1 UVOD
V bioloških sistemih so makromolekule in celice obdane
z vodnimi raztopinami elektrolitov z visoko dielektrično
konstanto (εr ∼= 80). Elektrostatske lastnosti takih razto-
pin imajo znaten učinek na različne procese v bioloških
sistemih. Elektrostatske interakcije v bioloških sistemih
so zaradi svojega dolgega dosega izredno pomembne za
razumevanje mnogih bioloških procesov. Elektrostatika
neposredno vpliva na lastnosti bioloških membran, kot
so na primer struktura, togost in dinamika membran
[1]. Elektrostatske interakcije imajo tudi znaten vpliv na
adhezijo membran, medcelične interakcije ali interakcije
med celicami in implantati.
Prejet 27. september, 2013
Odobren 11. oktober, 2013
Eksperimenti z velikimi lipidnimi vezikli so pokazali,
da se vezikli kljub svojemu negativnemu električnemu
naboju lahko med seboj zlepijo po dodajanju proteinov,
kot so β2-glikoprotein I, protitelesa IgG ali mešani prote-
ini iz krvne plazme [2], [3], [4], [5], [6]. Eksperimentalni
rezultati nakazujejo, da lahko privlačne interakcije med
enako naelektrenimi površinami veziklov posredujejo
proteini s pozitivnimi električnimi naboji in notranjo po-
razdelitvijo električnega naboja prek tako imenovanega
mehanizma mostičenja [7].
Elektrostatske interakcije igrajo tudi zelo pomembno
vlogo v procesih osteointegracije kostnih implantatov.
Dobra kompatibilnost med implantatom in kostjo je od-
visna predvsem od plasti oksida na površini implantata,
ki prispeva k negativnemu površinskemu električnemu
naboju implantata in zato tudi na njegov površinski
električni potencial [8], [9]. Ker so osteoblasti negativno
naelektreni, bi se morali od površine negativno naele-
ktrenega implantata odbijati, če ne bi bilo posredovanega
učinka mostičnih elektrostatskih sil. Pred kratkim so
predlagali model vezave osteoblastov na površino im-
plantata, ki temelji na predpostavki o predhodni (začetni)
vezavi pozitivno naelektrenih proteinov na negativno
naelektreno površino implantata kot potrebnem pogoju
za vezavo negativno naelektrenih osteoblastov na ne-
gativno naelektreno površino implantatov [10], [11].
V tem delu naprej razvijemo in posplošimo omenjeno
predpostavko ter predstavimo tudi ustrezen teoretični
model in rezultate modela.
230 PERUTKOVA
2 TEORIJA ELEKTRIČNE DVOJNE PLASTI
V teoriji so naelektrene površine v stiku z elektrolitsko
raztopino opisane v okviru teorije električne dvojne
plasti [1], [12], [13], [14]. Že od pionirskega dela Gouya
[12] in Chapmana [13] z začetka 20. stoletja je za razi-
skovanje električne dvojne plasti vladalo veliko zanima-
nje. Tako imenovana Poisson-Boltzmannova (PB) teorija
je osnovna teorija povprečnega polja, ki povezuje elek-
trični potencial s prostorsko razporeditvijo električnega
naboja, ki sledi osnovnim principom statistične fizike.
V PB teoriji so ioni upoštevani kot neskončno majhni
točkasti nosilci električnega naboja, medtem ko je voda
v raztopini elektrolitov opisana s krajevno neodvisno
dielektrično konstanto z vrednostjo okoli 80. Poleg tega
imajo v PB teoriji naelektrene površine enakomerno
razporejeno elektrino, ki je opisana z njeno površinsko
gostoto. Čeprav PB teorija kot relativno preprosta teorija
dobro in precej natančno opiše nekatere fizikalne lastno-
sti električne dvojne plasti, pa ima tudi veliko slabosti
in omejitev pri opisu nekaterih kompleksnejših sistemov
in pojavov. Ti obsegajo med drugim sisteme z visoko
koncentracijo ionov v raztopini, v katerih so opazili pri-
vlačne interakcije med enako naelektrenimi površinami,
ter sisteme, kjer so pomembne končne velikosti ionov
(naelektrenih delcev).
Za izračunavanje elektrostatskih interakcij med dvema
naelektrenima površinama v raztopini so vzporedno s
teorijami povprečnega polja uporabili tudi simulacije
Monte Carlo (MC) [15], [16], [17], [18], [19]. V na-
sprotju s PB teorijo povprečnega polja simulacije MC
upoštevajo tudi direktne elektrostatske in druge interak-
cije med ioni [19], lahko pa vključujejo tudi končno
velikost ionov in/ali porazdelitev električnega naboja
znotraj posameznega iona [7], [20]. V večini študij
so simulacije MC uporabili tudi za testiranje napovedi
rezultatov različnih teorij povprečnega polja [15], [16],
[17], [18], [19], [20].
Privlačnih interakcij med negativno naelektrenimi
površinami, ki jih pričakujemo pri lepljenju sosednjih
naelektrenih fosfolipidnih veziklov ali adheziji osteo-
blastov na površino implantatov, ne moremo napovedati
znotraj osnovne PB teorije. Pokazali pa so, da se lahko
omenjene privlačne interakcije razložijo z upoštevanjem
ionskih korelacij med točkastimi ioni [21], [22], [23].
Poleg tega nekateri teroretični pristopi upoštevajo tudi
porazdelitev električnega naboja znotraj posameznega
iona (naelektrenega delca). Nedavno so bili tako razviti
novi, modificirani pristopi znotraj posplošene PB teorije,
ki obravnavajo orientacijo velikih divalentnih ionov z
notranjo razporeditvijo naboja [7], [20], [24].
3 METODOLOGIJA
Glavno vodilo naše raziskave je bilo, da smo proteine
v raztopini obravnavali kot majhne krogce ali palice z
notranjo razporeditvijo naboja, to je z dvema prostorsko
ločenima pozitivnima električnima nabojema, ki se na-
hajata na površini delca in sta shematsko prikazana na
sliki 1.
L
J
p
L
Slika 1: Shematska slika dveh različnih modelov naelektrenih
delcev z notranjo razporedivijo električnega naboja. Razdalja
med naboji in dimenzija delcev je L.
V modelu je raztopina takšnih proteinov stisnjena med
dvema neskončno razsežnima naelektrenima ploščama,
ki sta zunanja plast biološke membrane ali pa zunanja
plast implantata, s konstantno površinsko gostoto na-
boja. Predlagani sistem smo obravnavali kot navzven
električno nevtralen [25]. Elektrostatsko polje se lahko
spreminja samo v smeri, pravokotni na naelektreno
površino.
V prvem delu raziskave smo opisali elektrostatsko
vezavo proteinov na naelektreno površino ter določili
orientacijo proteinov v vezanem stanju s pomočjo
Monte Carlo simulacij Coulombskih interakcij med pro-
teini in naelektrenimi površinami v vodni raztopini.
Simulacije MC smo izvajali za različne vrednosti gostote
xDL( )D - L
smem
smemsadd sadd
Slika 2: Shematska slika sistema, v katerem so delci elektro-
statsko vezani na naelektreno površino
površinskega naboja, ter za različne dolžine proteinov
in valence njihovega naboja. Če so simulacije MC
pokazale elektrostatsko naravo vezave in pravokotno
orientacijo glede na naelektreno površino, smo v ma-
tematičnem modelu pozitivne naboje na koncih vezanih
PRIVLAČNE INTERAKCIJE MED NEGATIVNO NAELEKTRENIMI POVRŠINAMI 231
proteinov obravnavali kot naelektrene ravnine z gostoto
površinskega naboja na razdalji, ki je enaka razdalji
med dvema nabojema znotraj posameznega proteina,
glej sliko 2. Na podlagi rezultatov simulacij MC smo
lahko reševali nelinearizirano PB-enačbo:
d2Ψ(x)
dx2
= κ2 sinh (Ψ(x)), (1)
kje κ je recipročna Debyjevova dolžina, reduciran elek-
trostatski potencial je definiran kot Ψ = e0ϕ(x)/kT , e0
je osnovni naboj elektrona, k Boltzmannova konstanta,
T absolutna temperatura in ϕ je električni potencial.
Rešitev enačbe 1 je bila izvedena v programskem
paketu Matlab za ustrezne robne pogoje:
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=0)
= −
σmeme0
εrε0kT
(2)
Ψ
∣∣
(x=(D−L)−) = Ψ
∣∣
(x=(D−L)+)
(3)
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=(D−L)−)
=
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=(D−L)+)
+
σadde0
εrε0kT
(4)
Ψ |(x=(L)−)= Ψ |(x=(L)+)
(5)
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=(L)−)
=
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=(L)+)
+
σadde0
εrε0kT
(6)
dΨ
dx
∣∣∣∣
(x=D)
=
σmeme0
εrε0kT
,
(7)
kje ε0 je dielektričnost vakuuma, εr je dielektričnost
vodne raztopine, σmem in σadd sta površinski gostoti
naboja in D je razdalja med površinama (glej sliko 2).
Rešitev PB-enačbe nam je dala porazdelitev ele-
ktričnega naboja in odvisnost električnega potenci-
ala vzdolž koordinate x, pravokotne na naelektreno
površino. Na podlagi tega rezultata smo izračunali ele-
ktrostatski in entropijski prispevek k prosti energiji sis-
tema [26]:
F
A
=
∫ D
L
1
2
εrε0
(
dΨ
dx
kT
e0
)2
+ kT
∑
i=+,−
(
ni ln
(
ni
ns
)
− (ni − ns)
)
dx, (8)
kjer je ni(x) številska gostota ionov soli (i = +,−) med
površinama in ns je številska gostota soli daleč stran od
površin, zunaj prostora med površinama.
Algoritem za simulacije MC smo napisali v program-
skem jeziku C, kjer smo za izračunavanje coulomb-
skih interakcij med pozitivno in negativno naelektrenimi
proteini uporabili Leknerjevo in Sperbovo metodo [27],
[28]. V skladu s standardno proceduro smo upoštevali
periodične robne pogoje [29]. S pomočjo izdelanega
algoritma smo na dva načina izračunali prostorske po-
razdelitve naboja med naelektrenima površinama in
ocenili povprečno orientacijo naelektrenih ionov zno-
traj izbranih rezin prostora med obema naelektrenima
površinama: ali s pomočjo ureditvenega parametra ali pa
s povprečnim deležem pravokotno orientiranih proteinov
[30], [31].
4 REZULTATI
Na sliki 3 je pokazana izračunana volumska gostota na-
boja med naelektrenima površinama za paličaste delce.
Iz slike je videti, da sta na razdaljah x = D − L in
x = L maksima volumske gostote naboja, ki izhajata
iz pravokotne orientacije delcev. Ko povečamo razdaljo
D = 12.5 nm
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x   D/ [nm]
1.8
1.4
1.0
0.6
0.2
r
[e
/n
m
]
0
3
1.8
1.4
1.0
0.6
0.2
Slika 3: Volumska gostota električnega naboja med dvema
naelektrenima površinama za paličaste delce. L = 10nm,
σ = −0.07Asm−2, Z = 6. Slika prevzeta iz [31]
med površinama, tako da je večja od 2L, maksimuma pri
paličastih delcih izgineta, pri sferičnih delcih pa ostaneta
(slika 4B). Enaki rezultati so razvidni iz vrednosti ure-
ditvenega parametra ali števila pravokotno orientiranih
delcev (glej rezultate v [30], [31]). Iz primerjave med
slikama 4A in 4B lahko tudi vidimo, da je oblika vo-
lumske gostote naboja odvisna tudi od Z in σ. Pri dovolj
majhnih vrednostih σ in Z se na površino ne bodo vezali
niti sferični delci. Če primerjamo energije paličastih
in sferičnih delcev (slika 5), vidimo, da sferični delci
izkazujejo globlji energetski minimum kot paličasti delci
in da paličasti delci lahko povzročijo privlak samo v
omejeni razdalji od površine. Maksimalna vrednost te
razdalje je 2L in je odvisna od naelektrenosti površin
(σ) in valence naboja (Z) v posameznem delcu.
5 SKLEP
V modelu vodne raztopine s pozitivno naelektrenimi
delci smo dokazali obstoj privlačnih interakcij, če so
delci na povšini elektrostatsko vezani in orientirani.
Pri tem smo razkrili različno obnašanje sferičnih in
paličastih proteinov. Paličasti naelektreni proteini po-
sredujejo privlačne interakcije med enako naelektre-
nima površinama samo pri razdalji, manjši od dvojne
232 PERUTKOVA
x [nm]
0 2 4
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
1 3
0.2
0.4
0.6
0.8
x [nm]
0 2 41 3
r
/e
Z
[
n
m
]
0
-3
s = -0.001 As/nm
-2
Z = 1
s = -0.01 As/nm
-2
Z = 2
S = 0.01
S = 0.02
S = 0.04
S = 0.50
A B
Slika 4: Primerjava volumskih gostot električnega naboja kro-
glastih in paličastih delcev pri razdaljah med površinama večjih
od 2D. S je ureditveni parameter [30].
1.14
s smem mem= ( )D
s sp p= ( )D
++
D0 x
++ ++
++
smem = const
sp = const
D0 x
+
+
+
+
+
+
+
+
smem = 0
sp = 0
1.1
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.12
1.16
F
/A
k
T
[n
m
]
-2
10 15 20 25 30 35
D [nm]
D0 x
+ +
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
Slika 5: Primerjava odvisnosti proste energije sistema v odvi-
snosti od razdalje med naelektrenima površinama D (enačba
(8)) za paličaste in kroglaste delce.
dolžine delca (2L), medtem ko sferični delci izkazujejo
povprečno pravokotno orientacijo (in s tem sposobnost
posredovanja privlaka) tudi pri večjih razdaljah med
naelektrenima površinama.
ZAHVALA
Raziskavo je omogočila Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije (ARRS) v okviru pro-
grama mladih raziskovalcev.