13)
kjer so matrike
T
mmm TDKK ][=θ , (14)










+−−+
−−
=Ψ
))(()(
)(
s
ss
TnmyWnmW
mTyWWmT
MMM , (15)










+
=Γ
))((
)(
s
s
TnmA
mTA
M , (16)
Ts je čas vzorčenja in m·Ts>D.
Oceno matrike θ lahko dobimo po metodi najmanjših
kvadratov:
ΓΨΨΨ= − TT 1)(θ̂ . (17)
V okolju, kjer je veliko šuma, se uporablja tudi enačba:
ΓΨ= − TT ZZ 1)(θ̂ , (18)
kjer je Z instrumentacijska matrika. S pomočjo matrike
Z minimiziramo vpliv šuma. Primer takšne matrike je:












−+
−
=
+ s
s
Tnms
mTs
Tnm
mT
Z
)(
1
1
1)(
1
MMM  (19)
4 Rezultati
Metode smo testirali na več simulacijskih procesih.
Zaradi omejitve prostora bomo podali rezultate za
proces:
s
p e
s
G 8.01
15
10 −
+
=  (20)
5
2
2
)159(
)184.1()181.13(
+
++−
=
s
ss
G p
(21)
ter za realno klimatsko napravo in motor. Motorju smo
dodali zakasnitev treh vzorcev in ga vzorčili s časom
vzorčenja 0,1 s. Klimatski napravi smo dodali
zakasnitev štirih vzorcev, vzorčili pa s časom vzorčenja
1 s. Realnim procesom smo dodali zakasnitve za
testiranje učinkovitosti metod. Točnost modelov smo
ocenjevali s pomočjo cenilke Cen in maksimalnega
odstopanja E, ki smo jih računali po naslednjih enačbah:
∑
=
−=
N
i
mpN
iyiyCen
1
21 ))()((  (22)
)));(/))()(((( ∞−= pmp
k
ykykyabsxamE  (23)
ym je izhod modela pri odzivu na stopnico, yp pa izhod
procesa pri odzivu na stopnico. Za izboljšano metodo
ploščin z instrumentacijsko matriko bomo uporabljali
simbol IMP_Z, za navadno izboljšano metodo ploščin
pa IMP_X.
V spodnjih tabelah (tab. 1, 2 in 3) so podani rezultati
simulacijskih primerov za identifikacijo, narejeno pri
Gaussovem šumu z varianco 0,01 in 0,001. Stopnica pa
je bila izbrana tako, da je bilo ustaljeno stanje sistema
vedno ena.
Identificirani modeli se z realnimi skladajo
predvsem pri nizkih frekvencah, medtem ko je pri
visokih odstopanje bolj očitno, kar se vidi tudi na
polarnih diagramih simuliranih procesov (sliki 4 in 5).
Po pričakovanjih se z realnim procesom bolje ujemajo
modeli, ki so bili identificirani pri manjšem šumu.
Problem tangentne metode in izboljšane metode ploščin
je, da je treba najprej oceniti časovno konstanto
Slika 3: Metoda ploščin
Figure 3: Area method.
208    Dovžan, Škrjanc
(tangentna metoda) oziroma točko m (izboljšana metoda
ploščin), kar je pri močno pošumljenih procesih (z
razmerjem med signalom in šumom pod 100) težko
določiti z zadovoljivo natančnostjo.
VARIANCA ŠUMA 0.01
tangentna
metoda
metoda
ploščin
IMP_Z IMP_X
Gp1
Cen 9.2e-2 4.1e-3 2.2e-2 3.9e-1
E [%] 11.1 3.8 13.8 38.1
Gp2
Cen 5.8e-3 9.5e-4 7.3e-4 8.0e-3
E [%] 41.6 11.0 13.3 41.6
Tabela 1: Vrednosti cenilk pri poskusu, opravljenem z
varianco šuma 0,01
Table 1: Cost-functions values for the experiment done with
the noise variance 0.01
VARIANCA ŠUMA 0.001
tangentna
metoda
metoda
ploščin
IMP_Z IMP_X
Gp1
Cen 1.8e-2 6.6e-3 1.6e-3 1.6e-3
E [%] 4.4 1.3 2.0 2.0
Gp2
Cen 4.1e-3 2.3e-3 1.9e-3 2.5e-3
E [%] 15.6 18.1 16.0 18.2
Tabela 2: Vrednosti cenilk pri poskusu, opravljenem z
varianco šuma 0,001
Table 2: Cost-functions values for the experiment done with
the noise variance 0.001.
REALNA NAPRAVA
tangentna
metoda
metoda
ploščin
IMP_Z IMP_X
MOTOR
Cen 5.2e-3 1.8e-3 5.7e-4 6.6e-4
E [%] 5.0 2.8 1.3 1.4
KLIMA
Cen 4.2e-4 1.1e-4 1.1e-4 1.0e-4
E [%] 15.5 15.4 14.7 12.6
Tabela 3: Vrednosti cenilk pri realnih napravah
Table 3: Cost-functions values for the experiment done on real
set-ups.
Na slikah 6 in 7 je prikazano vodenje motorja, na
slikah 8 in 9 pa klima naprave. Vodenje je tem boljše,
čim boljši je model procesa.
Za samo vodenje smo parametra regulatorja Tr in H
nastavljali vezano na dobljeni model. Za dobro vodljive
procese v obliki:
H=round(3/2·Tr/Ts)
Tr=Tm/10 (24)
In za slabo vodljive procese v obliki:
H=round(4·Tr/Ts)
Tr=Tm/5. (25)
Odločitev za slednje vrednosti je temeljila na
podlagi več simuliranih primerov in testiranja na realnih
napravah, kjer se je izkazalo, da s takimi nastavitvami
dobimo dober odziv sistema.
Če predpostavljamo, da je notranji model regulatorja
popolnoma enak procesu, lahko zapišemo zaprtozančno
prenosno funkcijo sistema kot:
sD
Kg
Tr
e
s
sH
m
m
−
⋅ +
=
1
1
)(
. (26)
Če v izraz vstavimo nastavitve za naše parametre in
upoštevamo izbiro časa vzorčenja približno desetino
časovne konstante procesa, ugotovimo, da pri dobro
vodljivih procesih pohitrimo odziv za faktor 4.8, pri
slabo vodljivih pa za faktor 1.8.
Slika 4: Prikaz polarnih diagramov prvega procesa. S polno
črto je prikazan polarni diagram dejanskega sistema, s črtkano
črto modela identificiranega pri varianci šuma 0.01 in pikčasta
pri varianci šuma 0.001. Pri metodi ploščin slednja poteka
tako tesno ob polni, da jo je skoraj nemogoče ločiti.
Figure 4: Polar diagrams of the first process. The full line
represents the polar diagram of the process, the dashed line the
model gained when the output noise of variance 0.01 was
present, and the dotted line the model gained when the noise
variance was 0.001. In the area method,  the dotted line is so
close to the full line that it is almost imposible to differentiate
between them.
Samonastavljivi algoritmi za prediktivnofunkcijski regulator 209
0 200 400 600 800 1000
3
3.5
4
4.5
5
time
y
IMP_Z
0 200 400 600 800 1000
0
2
4
6
8
10
time
u
0 500 1000 1500
3
3.5
4
4.5
5
IMP_X
time
y
0 500 1000 1500
0
2
4
6
8
10
time
u
Slika 8: Vodenje klimatske naprave s pomočjo identificiranih
parametrov po izboljšani metodi ploščin z navadnimi kvadrati
(desno) in z instrumentacijsko matriko (levo). Regulirni signal
je omejen na maksimalno vrednost 10 V in minimalno 0 V.
Figure 8: Control of the air conditioner with the parameters
identified with the improved area method with normal least
squares (right) and least squares with instrumental matrix
(left). The regulation signal is limited  to 10 V and 0 V.
0 10 20 30 40
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
IMP_Z
time
y
0 10 20 30 40
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
time
u
0 10 20 30 40
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
IMP_X
time
y
0 10 20 30 40
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
time
u
Slika 6: Vodenje motorja s pomočjo identificiranih parametrov
po izboljšani metodi ploščin z navadnimi kvadrati (desno) in z
instrumentacijsko matriko (levo).
Figure 6: Control of the DC motor with the parameters
identified with improved area method with normal least
squares (right) and least squares with instrumental matrix
(left).
0 10 20 30 40
1
1.5
2
2.5
3
metoda plošèin
time
y
0 10 20 30 40 50 60 70 80
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
time
u
0 10 20 30 40
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
tangentna metoda
time
y
0 10 20 30 40
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
time
u
Slika 7: Vodenje motorja s pomočjo identificiranih parametrov
po metodi ploščin (levo) in po tangentni metodi (desno).
Figure 7: Control of the DC motor with the parameters
identified with the area method (left) and tangent method
(right).
Slika 5: Prikaz polarnih diagramov drugega procesa. S polno
črto je prikazan polarni diagram dejanskega sistema, s črtkano
črto modela identificiranega pri varianci šuma 0.01 in pikčasta
pri varianci šuma 0.001.
Figure 5: Polar diagrams of the second process. The full line
represents the polar diagram of the process, the dashed line the
model gained when the output noise of variance 0.01 was
present and the dotted line the model gained when the noise
variance was 0.001.
210    Dovžan, Škrjanc
5 Sklep
Iz članka je razvidno, da je mogoče s pomočjo
preprostih algoritmov zgraditi samonastavljiv algoritem
s katerim lahko določimo parametre prediktivnega
funkcijskega regulatorja. Čeprav so se nekatere metode
na simulacijskih primerih izkazale za izredno dobre, pa
se na realnih procesih, ko imamo opravka tudi z
lezenjem in osciliranjem izhoda, pokaže, da njihovi
rezultati še zdaleč niso tako dobri kot pri simulaciji. Da
bi dobili najboljše parametre za vodenje, bi bilo treba v
algoritem samonastavljanja vgraditi vse omenjene
metode in na podlagi cenilke ter maksimalnega
odstopanja od procesa izbrati najboljši model.
6 Literatura
[1] K.J. Åström, T.Hagglund, PID Controllers: Theory,
Design and Tuning, The International Society for
Measurement and Control, North Carolina, 1995.
[2] Qiang Bi, Wen-Jian Cai, Eng-Lock Lee, Robust
identification of first order plus dead time model from
step response, Control Engineering Practice, Vol.7, No.
1, str. 71 – 77, January 1999.
[3] Edvardo F. Camacho, Carlos Bordons, Model Predictive
Control, Springer, London, 1999.
[4] Igor Škrjanc, Prezentacija Predictive functional control
for IDR blok, training for Mitsubishi electronics,
Ljubljana, June 2007.
[5] Škrjanc, D. Matko, Predictive functional control based
on fuzzy model for heat-exchange pilot plant, IEEE
Trans. on fuzzy systems, vol. 8, No. 6. pp. 705 – 712,
Dec. 2000.
[6] J.G. Ziegler, N.B. Nichols, Optimum settings for
automtic controlers, Trans. ASME, vol 64, pp. 759 –
768, 1942.
[7] J.G. Ziegler, N.B. Nichols, Process lags in automatic
control circuits, Trans. ASME, vol. 65, pp. 433 – 444,
1943.
[8] K.L. Chein, J.A. Hornes, J.B. Reswick, On automatic
control of generalized passive systems, Trans. ASME,
vol 74, pp. 175 – 185, 1952.
[9] K. Ogata, Modern control engineering, (2nd edn),
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1990.
[10] G. F. Franklin, J.D. Powell and A.E Baeini, Feedback
control of dynamic systems, Addison-Wesley, Reading,
MA, 1986.
[11] W.K. Ho, C.C. Hang, L.S. Cao, Tuning of PID
controlers based on gain phase margin specifications,
Automatica, vol. 31, No. 3, pp. 497 – 502, 1995.
[12] I.L. Chien and P.S. Fruehauf, Consider IMC tuning to
improve controller performance, Chem. Engn. Progr.,
vol 86, pp. 33 – 41, 1990.
[13] M. Morari, E. Zafiriou, Robust process control.,
Prentice-Hall, Engelwood Cliffs, NJ, 1989.
[14] K.J. Åström and T. Hägglund, Automatic tuning of PID
controlers, Instrument society of America, Research
Triangle Park, NC, 1988.
[15] W. Tan, J. Liu, P.K.S. Tam, PID tuning based on loop
shping H∞ control, IEEE Proc. Control Theory
Application, 145, pp. 485 – 490, 1998.
[16] P.J. Gawthrop, Self-tuning PID controllers: algorithms
and implementations, IEEE Trans. on Automatic
Control, vol. 31, No. 3, pp. 201 – 209, 1986.
[17] K.J. Åström and B. Wittenmark, On self-tuning
regulators, Automatica, vol. 9, No. 2, pp. 185-199, 1973.
[18] W. Liu and G. Wang, Auto-tuning procedure for model
based predictive control, Proceedings IEEE SMC, 5, pp.
3421 – 3426, 2000.
[19] J. Richalet, A. Rault, J.L. Testund and J. Papon, Model
predictive heuristic control: Application to industrial
processes, Automatica, vol. 14, pp. 413 – 428, 1978.
[20] Thomas Schön, Identification for predictive control - a
multiple model approach, Master thesis, Linköping,
Oct., 2001.
Dejan Dovžan je diplomiral leta 2008 na Fakulteti za
elektrotehniko v Ljubljani. Trenutno je zaposlen na isti
fakulteti kot mladi raziskovalec. Ukvarja se z modeliranjem in
vodenjem sistemov.
Igor Škrjanc je diplomiral leta 1992 na  Fakulteti za
elektrotehniko v Ljubljani, leta 1996 pa na isti fakulteti tudi
doktoriral. Leta 2008 je postal redni profesor. Ukvarja se z
adaptivnimi, mehkimi, prediktivnimi in mehkoadaptivnimi
regulacijskimi sistemi.
0 200 400 600
3
3.5
4
4.5
5
time
y
metoda plošèin
0 200 400 600
0
2
4
6
8
10
time
u
0 200 400 600 800 1000
3
3.5
4
4.5
5
time
y
tangentna metoda
0 200 400 600 800 1000
0
2
4
6
8
10
time
u
Slika 9: Vodenje klimatske naprave s pomočjo identificiranih
parametrov po metodi ploščin (levo) in po tangentni metodi
(desno). Regulirni signal je omejen na maksimalno vrednost
10 V in minimalno 0 V.
Figure 9: Control of the air conditioner with the parameters
identified with the area method (left) and tangent method
(right). The regulation signal is limited  to 10 V and 0 V.