1 UVOD
Izračun pretokov moči je osnovni izračun, ki se
uporablja pri obratovanju in načrtovanju EES. Ker se
obratovalni pogoji v EES spreminjajo tako na strani
proizvodnje kot na strani porabe, spreminja pa se tudi
topologija prenosnih poti, je treba za vse te pogoje
izračunati pretoke moči in napetostna stanja. Ker je
nemogoče predvideti vsa obratovalna stanja, ki bodo
nastopila, in s tem izvesti izračune za vsa ta obratovalna
stanja, so se razvile stohastične oz. verjetnostne metode
za izračun pretokov moči.
Glavni motiv pri razvoju teh metod je bila želja po
natančnem načrtovanju in vodenju sistema s
poznavanjem vseh mogočih scenarijev, ki naj bi bili tudi
finančno ovrednoteni. To pa je ključni dejavnik pri
optimizaciji sistema. Če je sistem predimenzioniran,
imamo po nepotrebnem povečane stroške zaradi gradnje
in vzdrževanja, če pa je sistem »poddimenzioniran«,
lahko nastanejo dodatni stroški zaradi povečanih izgub,
povečane verjetnosti odpovedi elementov in povečane
količine nedobavljene električne energije. S pomočjo
verjetnostnih pretokov moči lahko poiščemo statistično
optimalno dimenzioniranje postroja.
Najprej uporabljena in najbolj točna izmed
verjetnostnih metod za prenosna in distribucijska
omrežja je metoda Monte Carlo, ki ima negativno
lastnost, da je počasna in potrebuje veliko programskega
prostora [3], [4], [5] in [6]. Metoda namreč za vse
mogoče dogodke in stanja sistema izračuna pretoke
moči in napetostne razmere. Da bi se izognili tem
Prejet 1. oktober, 2013
Odobren 7. november, 2013
mailto:jerneja.bogovic@fe.uni-lj.si
mailto:gorazd.bone@fe.uni-lj.si
mailto:rafael.mihalic@fe.uni-lj.si
252 BOGOVIČ, BONE, MIHALIČ
problemom, so bile razvite hitrejše metode za
verjetnostni izračun pretokov moči. Te metode so
metoda, ki predvideva normalno porazdelitev,
momentna metoda, konvulucijska metoda in metoda
kumulant [4], [6]. Prednost teh metod je, da so hitre,
slabost pa, da so nekoliko manj točne. Kot rezultat
podajo srednjo vrednost in standardni odklon oz. zbirno
funkcijo verjetnosti, pri čemer se večje nelinearnosti
sistema ne upoštevajo, saj se sistem linearizira okoli
neke delovne točke.
Na tem mestu je natančneje predstavljena metoda z
uporabo kumulant in Gram-Charlierjev razvoj v vrsto za
prenosna omrežja. V literaturi metoda temelji na
izračunu verjetnostnih pretokov moči in napetostnih
razmer, ko se spreminjajo le injicirane delovne in jalove
moči [3], [7], [8], [9], [10]. Pogoj za uporabo metode so
konstantne amplitude napetosti na generatorjih ter
konstantna amplituda napetosti in kot napetosti v
bilančnem vozlišču. Če te vrednosti niso konstantne, se
lahko uporabi razširjena metoda, ki je na tem mestu
dodatno predstavljena. Razširjena metoda je prav tako
uporabna, če so v EES vključene regulacijske naprave
(FACTS), pri čemer se spreminja pretok moči skozi
napravo, injicirana napetost naprave ali želena napetost
v vozlišču, kjer je naprava priključena.
2 VERJETNOSTNI IZRAČUN PRETOKOV MOČI
PO METODI KUMULANT
Verjetnostni izračun pretokov moči po metodi kumulant
je preprosta in hitra, a ne tako točna metoda, ki nam
prikaže, kolikšna je verjetnost, da bo v EES prišlo do
posamezne vrednosti pretokov moči in napetostnih
razmer. Do zdaj je bila metoda uporabljena tako, da je
omogočala spreminjanje le injiciranih moči bremen in
generatorjev, v članku pa je prikazana metoda
razširjena, tako da je uporabna tudi pri spreminjanju
generatorske napetosti in kazalca napetosti v bilančnem
vozlišču ter upoštevanju regulacije hitrih regulabilnih
naprav.
Sestavljena je iz štirih korakov. Prvi korak je izračun
pretokov moči po Newton-Raphsonovi metodi.
Naslednji korak je linearizacija okoli delovne točke, kjer
so vrednosti spremenljivk enake srednjim vrednostim.
Tretji korak je izračun kumulant, zadnji korak pa izris
porazdelitvene funkcije s pomočjo Gram-Charlierjevega
razvoja v vrsto. Vsi koraki so v nadaljevanju podrobneje
razloženi.
2.1 Newton-Raphsonva metoda za izračun
pretokov moči
Newton-Raphsonova metoda za izračun pretokov moči
je metoda, ki temelji na sistemu enačb, ki opisujejo
ravnotežje med proizvodnjo in odjemom delovne in
jalove moči v vsakem vozlišču v EES razen v
bilančnem vozlišču in generatorskem vozlišču za jalovo
moč. Tako je EES opisan z (1) in (2).
  0
i i iLine G Load i
p U P P P      (1)
  0
i iLine Load i
q U Q Q     (2)
Tukaj pomeni  
iLine
p U  delovno moč, ki priteče po
vodu v i-to vozlišče v odvisnosti od napetosti,
iG
P
delovno moč generatorjev v i-tem vozlišču,
iLoad
P
delovno moč bremen v i-tem vozlišču,
i
P  vsoto vseh
delovnih moči v vozlišču i,  
iLine
q U  jalovo moč, ki
priteče po vodu v i-to vozlišče v odvisnosti od napetosti,
iLoad
Q jalovo moč bremen v i-tem vozlišču in
i
Q  vsoto
vseh jalovih moči vozlišču i.
Enačbi (1) in (2) lahko krajše zapišemo s (3).
 Z g X   (3)
Z  pomeni delovne in jalove moči v vozliščih,
X napetosti in g  funkcijo odvisnosti moči od
napetosti.
Ker je sistem enačb nelinearen, se za rešitev sistema
enačb lahko uporabi Newton-Raphsonova metoda.
Enačbe se razvijejo v Taylorjevo vrsto, naprej pa
upoštevamo samo prve člene iz razvoja. Pri razvoju v
Taylorjevo vrsto dobimo (4).
   0 0 0 0Z Z Z g X X g X G X         (4)
Sistem enačb se lahko izrazi v matrični obliki in reši
iterativno, kot je prikazano (5) – (8).
0
G X Z     (5)
0 , ,
i i
i i i i
i ii i
i i
P P
U P
G X Z
U QQ Q
U
 

  
 
      
        
        
 
  
(6)
      
1
0
k k k
X G Z

     (7)
     1k k k
X X X

    (8)
0
Z  pomeni delovno in jalovo moč v točki
linearizacije,
0
X  napetosti v delovni točki,
0
G  matriko
odvodov delovnih in jalovih moči po kazalcu napetosti
oz. Jacobojevo matriko, X  spremembe napetosti v i-
tem vozlišču, Z  spremembe moči v i-tem vozlišču in
k števec iteracij.
Iteracije se izvajajo, dokler ΔX ni dovolj majhna.
Konvergenca je zelo odvisna od izbranih začetnih
približkov X(0) in je včasih vprašljiva, če začetni
približki niso primeri. Več o tej metodi najdemo v [15]
in [18].
2.2 Razširjena Newton-Raphsonva metoda za
izračun pretokov moči
Pri spreminjanju napetosti v bilančnem in
generatorskem vozlišču dodamo enačbi, ki opisujeta
bilančno in generatorsko vozlišče.
, ,, s g reg fsU U  (9)
,s refs   (10)
RAZŠIRJENA METODA ZA VERJETNOSTNI IZRAČUN PRETOKOV MOČI Z UPORABO METODE KUMULANT 253
Pri tem ,s gU  pomeni amplitudo napetosti v bilančnem
ali generatorskem vozlišču in , , s g refU  referenčno
vrednost amplitude napetosti v bilančnem ali
generatorskem vozlišču,
s
  fazni kot napetosti v
bilančnem vozlišču in ,s ref  referenčno vrednost
faznega kota napetosti v bilančnem vozlišču.
Če pa imamo v EES dodatno vključeno še
regulabilno napravo, je treba za opis le-te upoštevati še
eno izmed enačb, ki opisuje regulabilno napravo.
*
,sj sj ref s sj
P P U I    
(11)
*
,sj sj ref s sj
Q Q U I     
(12)
,
s s ref
U U  (13)
,
sj sj ref
I I  (14)
,
se se ref
U U  (15)
Pri tem sjP  in ,sj refP  pomenita dejansko in referenčno
vrednost pretoka delovne moči med vozliščema s in j,
sj
Q  in ,sj refQ  pomenita dejansko in referenčno vrednost
pretoka jalove moči med vozliščema s in j, ,, ,s s s refU U U
kazalec, absolutno vrednost in referenčno vrednost
napetosti v vozlišču s,
*
,
, ,
sj sj sj ref
I I I  konjugirano
vrednost toka, absolutno vrednost toka in referenčno
vrednost toka, ki teče med vozliščema s in j, , ,  se ref seU U
pa referenčno in dejansko vrednost injicirane napetosti
naprave SSSC.
Več o tem najdemo v [17], [18].
Pri razširjeni Newton-Raphsonovi metodi Z  pomeni
delovne in jalove moči ter napetosti in tokove,
X napetosti in tokove ter g  funkcijo odvisnosti moči
od napetosti.
2.3 Linearizacija okoli delovne točke
V matematiki se linearizacija nanaša na ugotovitev
linearnega približka funkcije v dani delovni točki. V
študiji dinamičnih sistemov linearizacija omogoča
ocenjevanje lokalne stabilnosti ravnovesne lege sistema
nelinearnih diferencialnih enačb ali diskretnih
dinamičnih sistemov. Za linearizacijo EES se uporablja
Taylorjev razvoj v vrsto.
Pri razvoju (3) v Taylorjevo vrsto dobimo (16).
   0 0 0 0Z Z Z g X X g X G X         (16)
Naprej pa zanemarimo vse višje rede vrste ter
dobimo (17) in (18).
 0 0Z g X   (17)
0
Z G X     (18)
0
0
X X
Z
G
X 



. (19)
0
G  pomeni matriko odvodov delovnih in jalovih moči v
vozliščih, napetosti in tokov po kazalcu napetosti in
tokov oz. Jacobojevo matriko v delovni točki, X
spremembe napetosti v i-tem vozlišču ter tokov in Z
spremembe moči in napetosti v vozliščih ter tokov.
2.4 Metoda kumulant
Metoda kumulant spada med napredno statistiko.
Kumulante se uporabljajo za opis oz. aproksimacijo
funkcije gostote verjetnosti in porazdelitvene funkcije.
V teoriji verjetnosti in statistiki so kumulante n
funkcije gostote verjetnosti alternativa opisu funkcije z
momenti. Funkciji gostote verjetnosti, ki imata enake
momente, imata enake tudi kumulante.
V nekaterih primerih so teoretični izračuni s
kumulantami preprostejši od tistih, ki uporabljajo
momente. Kumulanta n slučajne spremenljivke x je
opredeljene s funkcijo za izračun kumulant (20).
   ln
!1
n
n
ttx
h t E e
nn


 
   
  
(20)
Pri tem  h t  pomeni funkcijo za izračun kumulant, E
operator pričakovane vrednosti slučajne spremenljivke
x , t  neodvisno spremenljivko,   kumulanto in n  red
kumulante. N-ti odvod funkcije h(t), kjer je t = 0, je
kumulanta n-tega reda. Kumulanta prvega reda pomeni
srednjo vrednost, kumulanta drugega reda varianco oz.
kvadrat standardnega odklona, kumulanta tretjega reda
koeficient simetrije in kumulanta četrtega reda
koeficient sploščenosti. Kumulante višjih redov nimajo
matematičnega pomena [14].
Za računanje s kumulantami veljajo ekvivalenca (21),
invarianca (22), homogenost (23) in aditivnost (24).
   1 1x c x c     (21)
   n nx c x    (22)
   nn ncx c x   (23)
     n n nx y x y      (24)
Pri tem in n  red kumulante, x  in y  slučajni
spremenljivki in c  konstanto [9], [12], [13].
2.5 Gram-Charlierjev razvoj v vrsto
Zadnji korak pri verjetnostnem izračunu pretokov moči
je izris funkcije gostote verjetnosti vozliščnih napetosti
in vejskih tokov iz izhodnih kumulant. Poznamo več
vrst, s katerimi lahko iz kumulant izdelamo funkcije
gostote verjetnosti izhodnih spremenljivk. To so Gauss-
Hermitski, Edgeworth, Cornish-Fisherjev in Gram-
Charlierjev razvoj v vrsto.
Za izris smo izbrali Gram-Charlierjev razvoj v vrsto,
ker za razvoj v vrsto uporablja funkcijo gostote
verjetnosti za normalno porazdelitev in ker omogoča
izris funkcije gostote verjetnosti v primerih, ko imamo
kumulante višjih redov. Za sam izris funkcije z Gram-
254 BOGOVIČ, BONE, MIHALIČ
Charlijevim razvojem v vrsto moramo poznati vse
kumulante funkcije. Če so le-te poznane, se izris
funkcije gostote verjetnosti izvede s (25) in zbirne
funkcije verjetnosti oz. porazdelitvene funkcije s (27).
           
       
3 43 4
2
5 65 6 3
3! 4!
10
5! 6!
f x x x x
x x
 
  
  
 
  

  
(25)
 
2
2
1 1
exp
22
x
x



  
   
   
(26)
   
x
F x f t dt

    (27)
Pri tem   pomeni standardni odklon in   srednjo
vrednost slučajne spremenljivke x  [3], [5], [7].
3 PRIMER UPORABE VERJETNOSTNEGA
IZRAČUNA PRETOKOV MOČI PO METODI
KUMULANT
Predstavljeno metodo smo preizkusili na dveh testnih
primerih, dve na zbiralčnem primeru in pet na
zbiralčnem primeru ACHA. Izračune smo izvedli s
programskim paketom Wolfram Mathematica. Dobljene
rezultate smo primerjali z rezultati, dobljenimi z metodo
Monte Carlo, in preverili ustreznost metode.
V prvem primeru smo analizirali rezultate, ko se
spreminjata amplitudi napetosti na generatorskem in
bilančnem vozlišču na dvozbiralčnem sistemu.
V omrežju je vozlišče V1 bilančno, napetost je
1.00° pu, vozlišče V2 je generatorsko, napetost je
1.0 pu. Standardni odklon amplitude napetosti v
bilančnem in generatorskem vozlišču je 0.02 pu.
Delovna moč, ki jo v vozlišče V2 injicira generator G2,
je 0.20 pu in je konstantna. Bazna moč znaša 100 MVA.
Podatki o vodih v pu enotah so X12 =1 pu.
V prvem koraku opišemo EES z vozliščnimi
enačbami (28) - (31) in vejske pretoke moči z (32) -
(35).
1 1,refU U   (28)
1 1,ref    (29)
2 2,refU U   (30)
    
2
2 2
2 1 21 2 1 2
22
1 2 1
cos sin
P U
U U G
G
B   
 
      
(31)
    
2
12 1
1 2 12 1 2 12 1
1
2
1
cos sin
P U
U U G B
G
   
 
      
(32)
    
2
12 1
1 2 12 1 2 12 1 2
11
sin cos
Q U
U U G B
B
   
  
      
(33)
    
2
21 2
2 1 21 2 1 21 2
2
1
2
cos sin
P U
U U G B
G
   
 
      
(34)
    
2
21 2
2 1 21 2 1 21 2 1
22
sin cos
Q U
U U G B
B
   
  
      
(35)
Pri tem
i
P  pomeni vozliščno delovno moč, ijP  vejsko
delovno moč,
i
Q  vozliščno jalovo moč, ijQ  vejsko
jalovo moč,
i
U  napetost v vozlišču,
i
  kot napetosti v
vozlišču,
ii
G  lastno konduktanco, ijG  medsebojno
konduktanco,
ii
B  lastno susceptanco in ijB  medsebojno
susceptanco.
1 1 1 1
1 1 2 2
1 1 1 1
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
U U U U
U U
U U
U U U U
U U
P P P P
U U
U U
U U
P
 
   
 
 
 
 

   
   
   
   
   
   
   
   
 
     
     
     
     
    
     
 
(36)
Sledita linearizacija in zapis enačb (28) - (31) v
matrični obliki (36) in izračun pretokov moči po (7) in
(8) ter (32) - (35).
Po končanem izračunu pretokov moči sledi izračun
kumulant. Izračunali bomo le prvo in drugo kumulanto
vhodnih spremenljivk, ki so
1 1 2 2
,  ,  ,  U U P . Izhodno
kumulanto n-tega reda izračunamo po (37).
0izh vhod
n
n n
G 

    (37)
Prva kumulanta je srednja vrednost. Ker smo pri
izračunu pretokov moči z Newton-Raphsonovo metodo
naredili premik po (21), je vrednost prve kumulante za
vse vhodne in izhodne spremenljivke enaka nič.
V naslednjem koraku smo izračunali vhodne
kumulante drugega reda (38), ki so variance oz. kvadrati
standardnega odklona.
1
1
1
2 2
2
2
2,
2,
2 2
2,
2,
0,0004
00
0,0004
00
vhod
U U
U U
P

 


 

     
     
            
     
       
(38)
Sledi izračun kumulant drugega reda izhodnih
spremenljivk (39), ki so koti in amplitude vozliščne
napetosti
1 1 2 2
,  ,  ,  U U  , po (37).
Slika 1: Model testnega omrežja
RAZŠIRJENA METODA ZA VERJETNOSTNI IZRAČUN PRETOKOV MOČI Z UPORABO METODE KUMULANT 255
1 1
1 1
2 2
2 2
2
2,
2
2,
2 2
2,
2
2,
0,0004
0
0,0004
0,00003
izh
U U
U U
 
 
 
 

 
 
    
    
          
    
       
. (39)
Za izračun kumulant vejskih pretokov moči je
postopek enak (37). V tem primeru je matrika 1
0
G

zmnožek matrike odvodov vejskih pretokov moči ijP  in
ij
Q  po vozliščnih napetostih in inverzne matrike
odvodov vozliščnih enačb (28) - (31) po vozliščnih
napetostih. Matrika vhodnih kumulant ostane
nespremenjena (38), matrika izhodnih kumulant pa se
nanaša na vejske pretoke moči (40).
12
12
21
21
2,
2,
2
2,
2,
0
0,0008
0
0,0008
izh
P
Q
P
Q





   
   
       
   
    
(40)
Rezultati, dobljeni s predstavljeno metodo, se ne
razlikujejo od rezultatov, dobljenih z metodo Monte
Carlo.
V naslednjem primeru smo analizirali rezultate, ko se
spreminjata amplitudi napetosti na generatorskem in
bilančnem vozlišču na petzbiralčnem sistemu ACHA.
V omrežju je vozlišče V1 bilančno, napetost je
1.030° pu, vozlišče V2 je generatorsko, napetost je
1.01 pu, preostala vozlišča so bremenska. Standardni
odklon amplitude napetosti v bilančnem in
generatorskem vozlišču je 0.02 pu. Delovna moč, ki jo v
vozlišče V2 injicira generator G2, je 0.40 pu, moč
bremena L2 pa je 0.20 + j 0.10. Moč bremena L3 je
0.45 + j 0.15, bremena L4 0.40 + j 0.05 in bremena L5
0.60 + j 0.10. Moči niso verjetnostno porazdeljene,
ampak so konstantne vrednosti. Bazna moč znaša 100
MVA. Podatki o vodih v pu enotah so naslednji:
R12=0.02, X12=0.06, G12=0, B12=0.06,
R13=0.08, X13=0.24, G13=0, B13=0.05,
R23=0.06, X23=0.18, G23=0, B23=0.04,
R24=0.06, X24=0.18, G24=0, B24=0.04,
R25=0.04, X25=0.12, G25=0, B25=0.03,
R34=0.01, X34=0.03, G34=0, B34=0.02,
R45=0.08, X45=0.24, G45=0, B45=0.05.
Postopek izračuna je enak kot prej, najprej opišemo
omrežje kakor za Newton-Raphsonovo metodo, sledita
izračun pretokov moči in izračun kumulant.
Pri primerjavi rezultatov izračuna napetostnih razmer
in pretokov moči za zgornji sistem, dobljenih z metodo
kumulant in metodo Monte Carlo, smo ugotovili, da so
si tudi v tem primeru rezultati med seboj zelo podobni.
Pri primerjavi srednjih vrednosti amplitud vozliščnih
napetosti razlike nastanejo na četrtem decimalnem
mestu. Odstopanje bi se odpravilo s povečanjem števila
izračunov z metodo Monte Carlo. Standardni odkloni
amplitud napetosti se ne razlikujejo. Enako velja tudi za
standardne odklone kotov vozliščnih napetosti, če
opazujemo vrednosti v radianih.
Pri primerjavi vejskih pretokov moči so rezultati obeh
metod skoraj identični. Največje odstopanje nastane pri
delovni in jalovi moči na vodu L12, na strani vozlišča
V1, tako za srednjo vrednost kot tudi za standardni
odklon, in je manjše od odstotka. Slika 3 prikazuje
zbirno funkcijo verjetnosti oz. porazdelitveno funkcijo
pretokov moči po vodu L12, kjer pa odstopanje med
metodama ni opazno. Vzrok tega odstopanju je, da se
Slika 2: Model testnega omrežja
Slika 3: Porazdelitvena funkcija pretokov moči na vodu L12
na strani vozlišča V1
256 BOGOVIČ, BONE, MIHALIČ
bilančno vozlišče ne nahaja električno daleč od
preostalega sistema.
V zadnjem primeru, katerega omrežje je prikazano na
sliki 4, smo spreminjali moč, ki teče po vodu, ki ga
regulira SSSC po (11). Srednja vrednost moči, ki teče iz
SSSC v vozlišče V7, je 0.3 pu in standardni odklon
0.1 pu. Moč smo regulirali z namenom, da ugotovimo
primernost verjetnostnega izračuna pretokov moči v
sistemu z nelinearnim elementom, kot je SSSC.
Napetost v bilančnem vozlišču je konstantna, njena
vrednost je 1.030° pu, prav tako je konstanta tudi v
generatorskem vozlišču in je 1.01 pu. Tudi moč
generatorja in moč bremen je enaka kot v prejšnjem
primeru. Podatki o vodih so enaki kot v prejšnjem
primeru, vrednost nadomestne reaktance SSSC XT pa je
0.2 pu. Postopek izračuna je enak kot v prejšnjih dveh
primerih.
Pri primerjavi rezultatov vozliščnih napetosti z
vključenim SSSC smo ugotovili, da se v tem primeru
rezultati nekoliko bolj razlikujejo, vendar razlike niso
večje od pol odstotka, normirane na srednjo vrednost in
upoštevanju kota v radianih. Pri primerjavi vejskih
pretokov smo ugotovili, da največje odstopanje
standardnega odklona nastane na vodu L25, ki je
povezan s SSSC-jem. Rezultat obeh metod je prikazan
na sliki 5. Na tem odseku je napaka vrednosti
standardnega odklona za metodo kumulant okoli 7.6 %.
Napake v srednjih vrednostih in standardnih odklonih
na preostalih odsekih pa so manjše od odstotka.
4 SKLEP
Iz analize rezultatov vozliščnih napetosti in vejskih
pretokov moči vidimo, da so rezultati vozliščnih
napetosti zelo podobni, kadar v sistem ni vključen
SSSC. Majhno odstopanje lahko pripišemo linearizaciji
modela okoli delovne točke in premajhnemu številu
izračunov z metodo Monte Carlo. Na podlagi analize
rezultatov vozliščnih napetosti in vejskih pretokov moči
v sistemu z vključenim SSSC so ugotovili, da so
odstopanja nekoliko večja, vendar le na odseku, kjer je
vključen SSSC, na vseh drugih pa so razlike pod
odstotkom. Pri tem pa velja opozoriti, da je predlagana
metoda precej hitrejša od metode Monte Carlo, saj je
čas simulacije s predlagano metodo v rangu nekaj
sekund, metode Monte Carlo pa nekaj minut.