1 UVOD
Prostorska orientacija označuje položaj koordinatnega
sistema togega telesa glede na referenčni koordinatni
sistem z istim izhodiščem. Predstavimo jo lahko z
zaporedjem rotacij, potrebnih, da zasučemo osi
koordinatnega sistema togega telesa, ki so na začetku
poravnane z osmi referenčnega sistema, v njihovo novo
lego. Referenčni in togemu telesu pripadajoči sistem sta
desno sučna kartezična koordinatna sistema z osmi
, ,x y z in ', ', ',x y z kot to prikazuje slika 1.
Slika 1: Referenčni in togemu telesu pripadajoči koordinatni
sistem
Prejet 23. december, 2010
Odobren 3. februar, 2011
8  TOMAŽIČ, STANČIN
Po Eulerjevem teoremu o rotaciji [1 p.83] zadoščajo za
opis medsebojnega položaja dveh poljubnih neodvisnih
koordinatnih sistemov z istim izhodiščem največ tri
zaporedne  rotacije okrog koordinatnih osi. Ker dve
zaporedni rotaciji ne smeta biti okrog iste koordinatne
osi, obstaja 12 različnih zaporedij.
Prostorsko orientacijo lahko opišemo tako z
rotacijami okrog osi  referenčnega, kot tudi z rotacijami
okrog osi togemu telesu pripadajočega koordinatnega
sistema.  Število različnih rotacijskih zaporedij se tako
podvoji. Glede na to, da zaporedne rotacije niso
komutativne, na splošno vsako izmed 24 rotacijskih
zaporedij pomeni drugo prostorsko orientacijo.
V tem članku predlagamo nov način predstavitve
prostorske orientacije z vektorjem SORA (Simultaneous
Orthogonal Rotations Angle). Komponente tega
vektorja so enake zasukom (rotacijskim kotom) treh
sočasnih rotacij okrog vseh treh koordinatnih osi. Ker so
rotacije sočasne, se izognemo problemu
nekomutativnosti. Vektor SORA tako enoumno določa
položaj koordinatnega sistema togega telesa glede na
referenčen koordinaten sistem z istim izvorom.
V nadaljevanju predpostavimo, da je vektor SORA
enak rotacijskemu vektorju ekvivalentne rotacije okrog
ene osi in da os te rotacije sovpada z vektorjem SORA,
medtem ko je rotacijski kot enak njegovi velikosti.  Za
numerično potrditev omenjenih predpostavk primerjamo
matrično predstavitev prostorske orientacije, ki jo
dobimo z rotacijo okrog vektorja SORA, in matrično
predstavitev prostorske orientacije, ki jo dobimo, če
predstavimo sočasno rotacijo okrog treh koordinatnih
osi z nizom zaporednih infinitezimalno majhnih rotacij
okrog teh osi. Vrstni red pri infinitezimalnih rotacijah ni
pomemben, saj zanje velja komutativnost [2].
2 PREDSTAVITEV PROSTORSKE ORIENTACIJE
Povedali smo že, da lahko prostorsko orientacijo
predstavimo z rotacijami, potrebnimi, da zasučemo osi
koordinatnega sistema togega telesa, ki so na začetku
poravnane z osmi referenčnega sistema, v njihovo novo
lego. Na splošno so za to potrebne tri zaporedne rotacije
okrog koordinatnih osi ali pa ena sama rotacija okrog
izbrane osi. Uporabljajo se različni načini predstavitve
prostorske orientacije, kot npr. Eulerjevi koti, rotacijske
matrike, os in kot rotacije, rotacijski vektorji in
kvaternioni.
2.1 Eulerjevi koti
Kote treh zaporednih rotacij Eulerjevega teorema o
rotaciji imenujemo Eulerjevi koti [1 p.83, 3, 4].
Zaporedje Eulerjevih kotov lahko identificiramo z
navedbo osi rotacij. Pri Eulerjevih kotih se slednje
nanašajo na referenčen in dva vmesna koordinatna
sistema [3]. Orientaciji vmesnih sistemov sta določeni s
prvo in drugo zaporedno rotacijo. Prva rotacija je lahko
okrog katere koli izmed treh osi referenčnega
koordinatnega sistema. Ob pogoju različnih osi
zaporednih rotacij sta lahko druga in tretja rotacija
okrog katere koli od dveh osi prvega oziroma drugega
vmesnega sistema. Tako dobimo 12 mogočih Eulerjevih
zaporedij. Vsako Eulerjevo zaporedje je ekvivalentno
enemu zaporedju rotacij okrog referenčnih osi. Tako
lahko trije koti zaporednih rotacij pomenijo katerokoli
od 24 mogočih rotacijskih zaporedij. Zato je pri navedbi
kotov nujno navajati tudi zaporedje, na katero se
nanašajo.
2.2 Os in kot rotacije
Eulerjev teorem o rotaciji tudi pravi, da tri rotacije
okrog koordinatnih osi lahko predstavimo z eno samo
rotacijo okrog neke nove osi. Os in kot rotacije [5, 6] je
par sestavljen iz enotskega vektorja, ki je os rotacije, in
skalarja kota rotacije okrog te osi:
( , ) ,
x
y
z
a
a
a
ϕ ϕ=
  
  
  
    
r
a
.
(1)
2.3 Rotacijski vektor
Rotacijski vektor ima smer rotacijske osi, njegova
velikost pa je enaka kotu rotacije:
x
y
z
a
a
a
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
⋅
= ⋅ = ⋅
⋅
 
 
 
  
r
r a
.
(2)
Pomembno je poudariti, da zaporednih rotacij ne
moremo predstaviti s seštevkom rotacijskih vektorjev.
2.4 Rotacijska matrika
Prostorsko orientacijo togemu telesu pripadajočega
koordinatnega sistema lahko v celoti opredelimo s
sistemom treh enačb baznih vektorjev. Vsak bazni
vektor koordinatnega sistema togega telesa izrazimo z
linearno kombinacijo referenčnih baznih vektorjev:
'
'
'
x xx x xy y xz z
y yx x yy y yz z
z zx x zy y zz z
r r r
r r r
r r r
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
u u u u
u u u u
u u u u
(3)
Devet parametrov iz enačb (3) sestavlja rotacijsko
matriko 3x3 [7]:
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
r r r
r r r
r r r
=
 
 
 
  
R
.
(4)
PROSTORSKA ORIENTACIJA PRI SOČASNIH ORTOGONALNIH ROTACIJAH 9
Matrika (4) opisuje rotacijo, potrebno za zasuk osi
koordinatnega sistema togega telesa, na začetku
poravnanega z osmi referenčnega sistema v njihovo
novo lego. Rotacijska matrika (4) je realna in
ortonormalna:
1T T⋅ = ⋅ =R R R R   (5)
z determinanto enako:
1.=R
(6)
Zmnožek dveh ali več rotacijskih matrik je rotacijska
matrika zaporedja teh rotacij, pri čemer je vrstni red
posameznih rotacij v zaporedju pomemben.
2.5 Kvaternioni
Kvaternioni [1 p.106-112] sestavljajo štiridimenziona-
len vektorski prostor z baznimi vektorji 1, i, j in k:
,q a i b j c k d= + ⋅ + ⋅ + ⋅  (7)
kjer velja:
2 2 2 1.i j k i j k= = = ⋅ ⋅ = −  (8)
V izrazu (7) a  označuje realni del ,b c in d  pa
imaginarne dele kvaterniona q . Podroben vpogled v
kvaternione in pomembnejše operacije je predstavljen v
[1 p.106-112]. Normaliziran kvaternion:
2 2 2 2 1a b c d+ + + =   (9)
pomeni rotacijo okrog usmerjenega vektorja
[ ]0 0 0x y z za kot ϕ . Rotacijska os in kot sta
določena s komponentami normaliziranega kvaterniona:
cos sin sin sin
2 2 2 2
.q i j k
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⋅ + ⋅ + ⋅  (10)
Rotacija poljubnega vektorja v  je izražena s produktom
kvaternionov:
* ,
R
v q v q= ⋅ ⋅   (11)
pri čemer sta usmerjen vektor rotacije in njen kot
določena s komponentami kvaterniona q  (10). Z
*
q je
označena konjugirano kompleksna vrednost q . Vektorja
v in
R
v v enačbi nastopata kot kvaterniona v  in
R
v  z
realnimi komponentami, enakimi 0.
Sledi, da je prostorska orientacija togemu telesu
pripadajočega koordinatnega sistema z uporabo
kvaternionov enaka:
*
*
*
'
'
'
x x
y y
z z
qu q qu q
qu q qu q
qu q qu q
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
,
(12)
pri čemer so imaginarni deli kvaternionov
, , , ', ',
x y z x y
qu qu qu qu qu  in '
z
qu
enaki ustreznim
baznim vektorjem, realni deli so enaki 0.
Zmnožek rotacijskih kvaternionov je rotacijski
kvaternion zaporedja rotacij, pri čemer je, podobno kot
pri matrikah, vrstni red posameznih rotacij v zaporedju
pomemben.
3 PROSTORSKA ORIENTACIJA PRI SOČASNIH
ORTOGONALNIH ROTACIJAH
3.1 Definicija
V prejšnjem poglavju smo govorili o zaporednih
rotacijah za predstavitev orientacije koordinatnega
sistema togega telesa. Predstavimo zdaj prostorsko
orientacijo s tremi sočasnimi rotacijami konstantnih
hitrosti. Označimo kotne hitrosti vrtenja togemu telesu
pripadajočih koordinatnih osi okrog referenčnih osi z
,
x y
ω ω in
z
ω ter pripadajoče kotne premike z ,
x y
φ φ in
.
z
φ Zapišemo lahko:
; ; .yx z
x y z
dd d
dt dt dt
φφ φ
ω ω ω= = =  (13)
Potem predstavimo kotne hitrosti z vektorji:
0 0
0 ; ; 0
0 0
x
x y y z
z
ω
ω
ω
= = =
     
     
     
          
Ω Ω Ω
.
(14)
Kotne hitrosti (14) so poravnane s koordinatnimi
osmi referenčnega sistema. Njihove velikosti pa so
enake posameznim kotnim hitrostim.
Seštevek vektorjev kotnih hitrosti (14) je nov vektor
3D kotne hitrosti:
x
x y z y
z
ω
ω
ω
= + + =
 
 
 
  
Ω Ω Ω Ω
.
(15)
Opredelimo zdaj ob upoštevanju enačb (13)-(15) nov
vektor prostorske orientacije pri sočasnih ortogonalnih
rotacijah Simultaneous Orthogonal Rotations Angle
(SORA):
10  TOMAŽIČ, STANČIN
x x
y y
z z
t t
ω φ
ω φ
ω φ
= ⋅ = ⋅ =
   
   
   
      
Φ Ω
,
(16)
pri čemer je t celoten čas rotacije. Komponente vektorja
SORA (16) so zasuki (rotacijski koti) treh sočasnih
rotacij okrog referenčnih koordinatnih osi.
Omenili smo že Eulerjev rotacijski teorem, po
katerem lahko predstavimo tri rotacije okrog
koordinatnih osi sistema z eno samo rotacijo okrog neke
nove osi. Predpostavimo zdaj, da so sočasne rotacije s
kotnimi hitrostmi ,
x y
ω ω in
z
ω  ki jih pomeni vektor
SORA, ekvivalentne eni sami rotaciji s kotno hitrostjo
Ω .Os u  in kot φ te rotacije sta potem podana kot:
2 2 2
x y z
φ φ φ
= =
+ +
Φ Φ
u
Φ
(17)
2 2 2 .
x y z
ϕ φ φ φ= = + +Φ  (18)
Če zgornja predpostavka drži, potem je vektor SORA
enak rotacijskemu vektorju ekvivalentne rotacije. V
naslednjem razdelku podajamo numerično potrditev
navedenih predpostavk.
3.2 Numerična potrditev
Končno rotacijo, označeno z rotacijsko matriko ,R
lahko predstavimo z neskončnim zaporedjem
infinitezimalnih rotacij, označenih z rotacijsko matriko
.dR  V približku neskončno zaporedje infinitezimalnih
rotacij predstavimo z n  zaporednimi rotacijami za
majhne kote. Ko upoštevamo tri sočasne rotacije okrog
koordinatnih osi, je vsaka rotacija v prej omenjenem
zaporedju sestavljena iz treh sočasnih rotacij okrog
koordinatnih osi za majhne kote ,
x y
φ φ∆ ∆  in
z
φ∆  kjer
; ; .
yx z
x y z
n n n
φφ φ
φ φ φ∆ = ∆ = ∆ =  (19)
Vsako posamezno rotacijo v zaporedju lahko
predstavimo z rotacijsko matriko
xyz
∆R :
( , ) ( , ) ( , ),
xyz z z y y x x
φ φ φ= ∆ ⋅ ∆ ⋅ ∆∆R R u R u R u  (20)
pri čemer smo z ( , )
x x
φ∆R u , ( , )
y y
φ∆R u  in
( , )
z z
φ∆R u označili rotacijske matrike okrog
posameznih koordinatnih osi.
Za celoten zasuk, ki ga označujejo koti ,
x y
φ φ in ,
z
φ
moramo približek neskončnega zaporedja infinitezimal-
nih rotacij, označenih z rotacijsko matriko ,
xyz
∆R n -
krat ponoviti. Rotacijska matrika celotne rotacije
( )
xyz
nR  je tako enaka  n -ti potenci rotacijske matrike
xyz
∆R :
( ) .n
xyz xyz
n =R ∆R   (21)
Različna rotacijska zaporedja dobimo s
spreminjanjem vrstnega reda množenja matrik (20).
Infinitezimalne rotacije so komutativne. Pri dovolj
velikemu n  bodo tudi približki neskončnega zaporedja
infinitezimalnih rotacij komutativni.
Pri določanju rotacijske matrike (21) po opisanem
postopku smo upoštevali rotacije okrog osi referenčnega
koordinatnega sistema. Če se togo telo vrti okrog lastnih
koordinatnih osi, dobimo matriko celotne rotacije
( ) '
xyz
nR  z n  iteracijami naslednjih rekurzijskih enačb:
1
( , ( ) ' )
( , )
( ) ' ( , )
i x xyz i
i y i y
xyz i z i z
n
R
n
φ
φ
φ
+
= ∆
= ∆ ⋅
= ∆ ⋅
P R R
Q P u
R R Q u
,
(22)
pri čemer je začetna vrednost rotacijske matrike
( ) '
xyz
nR :
0( ) ' ,xyz n =R I   (23)
kjer je I  3x3 enotska matrika.
Privzemimo, da je naš približek neskončnega
zaporedja infinitezimalnih  rotacij dovolj natančen, če se
rezultata rotacijskih matrik dveh različnih rotacijskih
zaporedij ( )
xyz
nR in ( )
x
n
yz
R  ujemata na prvih šestih
decimalnih mestih. Rotacijske matrike smo izračunali
po opisanem postopku z orodjem Mathematica [8] za
številne primere. Pri vseh smo zahtevano natančnost
dosegli pri
710n = .
Za iste primere smo izračunali tudi rotacijsko matriko
( ) '
xyz
nR , ki pomeni rotacijo okrog togemu telesu
pripadajočih koordinatnih osi. Pri
710n = so se rezultati
izračunanih rotacijskih matrik ( ) '
xyz
nR  ter ustreznih
( )
xyz
nR in ( )
yzx
nR  ujemali na prvih šestih decimalnih
mestih. Iz tega lahko sklepamo, da pomenijo sočasne
rotacije okrog togemu telesu pripadajočih koordinatnih
osi isto kotno orientacijo kot sočasne rotacije okrog
referenčnih koordinatnih osi.
Nazadnje smo še izračunali rotacijsko matriko
,
SORA
R ki pomeni eno samo rotacijo okrog osi, ki jo
PROSTORSKA ORIENTACIJA PRI SOČASNIH ORTOGONALNIH ROTACIJAH 11
določa smer vektorja SORA (17), za kot, ki ga določa
velikost tega vektorja (18). Rezultati
SORA
R so se ujemali
z vsemi izračunanimi rezultati približkov zaporedja
infinitezimalnih rotacij (označeni z rotacijskimi
matrikami ( )
xyz
nR , ( )
yzx
nR in ( ) '
xyz
nR ) na prvih šestih
decimalnih mestih. To potrjuje, da je vektor SORA
enak rotacijskemu vektorju oziroma da tri simultane
rotacije okrog koordinatnih osi lahko predstavimo z eno
samo rotacijo. Os in kot te rotacije pa sta določena s
smerjo in velikostjo vektorja SORA.
Kot je bilo že omenjeno, smo opravili številne
numerične preizkuse. Na tem mestu podajamo zgolj
ilustrativen primer za kote 0.75
x
φ = , 0.90
y
φ = in
0.60
z
φ = . Pri
710n = se rezultati, izračunani z
uporabo orodja  Mathematica [8], ujemajo na prvih
šestih decimalnih mest in so enaki:
( ) ( ) ( ) '
0.494730 0.149651 0.856065
0.732655 0.601614 0.318240
0.467395 0.784643 0.407280
SORA xyz yzx xyz
n n n= = = =
−
= −
−
 
 
 
  
R R R R
.
(24)
4 SKLEP
V članku smo predlagali nov način predstavitve
prostorske orientacije z vektorjem  SORA
(Simultaneous Orthogonal Rotations Angle), ki ima
komponente enake rotacijskim kotom treh sočasnih
rotacij okrog koordinatnih osi.
Numerično smo potrdili, da je vektor SORA enak
rotacijskemu vektorju – tri sočasne rotacije, ki jih ta
združuje, so ekvivalentne eni sami rotaciji okrog osi, ki
je določena s smerjo vektorja SORA, za kot, ki ga
določa velikost tega vektorja.
Prav tako smo pokazali, da sočasne rotacije okrog osi
togemu telesu pripadajočega koordinatnega sistema in
referenčnega sistema pomenijo enako prostorsko
orientacijo.
Z upoštevanjem vektorja SORA prostorsko
orientacijo togega telesa izračunamo v enem samem
koraku in se tako izognemo iterativnemu izračunu
približka zaporedja infinitezimalnih rotacij.
Zaradi navedenega je vektor SORA lahko zelo
prikladen način za opis prostorske orientacije.
V nadaljnjem delu bomo skušali tudi analitično
dokazati trditve, ki smo jih v tem članku zgolj
numerično preverili.
ZAHVALA
Raziskava je bila izvedena v sklopu raziskovalnega
programa 'Algoritmi in optimizacijski postopki v
telekomunikacijah', ki jo financira Javna agencija za
raziskovalno dejavnost Republike Slovenije.