1 Uvod
V zadnjih letih je v robotiki opaziti povečan razvoj algo-
ritmov za izvajanje periodičnih oz. ritmičnih nalog [1, 2].
Med te naloge spadajo povsem vsakdanje naloge, kot je
npr. hoja [3] ali rokovanje [4], ter naloge vodenja ra-
zličnih naprav, kot sta npr. napravi jojo [1] in žiroskopska
naprava imenovana Powerball [2, 5, 6]. Tako naprava
Prejet 15. oktober, 2009
Odobren 18. januar, 2010
jojo kot žiroskopska naprava Powerball sta nelinearna di-
namična sistema, ki za uspešno izvedbo zahtevata sinhro-
nizirano gibanje upravljavca in naprave. Njuno vodenje je
za človeka povsem preprosto. Izvedba teh nalog z roboti
pa je zahteven problem, ki zahteva uporabo naprednih
algoritmov vodenja in kompleksnih senzorskih sistemov
[1, 2]. Generiranje robotske trajektorije in njeno moduli-
ranje je v robotiki zahteven problem, ki za splošen sistem
še ni rešen. Eden od pristopov je generiranje trajektorije
s posnemanjem oz. imitacijo [7].
Robotske trajektorije lahko posnemamo na različne
načine [8]. Preprosteje je, da si zapomnimo časovno in-
deksirane vektorje [9]. Večkrat se uporabijo bolj kompak-
tni zapisi trajektorij, npr. z uporabo zlepkov [10] ali pa
verjetnostnih zapisov v obliki skritih modelov Markova
[11]. Eden od kompaktnejših zapisov je tudi uporaba
dinamičnih primitivov imenovanih DMP [12], ki trajek-
torijo zapišejo z vektorjem uteži, rekonstruirajo pa jo z
linearno kombinacijo jedrnih funkcij. Dodatna prednost
DMPjev je tudi zapis trajektorije z diferencialno enačbo
drugega reda, ki zagotavlja zvezno in odvedljivo trajek-
torijo.
Pri izvajanju periodičnih nalog je bistveno določiti os-
novno frekvenco gibanja [6]. Da lahko izločijo osnovno
frekvenco gibanja, morajo sistemi posnemanja gibanja
najprej obdelati demonstracijski signal [8]. V članku
opisujemo uporabo sistema za posnemanje gibanja, ki
deluje na podlagi DMP, kjer je določanje osnovne
32 Petrič, Gams, Žlajpah
frekvence demonstracijskega signala vključeno v sam
sistem. Tako sistem ne potrebuje nobene dodatne ob-
delave signala in omogoča sprotno prilagajanje frekvenci
zunanjega signala. Sistem deluje vzporedno v dveh
nivojih. Prvi nivo določi frekvenco merjenega signala,
drugi pa zagotavlja sledenje obliki trajektorije. Dvo-
nivojski sistem posnemanja gibanja, ki smo ga upora-
bili za izvedbo periodične naloge vodenja naprave jojo,
temelji na frekvenčno prilagodljivih oscilatorjih in neli-
nearnih dinamičnih sistemih [8] oz. DMPjih. V [8]
so avtorji pokazali, da je sistem uporaben za določanje
frekvence vhodnega signala, učenje oblike ene periode
vhodnega signala in posnemanje naučenega signala s
poljubno frekvenco in amplitudo. V tem prispevku bomo
pokazali, da se lahko podobno strukturiran sistem uporabi
za vodenje dinamičnih nelinearnih periodičnih nalog, kot
je vodenje naprave jojo.
Robotsko vodenje naprave jojo je že bilo predmet
več raziskav [1, 13, 14]. Razviti so bili namenski al-
goritmi vodenja s klasičnim pristopom na podlagi mo-
deliranja sistemov. Naš raziskovalni izziv je namesto
klasičnega pristopa z matematičnim modeliranjem upora-
biti pristop, ki se zgleduje po človeku. Povprečni uporab-
niki te naprave o dinamiki ne vedo kaj dosti, kljub temu
pa se večina kaj hitro nauči uporabljati napravo. Podobno
velja tudi za predlagani imitacijski sistem, saj ta ne temelji
na modelih vodene naprave, temveč je odvisen le od
merljivega periodičnega signala. Takšna struktura vo-
denja bistveno poenostavi sinhronizacijo robota z zadano
nalogo in omogoča preprosto doseganje človeku podob-
nih rezultatov pri izvajanju nalog, ki zahtevajo sinhro-
nizacijo z vodeno napravo.
V naslednjih poglavjih je najprej podan opis predla-
ganega sistema vodenja (2. poglavje). V 3. poglavju je
opisan eksperimentalni sistem in dokumentirani so rezul-
tati vodenja. Sklepi so podani v 4. poglavju.
2 Imitacijski sistem
Imitacijski sistem je bil podrobno opisan za uporabo v
cikličnih periodičnih nalogah v [8]. Avtorji so pokazali,
da je sistem uporaben za določanje frekvence vhod-
nega signala, učenje oblike ene periode in posnemanje
naučenega signala pri poljubni frekvenci in amplitudi. V
tem prispevku je predstavljena uporaba imitacijskega sis-
tema za določanje frekvence periodične naloge, sinhro-
nizacije robota s specifično nalogo in modulacijo pred-
definirane trajektorije. Predlagana struktura vodenja
omogoča vodenje različnih periodičnih nalog, ki imajo
vsaj eno merljivo periodično veličino.
Strukturo imitacijskega sistema sestavljata dva nivoja,
kot to prikazuje slika 1. Prvi nivo predstavlja kanonični
dinamični sistem (nabor diferencialnih enačb). Naloga na
tem nivoju je izločiti osnovno frekvenco vhodnega sig-
nala, ki je katerakoli merljiva periodična veličina. Če se
imitacijski sistem uporabi za učenje trajektorije, kot v [8],
je želena trajektorija enaka vhodnemu signalu. Drugi nivo
sistema je izhodni dinamični sistem, katerega izhod je
želena trajektorija robota. Diferencialne enačbe tega sis-
tema so drugega reda, kar zagotavlja gladko in odvedljivo
trajektorijo. Izhodni signal sestavimo z linearno kombi-
nacijo utežnih in jedrnih funkcij ψ.
+
-
Kanonični
dinamični
sistem
Izhodni
dinamični
sistem+
+
yin(t)
Ω
φ yd(t)
w
φl
r
Slika 1. Predlagana dvonivojska struktura sistema vodenja.
Vhod v sistem je merjena periodična veličina yin, izhod je
želena trajektorija robota yd. φl je fazni zamik med vhodnim
in izhodnim signalom in r je parameter amplitude izhodnega
signala
Figure 1. Proposed two-layered structure of the control system.
The input yin is a measured periodic quantity and the output is
the desired trajectory yd of the robot. φl is the phase lag between
the input and the output signal and r is the amplitude parameter
Algoritem imitacijskega sistema je naslednji.
Kanonični dinamični sistem izloči osnovno frekvenco
Ω in fazo φ. Ti veličini sta povezani z izhodnim
dinamičnim sistemom in določata frekvenco želene
trajektorije. Oblika trajektorije je podana z vnaprej
naučenim vektorjem uteži w in jedrnimi funkcijami ψ.
Trajektorija se sinhronizira s frekvenco Ω s sidranjem
jedrnih funkcij ψ na fazo φ. Naslednji poglavji podrobno
opisujeta posamezna nivoja imitacijskega sistema.
2.1 Kanonični dinamični sistem
Naloga kanoničnega sistema je izločiti osnovno
frekvenco Ω, zagotoviti stabilno ciklično obnašanje
sistema in s tem določiti fazo φ. Kanonični dinamični
sistem sestavlja množica frekvenčno prilagodljivih faznih
oscilatorjev [15, 16]. Oscilatorji so združeni v povratno
zanko [8, 17], kot to prikazuje slika 2.
Matematična struktura M adaptivnih frekvenčnih os-
cilatorjev je podana z enačbami:
φ̇i = ωi −Ke(t) sinφi, (1)
ω̇i = −Ke(t) sinφi, (2)
e(t) = yin(t)− ŷ(t), (3)
ŷ(t) =
M
∑
i=1
αi cosφi, (4)
α̇i = ηe(t) cosφi, (5)
kjer je K konstanta medsebojne povezanosti, φi faza i-
tega oscilatorja, e(t) vhod v oscilatorje, yin vhodni signal,
M število oscilatorjev, αi amplituda i-tega oscilatorja in η
konstanta učenja.
Vsi oscilatorji imajo enak vhodni signal e(t), kot to
prikazuje slika 2. Zaradi negativne povratne zanke (3),
Robotizirani jojo: strategija vodenja z uporabo nelinearnih dinamičnih sistemov 33
+
-
yin(t)
e(t)
ŷ(t)
Ω, Φ
∑
αicos(φi)
ω1(t), φ1
ω2(t), φ2
ω3(t), φ3
ωM (t), φM
Logic
Slika 2. Povratnozačna struktura M nelinearnih frekvenčno pri-
lagodljivih oscilatorjev
Figure 2. Feedback structure of M nonlinear adaptive frequency
oscillators
se razlika med vhodnim signalom in vsoto posameznih
faznih signalov približuje ničli. Takšna struktura se lahko
prilagodi različnim frekvenčnim komponentam vhodnega
signala. Število frekvenčnih komponent je odvisno od
števila uporabljenih frekvenčnih oscilatorjev. Ker je za
izvajanje periodičnega giba pomembna samo osnovna
frekvenca, sledi strukturi logični blok, ki določi osnovno
frekvenco. Izbira oscilatorja z osnovno frekvenco je
pomembna, saj izbrani oscilator poganja drugi nivo im-
itacijskega sistema.
Kanonični dinamični sistem se lahko uporabi tudi kot
samostojen imitacijski sistem [17]. Z dodanim izhod-
nim dinamičnim sistemom zagotovimo predvsem večjo
robustnost sistema na različne perturbacije in možnost
kompleksnih trajektorij z majhnim številom oscilatorjev.
2.2 Izhodni dinamični sistem
Izhodni dinamični sistem se uporablja za generiranje in
moduliranje oblike izhodnega signala. Kot je prikazano
na sliki 1, so vhodi v izhodni dinamični sistem: osnovna
frekvenca Ω, faza φ, amplituda trajektorije r in vektor
uteži w. Ta vektor skupaj z diferencialnimi enačbami in
jedrnimi funkcijami ψ določa obliko izhodnega signala
drugega reda.
Enačbe (6-11) veljajo za eno prostostno stopnjo sig-
nala. Za več prostostnih stopenj se algoritem poveže vz-
poredno. Obnašanje dinamičnega sistema je naslednje:
trajektorija y potuje proti sidrišču g, kar podaja enačba
ż = Ω




αz (βz (g − y)− z) +
N
∑
i=1
ψiwir
N
∑
i=1
ψi




, (6)
ẏ = Ωz. (7)
V tem primeru je Ω frekvenca, dobljena iz kanoničnega
dinamičnega sistema, αz in βz sta pozitivni konstanti,
ki zagotavljata, da sistem monotono konvergira k trajek-
toriji, ki oscilira okoli sidriščne točke g. N je število je-
drnih funkcij. Parameter r določa amplitudo izhodnega
signala. Nelinearen člen v enačbi (6) določa želeno ob-
liko trajektorije z množenjem jedrnih funkcij in vnaprej
definiranega vektorja uteži w (wi ∈ w, i = 1, ..., N ).
Jedrne funkcije ψ imajo Gaussovo obliko in so podane z
enačbo
ψi = exp (h (cos (φ− ci)− 1)) . (8)
Njihovo širino določa h, porazdeljenost na eni periodi pa
ci. V našem primeru je ci enakomerno porazdeljen med 0
in 2π v N korakih.
Predlagani dvonivojski imitacijski sistem se lahko
uporabi ne samo za generiranje in moduliranje izhod-
nega signala, temveč tudi za učenje nove trajektorije.
Ta prispevek se osredinja na generiranje in moduliranje
izhodnega signala. Kot je bilo prikazano v [8], se lahko
sistem uporabi tudi za učenje nove trajektorije, in sicer
tako, da se v vsakem koraku spremeni vektor uteži w z
metodo progresivne lokalne utežnostne regresije (ang. in-
cremental locally weighted regression) [18]. S podanim
ciljem ftarg(t) in r(t) je posodobitev wi v rekurziji po-
dana z
w
t+1
i = w
t
i +ΨiP
t+1
i r(t)er(t), (9)
P
t+1
i =
1
λ
(
P
t
i −
P
t2
i r
t2
λ
Ψi
+ P
t
i r
t2
)
, (10)
er(t) = ftarg(t)− w
t
ir(t). (11)
Začetno stanje rekurzije je wi = 0 in Pi = 1,
kjer je i = 1, ..., N . S tem algoritmom smo določili
utežnostni vektor za vnaprej definirano trajektorijo za vo-
denje naprave jojo. Rezultate učenja želene trajektorije
prikazuje slika 4.
Dodatna prednost izhodnega dinamičnega sistema je
gladko moduliranje izhodnega signala. To je pomembno,
kadar imamo opravka s hitrimi dinamičnimi nalogami.
3 Vodenje naprave jojo
V tem poglavju je predstavljena uporaba imitacijskega
sistema za robotsko vodenje naprave jojo. Na eksperi-
mentalnem sistemu je predstavljena uporaba imitacij-
skega sistema z merjeno silo v povratni zanki in z rela-
tivnim položajem naprave jojo v povratni zanki. Upora-
bili smo različni napravi jojo. Njuni parametri so podani
v tabeli 1.
Opravljene so bile različne raziskave ter izpeljani ra-
zlični algoritmi za vodenje naprave jojo [1, 13, 14]. Ti
algoritmi se med seboj ločijo glede na merjeno veličino,
ki je v povratni zanki. Na primer, veličina je lahko re-
lativna višina naprave jojo, ki se lahko meri z uporabo
računalniškega vida. Kot je opisano v [1], je pri
34 Petrič, Gams, Žlajpah
Tip ra [m] l [m] m [kg]
A 0.01 0.85 0.2564
B 0.01 0.7 0.2564
Tabela 1. Parametri naprav jojo, uporabljenih v eksperimentih
Table 1. yoyo parameters used in experiments
človeku informacija o višini ključna za uspešno igranje
z napravo. V [13] so avtorji pokazali, da za uspešno
robotsko vodenje naprave jojo zadostuje tudi samo mer-
jenje sile na vrvici. V obeh primerih algoritma vo-
denja temeljita na natančnem poznavanju dinamičnega
obnašanja naprave. V tem prispevku pa je namesto
klasičnega modeliranja uporabljen pristop, ki posnema
človeka. Vodenje ne temelji več na modelih vodene
naprave, temveč je odvisno le od poljubnega periodično
merljivega signala. Takšna struktura vodenja bistveno
poenostavi sinhronizacijo robota z napravo. Sinhro-
nizacija ne temelji več na poznavanju dinamike naprave
jojo, temveč se vzpostavi s pomočjo frekvence in trenutne
faze merjenega periodičnega signala. To prinese dodatno
prednost, saj je vhodni signal lahko katerakoli merljiva
periodična veličina vodene naprave.
Za izvedbo eksperimenta je bil uporabljen robot Mit-
subishi PA-10 s sedmimi prostostnimi stopnjami. Na
vrh robota smo pritrdili senzor sil in navora JR3, nanj
pa dvoprstno prijemalo. V poglavju 3.2 je prikazana
dodatna uporaba kamere, s katero smo merili relativno
višino naprave jojo. Eksperimentalno postavitev podaja
slika 3. Implementacija imitacijskega sistema je izvedena
v okolju MATLAB/SIMULINK s frekvenco 100 Hz.
Senzor sile
Jojo
Prijemalo
Vrv
Mitsubishi
Pa-10
Kamera
Slika 3. Eksperimentalni sistem
Figure 3. Experimental setup
Za izvedbo kakršnekoli naloge z napravo jojo je treba
najprej definirati obliko trajektorije v eni periodi. Upora-
bili smo vzorec, ki je opisan v [1]. Vzorec temelji na
analizi gibanja naprave in omogoča vodenje naprave jojo.
Obliko želene pozicije h, hitrosti ḣ in pospeška ḧ podaja
slika 4.
Utežnostni vektor w za obliko trajektorije na sliki 4
smo določili s pomočjo algoritma, opisanega z enačbami
(9) - (11). Naučeni signal je prikazan s črtkano črto na
h
href h
ḣ
0 1
ḧ
t [s]
Slika 4. Vnaprej definirana oblika trajektorije vrha roke za
igranje z napravo jojo
Figure 4. Pre-defined hand motion pattern for playing yoyo
sliki 4. Utežnostni vektor je osnova za kreiranje izhod-
nega signala iz imitacijskega sistema. Frekvenca in faza
izhodnega dinamičnega sistema ter s tem tudi sinhro-
nizacija robota z zadano nalogo je določena s kanoničnim
dinamičnim sistemom. Gibanje robota smo omejili v
eni smeri (gor-dol) s pomočjo inverznega kinematičnega
modela. V nadaljevanju so predstavljeni rezultati vodenja
z merjeno silo v povratni zanki (poglavje 3.1) in merjenim
položajem v povratni zanki (poglavje 3.2).
3.1 Vodenje pri sinhronizaciji z merjeno silo
Shema vodenja ob sinhronizaciji z merjeno silo je pred-
stavljena na sliki 5. Kot je razvidno, imitacijski sistem
generira in modulira želeno trajektorijo vrha robota, na
katerem je pritrjena naprava jojo. Sila F , ki se meri s
senzorjem sil in navorov JR3 na vrhu robota, zaključuje
povratno zanko vodenja.
+
-
Kanonični
dinamični
sistem
Izhodni
dinamični
sistem
Jojo
ali
h(t)
F (t)
Ω
φ x(t)
w
Slika 5. Predlagana dvonivojska struktura za vodenje naprave
jojo s silo ali relativnim položajem v povratni zanki
Figure 5. Proposed two-layered structure of the control system
for playing with yoyo, using force feedback or relative hieght of
the jojo as a feedback
Rezultati frekvenčne adaptacije so predstavljeni na
sliki 6. Na zgornjem levem diagramu je predstavljena
merjena sila v časovnem okviru od 0 do 400 s. Ker je ob-
lika in frekvenca pulzov čez celotni časovni okvir enaka,
sklepamo, da je naprava jojo dosegla stabilno delovanje.
Podrobnejši vpogled v obliko merjene sile F podaja
zgornji desni graf, kjer je časovni okvir od 200 do 210
s. S primerjavo desnih grafov opazimo, da je imitacij-
Robotizirani jojo: strategija vodenja z uporabo nelinearnih dinamičnih sistemov 35
0 100 200 300 400
−3
−2
−1
0
1
F
[N
]
0 100 200 300 400
0
5
10
t [s]
Ω
[r
a
s/
s]
200 205 210
−3
1
F
[N
]
200 205 210
0
0.1
x
[m
]
t [s]
Slika 6. Vodenje naprave jojo s silo F v povratni zanki (zgornja
grafa). Trajektorija robota v smeri x (spodnji desni graf) in
frekvenca Ω (spodnji levi graf). Jojo tipa A
Figure 6. Playing yoyo by measuring only the force F (top
plots). Robot trajectory x (bottom left plot) and the extracted
frequency Ω (bottom right plot). Yoyo: type A
skemu sistemu uspelo sinhronizirati gibanje robota x z
merjeno silo F , ki v tem primeru pomeni merljivo pe-
riodično veličino vodene naprave. Na spodnjem levem
grafu je ponazorjena frekvenca Ω, kjer opazimo nihanje
okoli določene srednje vrednosti. Vzrok za nihanje okoli
srednje vrednosti je v obliki vhodnega signala (sile F ),
katerega smo zaradi boljše konvergence imitacijskega sis-
tema in povečanja razmerja med šumom in koristim sig-
nalom preoblikovali tako, da smo mu povečali njegovo
površino.
3.2 Vodenje pri sinhronizaciji z merjenim
relativnim položajem
V tem podpoglavju je predstavljena implementacija imi-
tacijskega sistema za vodenje naprave jojo z merjenim
položajem v povratni zanki. Relativni položaj naprave
glede na vrh robota se lahko uspešno določi s pomočjo
merilnega videosistema. V prispevku [1] avtor pravi, da
človek za igranje z napravo jojo potrebuje vizualno infor-
macijo o trenutnem položaju naprave.
Prav tako kot v poglavju 3.1 je tudi v tem poglavju
uporabljen enak princip vodenja, kar ponazarja shema na
sliki 5. V tem primeru je vhodni signal v imitacijski sis-
tem relativni položaj naprave jojo.
Kot je prikazano na spodnjem grafu na sliki 7, se
frekvenca Ω hitro prilagodi frekvenci gibanja naprave
jojo. S tem dosežemo stabilno obnašanje naprave. Potek
gibanja naprave jojo je prikazan na zgornjem grafu na
sliki 7, kjer je s črtkano črto ponazorjena največja višina,
ki jo naprava doseže v eni periodi. Opazimo, da se kljub
temu, da je amplituda giba konstantna, maksimalna višina
naprave jojo spreminja. To je posledica nihanja same
naprave jojo, ki lahko na trenutke povzroči povečanje
trenja med vrvjo in njenima diskoma, kar posledično
zmanjša doseženo največjo višino naprave.
Frekvenca naprave jojo je odvisna od njenih
parametrov in od največje višine, ki jo doseže v eni pe-
0 10 20 30 40 50 60
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
h
[m
]
h hpeek
0 10 20 30 40 50 60
2
3
4
t [s]
Ω
[r
a
s/
s]
Slika 7. Vodenje naprave jojo z merjenjem relativne višine h
(zgornji graf). Jojo tipa B
Figure 7. Playing yoyo by measuring the relative hihgt h (the
top plot). Yoyo: type B
riodi. Na to višino lahko vplivamo z velikostjo amplitude
giba. Amplitudna modulacija je z uporabo imitacijskega
sistema preprosta in se doseže s spremembo parametra r
(glej enačbo (6) in sliko 1).
Z uvedbo reguliranja parametra r dosežemo regulacijo
maksimalne višine naprave jojo v eni periodi. Vhod v re-
gulator je razlika med referenčno in največjo vrednostjo
položaja naprave v eni periodi. Uporabili smo PI regula-
tor
u(t) = kpe(t) + ki
∫
e(t)dt, (12)
s parametroma kp = 2 in ki = 0.4. Parametra smo
določili empirično.
+
-
Kanonični
dinamični
sistem
Izhodni
dinamični
sistem
Jojo
R
h(t)
Ω
φ x(t)
w
hd h̃
Slika 8. Predlagana dvonivojska struktura za reguliranje na-
jvečje višine, ki jo naprava jojo doseže v eni periodi
Figure 8. Proposed two-layered structure of the control system
for regulating the peak hight of the yoyo
Rezultati regulacije največje višine, ki jo naprava jojo
doseže v eni periodi, so podani na sliki 9. Izkaže se, da
potem ko se imitacijski sistem sinhronizira z napravo, kar
ponazarja frekvenca Ω (spodnji graf), ta dobro sledi refe-
renčni vrednosti. Doseženo vodenje naprave je stabilno.
Določena odstopanja, ki so opažena v merjeni relativni
višini, so bodisi posledica napake merilnega sistema bod-
isi posledica že opisanega nihanja naprave jojo.
4 Sklep
Najpomembnejši prispevek tega dela je uvedba imitacij-
skega sistema v vodenje dinamičnih ritmičnih nalog, ki
so nelinearne in hkrati zahtevajo sinhronizacijo gibanja
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
h
[m
]
h href
0 50 100 150 200 250 300 350 400
2
2.5
3
3.5
t [s]
Ω
[r
a
s/
s]
Slika 9. Vodenje naprave jojo z reguliranjem relativne višine h
(zgornji graf). Jojo tipa B
Figure 9. Regulating the peak height of the yoyo by measuring
the relative height h (the top plot). Yoyo: type B
robota z vodeno napravo. Zaradi preproste uporabe in ro-
bustnosti, ki jih prinaša predlagani imitacijski sistem, je ta
primeren za vodenje takšnih nalog. Pomembno je le, da je
vhod v imitacijski sistem ena periodično merljivih veličin
sistema. Na primeru naprave jojo so prikazani eksperi-
mentalni rezultati uporabe imitacijskega sistema. Izkaže
se, da kljub temu, da je naloga dinamična, nelinearna in
periodična, imitacijskemu sistemu uspe pravilno in dovolj
hitro razbrati frekvenco in sinhronizirati gibanje robota z
gibanjem naprave.
Dodatno je bilo na primeru jojo pokazano, da je sis-
tem neodvisen od vhodne merilne veličine, dokler je ta
ena merljivih periodičnih veličin. V obeh predstavljenih
primerih, merjenje sile ali merjenje relativnega položaja,
je sistemu uspelo hitro razbrati pravilno frekvenco in vz-
postaviti stabilno delovanje naprave. Po do zdaj objavl-
jenih podatkih je ta sistem edini, ki je brez bistvenih spre-
memb algoritma vodenja sposoben voditi napravo jojo, ne
glede na izbrani merjeni signal. Z uvedbo regulacijske
zanke za parameter r, ki omogoča amplitudno modulacijo
trajektorije, smo dosegli tudi regulacijo največje višine, ki
jo naprava jojo doseže v eni periodi na realnem sistemu.
5 Literatura
[1] L. Žlajpah, Robotic yo-yo: modeling and control strate-
gies, Robotica, Vol 24(2), pp. 211–220, 2005.
[2] P. Cafuta in B. Curk, Neholonomsko robotsko breme,
Elektrotehniški vestnik, Vol. 76(3), pp. 103–107, 2009.
[3] A.J. Ijspeert, Central pattern generators for locomotion
control in animals and robots: a review, Neural Networks,
Vol. 21(4), 2008.
[4] T. Kasuga in M. Hashimoto, Human-robot handshaking
using neural oscillators, Proc. IEEE Int. Conf. Robotics
and Automation, Spain (Barcelona), April, Vol. 4, pp.
3802–3807, 2005.
[5] A. Gams, J. Lenarčič in L. Žlajpah, Vrtenje žiroskopske
naprave z robotom, Elektrotehniški vestnik, Vol. 74(4), pp.
223–228, 2007.
[6] T. Petrič, A. Gams in L. Žlajpah, Modeling and control
strategy for robotic powerball, Proc. Int. Conf. Robotics
in Alpe-Adria-Danube Region, RAAD, Romania (Brasov),
May 25–27, 2009.
[7] S. Schaal, Is imitation learning the route to humanoid
robots?, Trends in cognitive sciences, Vol 3(6) , pp. 233–
248, 1999.
[8] A. Gams, A. J. Ijspeert, S. Schaal in J. Lenarčič, On-
line learning and modulation of periodic movements with
nonlinear dynamical systems, Autonomous Robots, Vol.
27(1), pp. 3-23, 2009.
[9] S. Kawamura in N. Fukao, Interpolation for input
torque patterns obtained through learning control, Proc.
Int. Conf. Automation, robotics and computer vision
(ICARCV’94), 1994.
[10] A. Ude, C. G. Atkeson, in M. Riley, Planning of joint
trajectories for humanoid robots using B-spline wavelets,
Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, Califor-
nia (San Francisco), April, pp. 2223–2228, 2000.
[11] S. Calinon in A. Billard, Recognition and reproduction
of gestures using a probabilistic framework combining
PCA, ICA and HMM, Proc. Int. Conf. Machine Learning
(ICML), Germany (Bonn), August , pp. 105–112, 2005.
[12] S. Schaal, J. Peters, J. Nakanishi, in A. Ijspeert, Learn-
ing movement primitives, International Symposium on
Robotics Research (ISRR2003), Springer Tracts in Ad-
vanced Robotics, Ciena, Italy: Springer, 2004.
[13] H. Jin, Q. Ye, in M. Zacksenhouse, Return maps, pa-
rameterization, and cycle-wise planning of yo-yo playing,
IEEE Trans. Robotics, In press, 2009.
[14] A. Gams, T. Petrič in L. Žlajpah, Controlling yo-yo and
gyroscopic device with nonlinear dynamic systems, Proc.
Int. Conf. Robotics in Alpe-Adria-Danube Region, RAAD,
Romania (Brasov), May 25–27, 2009.
[15] J. Buchli in A. Ijspeert, A simple, adaptive locomotion
toy-system, Proc. Int. Conf. Simulation of Adaptive Be-
havior (SAB’04), MIT Press, pp. 153–162, 2004.
[16] L. Righetti, J. Buchl in A. Ijspert, Dynamic hebbian learn-
ing in adaptive frequency oscillators, Physica, Vol. D
216(2) pp. 269–281, 2006.
[17] L. Righetti in A. Ijspeert, Programmable central pattern
generators: an application to biped locomotion control,
Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, pp. 1585–
1590, 2006.
[18] S. Shall in C. G. Atkeson, Constructive incremental learn-
ing from only local information, Neural Computation ,
Vol. 10(8), pp. 2047–2084, 1998.
Tadej Petrič je diplomiral leta 2008 na Fakulteti za elek-
trotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru. Zaposlen
je kot mladi raziskovalec na Institutu ”Jožef Stefan”.
Andrej Gams je diplomiral leta 2003 in doktoriral leta 2009 na
Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Zaposlen je kot razisko-
valec na Institutu ”Jožef Stefan”.
Leon Žlajpah je diplomiral leta 1982, magistriral leta 1985 in
doktoriral leta 1989 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani.
Je raziskovalec in vodja odseka za avtomatiko, biokibernetiko in
robotiko na Institutu ”Jožef Stefan”.