1 UVOD
Plazma je ioniziran plin, sestavljen iz električno nabitih
in nevtralnih delcev, ki je navzven električno nevtralen.
Ker je coulombska sila, ki deluje med nabitimi delci v
plazmi, dolgega dosega, je za plinsko plazmo značilno
kolektivno obnašanje delcev. Rekli smo že, da je plazma
makroskopsko gledano navzven električno nevtralna. Je
pa električna nevtralnost lahko kršena lokalno na
območjih, katerih značilno dolžinsko merilo je
Debyjeva dolžina D. Debyjevo dolžino je sicer mogoče
definirati za vsako posamično vrsto nabitih delcev, ki
sestavljajo plazmo, vendar pa je najpomembnejša
Debyjeva dolžina za elektrone, ki je definirana takole
(glej na primer [1]):
0
2
0 0
.e
D
kT
n e

     (1)
Pri tem je
0
  influenčna konstanta, k je Boltzmannova
konstanta, e0 je osnovni naboj, n0 pa je število
elektronov na volumsko enoto v plazmi. Malomarno
temu pravimo kar gostota plazme. Poleg Debyjeve
dolžine je še en pomemben pojem, ki opredeljuje
plinsko plazmo, to je plazemska frekvenca. Tudi
plazemska frekvenca je definirana za vsako vrsto
nabitih delcev posebej. Če imamo v plazmi poleg
elektronov samo eno vrsto pozitivnih ionov, ki imajo po
en osnovni naboj, zapišemo ustrezni plazemski
frekvenci takole:
2 2
0 0 0 0
0 0
,  .
pi pe
i e
n e n e
m m
 
 
    (2)
Pri tem je
pi
  plazemska frekvenca za ione,
pe
  pa je
plazemska frekvenca za elektrone. Gre seveda za krožni
frekvenci. Masa ionov je mi, masa elektronov je me. Ker
je razmerje mas mi/me tipično reda velikosti 10
4
, seveda
odvisno od vrste ionov, je tudi elektronska plazemska
frekvenca praviloma za približno dva reda velikosti
večja od ionske frekvence. Neki ionizirani plin lahko
imenujemo plazma, če sta izpolnjena naslednja pogoja:
3
0
1,  , .
D pi en in
n       (3)
Število nabitih delcev v kocki, ki ima za stranico
Debyjevo dolžino, mora biti veliko večje od 1, ionska
plazemska frekvenca pa mora biti veliko večja od
frekvence trkov med nabitimi in nevtralnimi delci. Če
Prejet 18. april, 2016
Odobren 2. julij, 2016
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 163
drugi pogoj ni izpolnjen, se opazovani ionizirani plin
obnaša kot navaden plin in ne kot plazma.
Na Zemlji plazmo redkokdaj srečamo v naravi.
Znana primera sta strela in ionosfera. Plazmo na Zemlji
v večini primerov ustvarimo umetno z različnimi načini
ionizacije izbranih plinov, v vesolju pa je po mnenju
nekaterih, več kot 99 % vse vidne snovi v stanju
plazme. Plazmo uporabljamo pri številnih tehnoloških
postopkih, glavno gonilo raziskav na področju plazme
pa so prizadevanja za zgraditev fuzijskega reaktorja, v
katerem bi pridobivali energijo s kontroliranim
zlivanjem lahkih atomskih jeder v težja. V teh napravah
bo plazma v vakuumski posodi omejena z močnim
magnetnim poljem.
Rekli smo že, da je plazma kot celota makroskopsko
električno nevtralna. Lahko pa je nevtralnost prekršena
lokalno, na manjših območjih, katerih značilna
dimenzija je Debyjeva dolžina D, ki jo podaja izraz (1).
To se vedno zgodi ob  površini stene posode, ki plazmo
omejuje, ali pa ob površini kakšne druge elektrode, ki je
potopljena v plazmo. Prav zato, ker plazma skuša
ohranjati makroskopsko nevtralnost, pozitivno in
negativno nabiti delci pa iz plazme uhajajo z različno
hitrostjo, se plazma električno nabije glede na stene
tako, da uravnovesi izgube pozitivnih in negativnih
delcev. Lažji elektroni uhajajo hitreje kot težji pozitivni
ioni in praviloma se plazma nabije pozitivno glede na
steno. Potencialni padec med plazmo in steno je
praviloma lokaliziran na ozko območje ob steni, ki mu
pravimo plazemski plašč [2]. Prav  zato, ker  je   v
fuzijskih plazemskih napravah plazma omejena z
močnim magnetnim poljem, je modeliranje plazemskih
plaščev pred elektrodami ob prisotnosti magnetnega
polja zelo živahno področje raziskav [3–5].
V tem delu predstavljamo dvotekočinski model
formiranja potenciala pred negativno planarno
elektrodo, s katero magnetne silnice oklepajo skoraj
poljuben kot. Edina omejitev je, da magnetne silnice ne
smejo biti čisto vzporedne s površino elektrode. V
naslednjem razdelku je model predstavljen dokaj
podrobno. V tretjem razdelku predstavljamo nekaj
rezultatov modela, v zadnjem pa podamo sklepe.
2 MODEL
Najpopolnejši način teoretskega opisovanja pojavov v
plazmi bi bil, če bi za vsak delec poznali njegovo
trenutno lego in hitrost. To seveda ni mogoče zaradi
zelo velikega števila delcev. Naslednji v tej hierarhiji
opisov je po natančnosti kinetični model. Pri kinetičnem
modelu vsako vrsto nabitih delcev, ki so prisotni v
plazmi, opisujemo s hitrostno porazdelitveno funkcijo
f(r,v,t) za delcev vrste , ki je funkcija kraja r, hitrosti
v, in časa t. Ta funkcija podaja število delcev vrste  na
enoto prostornine, ki imajo v trenutku t na mestu r
hitrosti v intervalu med v(1/2)dv in v+(1/2)dv.
Odvisnost te funkcije od r, v in t določa Boltzmannova
enačba:
 
 
 
, ,
, ,
( , , )
, , .
trki
f t
f t
t
f t
f t
t







  

 
    
 
v
r v
v r v
r v
a r v
(4)
Če predpostavimo, da je pospešek delca a samo
posledica delovanja Lorentzove sile, enačba (4) dobi
obliko, ki se imenuje enačba Vlasova:
  .
p p p
p p
p trki
f q f
f f
t m t


  
        
  
v
v E v B  (5)
Pri tem je q naboj delca vrste , m je njegova masa, E
je jakost električnega polja in B gostota magnetnega
polja.
Pri študiju problematike plazemskih plaščev se je
uveljavil tekočinski model, ki plazmo obravnava kot
mešanico več vrst električno prevodnih tekočin. Teh
tekočin je toliko, kolikor je v plazmi vrst nabitih delcev.
Tekočinske enačbe dobimo kot momente enačbe
Vlasova (5). Momente enačbe Vlasova izračunamo
tako, da enačbo (5) pomnožimo s funkcijami hitrosti
(v) in integriramo po hitrostnem prostoru:
 
3 3
3 3
d ( )d
d d .
s
trki
f
f
t
q f
f
m t


 


 

 

 
   
 
   
       
  
 
 
v v
v
v v
v v v v
E v B v v v
(6)
Funkcije (v) izbiramo po vrsti čedalje višje potence
hitrosti tako, da so tenzorji vedno višjih redov. V ničtem
redu je to masa delca (v)=mv
0
=m in iz enačbe (6)
dobimo kontinuitetno enačbo. V prvem redu  izberemo
gibalno količino delca, (v)=mv, in iz (6) dobimo
enačbo gibanja. Temu lahko sledi tenzor kinetične
energije delca (v)=Wk =(1/2)m(vv) in iz enačbe (6)
dobimo energijsko enačbo. Simbol  pomeni tenzorsko
množenje vektorja v s samim seboj. S takšnim nizanjem
momentov iz enačbe (6) dobimo sistem parcialnih
diferencialnih enačb, v katerih nastopajo neznane
funkcije kraja in časa. Te funkcije so zaporedni
momenti porazdelitvene funkcije in na splošno so tudi
tenzorji vedno višjih redov. Ničti moment je gostota
delcev vrste  in je skalar:
   , , , ,n t f t d  
v
r r v v  (7)
Prvi moment je povprečna hitrost toka delcev vrste  in
je vektor:
 
 
, ,
.
,
f t d
n t



 

v
v r v v
v u
r
(8)
Drugi moment je gostota toka gibalne količine   in je
tenzor drugega reda:
   , , .m f t d   
v
Π v v r v v   (9)
164 GYERGYEK, KOVAČIČ
Gostota energijskega toka bi bila že tenzor tretjega reda.
Na desni strani enačbe (6) pa v ničtem redu dobimo
funkcijo izvira S za delce vrste :
  3, d .
trki
f
S t
t




 
  
 

v
r v   (10)
Ta funkcija podaja razliko med številom nastalih in
izginulih delcev vrste  na enoto prostornine in na enoto
časa. V prvem redu dobimo gostoto sile A na delce
vrste , ki na te delce deluje zaradi njihovih elastičnih
trkov z delci vseh drugih vrst, ki so prisotni v plazmi:
  3, d .
trki
f
t m
t

 


 
  
 

v
A r v v   (11)
Ko z uporabo enačbe (6) nizamo zaporedne momente
enačbe (5), nastaja sistem parcialnih diferencialnih
enačb. Izkaže pa se, da imamo vedno eno neznano
funkcijo več, kot je enačb. V kontinuitetni enačbi
nastopata gostota n in povprečna hitrost u. V gibalni
enačbi nastopajo n, u  in divergenca tenzorja . Zato
moramo nizanje momentov enačbe (5) v nekem redu
odrezati in sprejeti neko predpostavko o zadnji neznani
funkciji, ki je najvišji moment porazdelitvene funkcije.
Ustavili se bomo pri enačbi gibanja in razložili, kako
opravimo z divergenco · tenzorja gostote toka
gibalne količine. Hitrost v delcev vrste  lahko vedno
predstavimo kot vsoto povprečnega dela u in
termičnega dela w:
.
  
 v u w   (12)
Pri tem je seveda:
 
 
 
 
, ,
, ,
,
0.
,
f t d
f t d
n t
n t





 
 
 
 
 
 


v
v
v r v v
v r v v
r
w
r
(13)
V našem modelu najprej tenzor gostote toka gibalne
količine  nadomestimo samo z njegovim termičnim
delom, to je tenzorjem tlaka P, ki je podan z izrazom
.m n
    
 P w w   (14)
Pri tem oklepaj  pomeni povprečje v smislu izrazov
(8) in (13). V naslednjem koraku definiramo
hidrostatični tlak p  kot tretjino sledi tenzorja tlaka. V
kartezičnih koordinatah bi torej zapisali hidrostatični
tlak takole:
 
3
1
1 1
,
3 3
jj xx yy zz
j
p P P P P
    

      (15)
oziroma:
2 2 2 21 1
.
3 3
x y z
p n m w w w n m w
        
      (16)
V zadnjem koraku pa zunaj diagonalne elemente
tenzorja P izenačimo z 0. Zunajdiagonalni elementi
tenzorja P opisujejo sile, ki so posledica viskoznosti
plazme, viskoznost v plazmi pa je dejansko največkrat
zanemarljivo majhna. Tako divergenco ·
nadomestimo z gradientom tlaka p. Gradient tlaka
p pa je sorazmeren z gradientom gostote delcev n.
Če se želimo prepričati, ali je zadnja trditev resnična,
moramo definirati absolutno temperaturo T za delce
vrste . Le-ta podaja tisti del njihove povprečne
kinetične energije, ki je posledica termičnega gibanja
teh delcev. Po ekviparticijskem teoremu [6] je z vsako
od prostostnih stopenj gibanja povezana termična
energija kTj/2, kjer je j=x,y,z, torej:
2
1 1
.
2 2
j j
kT m w
  
     (17)
Pri tem je k Boltzmannova konstanta. Če je
porazdelitvena funkcija izotropna, potem je
wx
2
=wy
2
=wz
2
=w
2
/3 in so vsi diagonalni elementi
tenzorja tlaka med seboj enaki. Potem je
p=nm<wj
2
>,  kjer je j=x,y,z. Tlak je potem:
.p n kT
  
   (18)
Če je temperatura konstantna, potem je .p kT n
  
    V
magnetizirani plazmi je predpostavka o izotropnosti
porazdelitvene funkcije seveda zelo šibka, vendar jo
moramo sprejeti, da ohranimo model dovolj preprost za
reševanje.
V tem delu predpostavimo, da je plazma sestavljena
iz negativno nabitih elektronov in samo ene vrste
pozitivnih ionov, ki imajo en pozitiven osnovni naboj.
Vzamemo ione devterija. Plazma je torej  mešanica
ionske in elektronske tekočine. Velja  = i, e in q =e0.
Zgornji znak velja za ione, spodnji pa za elektrone. Ko
iz enačbe (6) izračunamo ničta momenta, dobimo
kontinuitetni enačbi za ione in elektrone:
  ,i i i i
n
n S
t

 

u   (19)
  ,e e e e
n
n S
t

 

u   (20)
Prva momenta dasta enačbi gibanja:
   0
,
i
i i i i i i
i i i i i
m n n e
t
p m S
 
      
 
  
u
u u E u B
A u
(21)
   0
.
e
e e e e e e
e e e e e
m n n e
t
p m S
 
       
 
  
u
u u E u B
A u
(22)
Sistem enačb (19) - (22) dopolnjuje še Poissonova
enačba, ki določa krajevno odvisnost elektrostatskega
potenciala v plazmi (r):
      2 0
0
.
i e
e
n n

    r r r   (23)
Električno polje E je s potencialom  povezano prek
negativnega gradienta:
. E   (24)
Najprej povejmo, da v našem modelu obravnavamo
samo stacionarno situacijo in da torej vse člene, ki
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 165
vsebujejo odvode po času / t  , zanemarimo. Če
pogledamo sistem enačb (19)–(22) ob izbrisanih
parcialnih odvodih po času, vidimo, da gre za sistem
štirih navadnih diferencialnih enačb, ki pa vsebuje šest
neznanih funkcij kraja. Te so: ni(r), ne(r), ui(r), ue(r),
pi(r) in pe(r).  Pri  obeh  tlakih si zdaj pomagamo  z
enačbo (18). Treba se je zavedati, da sta na splošno tudi
temperaturi Ti in Te funkciji kraja. Vendar pa bomo
predpostavili, da sta to dani konstanti. Gradienta tlakov
v enačbah (21) in (22) potem zapišemo takole:
,  .
i i i e e e
p kT n p kT n        (25)
Dodajmo še eno pripombo. Če bi dopustili, da je tudi Ti
funkcija kraja, bi gradient ionskega tlaka zapisali takole:
.
i i i i i
p kT n kn T       (26)
Enačba (26) omogoča, da definiramo politropsko
funkcijo  (r) [7] takole:
       .i i ip kT n  r r r r   (27)
Iz enačb (26) in (27) vidimo, da je:
 
 
 
1 .
i i
i i
n dT
T dn
  
r
r
r
(28)
V našem modelu pa vzamemo, da je Ti konstanta, temu
pa ustreza  = 1. Kadar je vrednost  konstantna, ne
govorimo o politropski funkciji, ampak o politropskem
koeficientu. Politropski koeficient ustreza razmerju
specifičnih toplot pri konstantnem tlaku in pri
konstantnem volumnu, kinetični teoriji navadnih plinov
[6],  = Cp/CV. Kadar je ionski tok izotermen, kot je v
našem primeru, vzamemo  = 1. Kadar pa je ionski tok
adiabaten, vzamemo  = 3 [8].
Poglejmo zdaj gostoti »sil trenja« Ai in Ae. Ionska in
elektronska tekočina delujeta druga na drugo s silo, ki je
po svoje  podobna trenju med njima, vzrok zanjo pa so
coulombski trki med ioni in elektroni. Pri takšnih trkih
ioni in elektroni med seboj izmenjavajo gibalno
količino. V podrobnosti opisa coulombskih trkov se ne
bomo spuščali. Zelo dober opis coulombskih trkov je
mogoče najti na primer v [9]. Pri študiju teh trkov je
treba ločiti obravnavo za dva primera. V prvem primeru
obravnavamo ione kot izstrelke, ki zadevajo elektronske
tarče. Število takih trkov na časovno enoto označimo
ie. Gostota gibalne količine, ki jo na časovno enoto ioni
zaradi takšnih trkov oddajo, je
 .i i i ie i em n  A u u   (29)
Če pa elektrone obravnavamo kot izstrelke, ki zadevajo
ionske tarče, je število takšnih trkov na časovno enoto
enako ei. Gostota gibalne količine, ki jo zaradi takšnih
trkov oddajo elektroni, pa je:
 .e e e ei e im n  A u u   (30)
V našem primeru so v plazmi prisotni samo ioni in
elektroni, zato se mora njihova skupna gibalna količina
ohraniti. To pa prinese zahtevo:
.
i i ie e e ei
m n m n    (31)
Končno se posvetimo še funkcijama izvira Si in Se.
Nastajanje in izginjanje ionov in elektronov določa
prevladujoči mehanizem ionizacije in rekombinacije. Če
so na primer glavni vzrok ionizacije elektromagnetni
valovi, ki padajo na nevtralne atome ali molekule
izbranega plina enakomerno z vseh strani, je število
parov ion elektron, ki nastajajo na enoto časa in na
enoto prostornine, po vsem sistemu bolj ali manj enako.
Število nastalih parov ion elektron bo sorazmerno
gostoti nevtralnih atomov ali molekul nn ter gostoti toka
vpadnega valovanja J0. Število ionov in elektronov, ki
se na enoto časa in prostornine rekombinirajo nazaj v
nevtralne atome in zato izginejo iz plazme, pa je
sorazmerno s produktom gostote ionov in elektronov
nine.  Ker imamo v plazmi samo ione in elektrone, je
jasno, da morata biti funkciji izvira Si in Se enaki, saj se
ne more zgoditi, da pri ionizaciji nastal samo ion,
elektron pa ne, ali pa pri rekombinaciji izginil samo
elektron, ion pa bi ostal. V tem primeru bi funkciji
izvira torej modelirali takole:
1 0 2
.
i e n i e
S S J n n n      (32)
Pri tem sta 1 in 2 ustrezni sorazmernostni konstanti.
Jasno je, da je funkcija izvira (32) precej zapletena.
Zato, da bi model ostal dovolj preprost, funkciji (32)
nadomestimo s preprostejšo:
.n
i e
n
S S

    (33)
Pri tem je  časovna konstanta, pravimo ji ionizacijski
čas, njena vrednost pa je takšna, da že upošteva tako
rekombinacijo kot gostoto toka vpadlega
elektromagnetnega valovanja. Njena prednost je v tem,
da je preprosta, ker je konstantna.
Drugi pogosti mehanizem ionizacije pa so
ionizacijski trki elektronov in nevtralnih delcev. V tem
primeru je število na novo nastalih parov ion elektron
sorazmerno s produktom gostote nevtralnih delcev nn in
gostote elektronov ne. Število ionov in elektronov, ki se
na enoto časa in prostornine rekombinirajo nazaj v
nevtralne atome in zato izginejo iz plazme, pa je
sorazmerno s produktom gostote ionov in elektronov
nine. Funkciji izvira sta torej takšni
1 2
.
i e n e i e
S S n n n n      (34)
Pri tem sta 1 in 2 ustrezni sorazmernostni konstanti.
Tudi funkciji izvira (34) bi model po nepotrebnem
preveč zapletli. Zato ju nadomestimo s preprostejšima:
   
 
.
e
i e
n
S S

 
r
r r   (35)
Pri tem je  časovna konstanta, katere vrednost je
takšna, da že upošteva tudi rekombinacijo in gostoto
nevtralnih delcev. Bistvena razlika med funkcijama (33)
in (35) je v tem, da je prva konstantna, druga pa
sorazmerna z gostoto elektronov. Prvi (33) pravimo
konstantni izvir, drugi (35) pa elektronski izvir. Seveda
pa je mogoče konstruirati še drugačne fizikalno
smiselne funkcije izvira. Omenimo samo še en primer,
ki je uporaben, kadar so glavni mehanizem ionizacije
166 GYERGYEK, KOVAČIČ
elektromagnetni valovi, ki pa se gibljejo skozi plazmo v
smeri pozitivne osi x, pravokotno na elektrodo, pred
katero se formira plašč. Na svoji poti se elektromagnetni
valovi absorbirajo, kar pomeni, da gostota toka
elektromagnetnega valovanja z x eksponentno pojema.
Če upoštevamo še rekombinacije ionov in elektronov, bi
funkciji izvira zapisali takole:
Slika 1: Ilustracija koordinatnega sistema. Elektroda leži v
ravnini yz, magnetno polje pa v ravnini xy in ima komponente
B = B(sin, cos, 0).
1 0 2
exp .
i e n i e
a
x
S S J n n n
l
 
 
    
 
(36)
Pri tem je la absorpcijska dolžina. Tudi ti dve funkciji
izvira seveda poenostavimo v takšno obliko:
exp .n
i e
a
n x
S S
l
 
   
 
(37)
Funkcijama izvira (37) pravimo eksponentni izvir.
Preden bo model primeren za reševanje,  ga moramo
še dodatno poenostaviti. Rekli smo že, da se zanimamo
samo za stacionarna stanja, ter izbrisali člene, ki
vsebujejo odvode po času. Vendar pa gre pri enačbah
(19)–(24) še vedno za parcialne diferencialne enačbe.
Zato se še bolj omejimo, in sicer na obravnavo samo v
eni dimenziji. Električno polje ima samo eno
komponento v smeri osi x. Laplaceov in gradientni
operator nadomestimo z odvodi po x. Naredimo torej
zamenjave:
2
2
2
,  ,  .
x x x
d d d
E
dx dx dx

     E e e e  (38)
Pri tem je ex = (1, 0, 0) enotski vektor v smeri osi x.
Tako parcialne diferencialne enačbe spremenimo v
navadne.
Nato postavimo koordinatni sistem tako, da elektroda
leži v ravnini yz in je torej pravokotna na os x.
Magnetno polje leži v ravnini xy in oklepa kot  z osjo y
tako, kot kaže slika 1. Komponente magnetnega polja so
torej B = B(sin, cos, 0). Hitrosti ionskega in
elektronskega toka pa imata na splošno vse tri
komponente uie = (uiex, uiey, uiez). Zanimata nas projekciji
hitrosti uie v smeri pravokotno na magnetno polje in v
smeri vzporedno z magnetnim poljem. Označimo ju
uperp in upar. Indeksa par in perp izhajata iz angleških
oznak parallel in perpendicular, indeksov i in e pa ne
pišemo, kajti enačbe (39)–(41) veljajo za vsako izmed
obeh vrst delcev posebej. Zanimata pa nas seveda samo
velikosti obeh projekcij hitrosti. Velikost vzporedne
projekcijo hitrosti izračunamo takole:
sin cos ,
par x y
u u u
B
 

  
u B
(39)
velikost pravokotne projekcije pa takole:
 
2
2
cos sin .
perp x y z
u u u u
B B
 
 
      
 
B B
u  (40)
Smiselno je definirati še vpadni kot 
arctan .x
y
u
u

 
  
 
 
(41)
Definiciji ciklotronskih krožnih frekvenc za ione in
elektrone sta
0 0,  .
ci ce
i e
e B e B
m m
     (42)
Larmorjeva radija za ione in elektrone pa sta potem
,  .
iperp eperp
Li Le
ci ce
u u
r r
 
    (43)
Naslednji korak je zapis enačb (19)–(23) po
komponentah ob upoštevanju enačb (25), (29), (30),
(31), (38) in izbrisu odvodov po času:
,i ix
ix i i
dn du
u n S
dx dx
    (44)
,e ex
ex e e
dn du
u n S
dx dx
    (45)
 
0 0
cos
,
ix i
i i ix i i iz i
e e ei ix ex i ix i
du d dn
m n u e n e B n u kT
dx dx dx
m n u u m u S



    
  
(46)
 
0 0
cos
,
ex e
e e ex e e ez e
e e ei ex ix e ex e
du d dn
m n u e n e B n u kT
dx dx dx
m n u u m u S



   
  
(47)
 
0
sin
,
iy
i i ix i iz
e e ei iy ey i iy i
du
m n u e B n u
dx
m n u u m u S


 
  
(48)
 
0
sin
,
ey
e e ex e ez
e e ei ey iy e ey e
du
m n u e B n u
dx
m n u u m u S


  
  
(49)
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 167
 
 
0
cos sin
,
iz
i i ix i ix iy
e e ei iz ez i iz i
du
m n u e Bn u u
dx
m n u u m u S
 

  
  
(50)
 
 
0
cos sin
,
ez
e e ex e ex ey
e e ei ez iz e ez e
du
m n u e Bn u u
dx
m n u u m u S
 

   
  
(51)
 
2
0
2
0
.
i e
d e
n n
dx 

     (52)
Sistem enačb (44)–(52) je sistem devetih navadnih
diferencialnih enačb za devet neznanih funkcij
spremenljivke x. Gre za sistem, ki je močno nelinearen,
saj v nekaterih členih nastopajo celo trojni produkti
neznanih funkcij in njihovih odvodov. Zato je smiselno
samo numerično reševanje. Pred tem pa z uvedbo novih,
brezdimenzijskih spremenljivk enačbe (44)–(52)
spravimo v obliko, primernejšo za numerično reševanje.
Uvedemo spremenljivke:
0 0
,  ,  ,e D
i
kT
c L c
m L

   
0,  ,  ,  ,
ci ei
e
x e
X K Z
L kT
   

    
0
,  ,  , ,e i i
i
i e
m T d n
N
m T dX n
 

     
0 0 0 0
,  ,  ,  ,
iye n ix
e ix iy
un n u
N A V V
n n c c
      (53)
0 0 0
,  ,  ,  = ,
eyiz ex a
iz ex ey a
uu u l
V V V L
c c c L
  
0 0 0
,  ,  ,
iperp iparez
ez iperp ipar
u uu
V V V
c c c
  
,  .
iperp eperpLi Le
Li Le
V Vr r
R R
L K L K

   
Hitrost c0 je umeritvena hitrost, ki pa ni enaka ionski
zvočni hitrosti [1], ki jo podaja izraz:
 
.
e i
S
i
k T T
c
m

   (54)
Z  uporabo  spremenljivk  (53) in ob upoštevanju, da je
 = 1, brezdimenzijsko obliko ionske zvočne hitrosti
zapišemo takole:
0
1 .S
S
c
V
c
     (55)
Ionizacijska dolžina L = c0, s katero smo umerili
krajevno koordinato x,  je produkt umeritvene hitrosti c0
in ionizacijskega časa . Takšna umeritev krajevne
koordinate onemogoča, da bi za funkciji izvira izbrali
najpreprostejšo možnost, namreč Si = Se = 0. V tem
primeru bi namreč   in s tem tudi L postala neskončno
velika.
Z uporabo spremenljivk (53) sistem enačb (44)–(52)
zapišemo takole:
  ,i ix
d
N V s
dX
   (56)
  ,e ex
d
N V s
dX
   (57)
 
cos
,
ix i
i ix i i iz
e ix ex ix
dV d dN
N V N K N V
dX dX dX
ZN V V V s



    
  
(58)
 
1 1
cos
,
ex e
e ex e e ez
e ex ix ex
dV d dN K
N V N N V
dX dX dX
ZN V V V s

  

   
  
(59)
 sin ,iyi ix i iz e iy ey iy
dV
N V K N V ZN V V V s
dX
    
(60)
 sin ,eye ex e ez e ey iy ey
dV K
N V N V ZN V V V s
dX


    
(61)
 
 
cos sin
,
iz
i ix i ix iy
e iz ez iz
dV
N V KN V V
dX
ZN V V V s
 

  
  
(62)
 
 
cos sin
,
ez
e ex e ex ey
e ez iz ez
dV K
N V N V V
dX
ZN V V V s
 

   
  
(63)
2
2
2
.
e i
d
N N
dX


    (64)
Pri tem je s brezdimenzijska funkcija izvira, ki je seveda
enaka za ione in elektrone. Če izberemo konstanten
izvir (33), je
.s A   (65)
Če izberemo elektronski izvir (35), je
.
e
s N   (66)
Če pa izberemo eksponentni izvir (37), je
exp .
a
X
s A
L
 
  
 
(67)
Včasih nas zanimajo samo rešitve v tistem delu, kjer
električna nevtralnost plazme še ni prekršena – imenuje
se plazemski predplašč. V tem primeru Poissonovo
enačbo (64) nadomestimo z zahtevo po nevtralnosti
plazme:
     .i eN X N X N X    (68)
Sistem enačb (56)–(63) potem zapišemo takole:
168 GYERGYEK, KOVAČIČ
  ,ix
d
NV s
dX
   (69)
  ,ex
d
NV s
dX
   (70)
 
cos
,
ix
ix iz
ix ex ix
dV d dN
NV N K NV
dX dX dX
ZN V V V s



    
  
(71)
 
1 1
cos
,
ex
ex ez
ex ix ex
dV d dN K
NV N NV
dX dX dX
ZN V V V s

  

   
  
(72)
 sin ,iyix iz iy ey iy
dV
NV K NV ZN V V V s
dX
    
(73)
 sin ,eyex ez ey iy ey
dV K
NV NV ZN V V V s
dX


    
(74)
 
 
cos sin
,
iz
ix ix iy
iz ez iz
dV
NV KN V V
dX
ZN V V V s
 

  
  
(75)
 
 
cos sin
.
ez
ex ex ey
ez iz ez
dV K
NV N V V
dX
ZN V V V s
 

   
  
(76)
Sistem enačb (56)–(64) je sistem devetih navadnih
diferencialnih enačb za devet neznanih funkcij krajevne
koordinate X: Ni(X), Ne(X), Vix(X), Viy(X), Viz(X), Vex(X),
Vey(X), Vez(X) in (X). Sistem (69)–(76) pa je sistem
osem navadnih diferencialnih enačb za osem neznanih
funkcij spremenljivke X. Oba sistema lahko rešujemo
samo numerično. Za enolično rešitev sistema (56)–(64)
moramo določiti 10 robnih pogojev, kajti Poissonova
enačba (64) je drugega reda. Za sistem (69)–(76) pa je
treba izbrati osem robnih pogojev. Integracija obeh
sistemov se začne pri X = 0 in gre v smeri pozitivne osi
X proti  elektrodi.  Smiselno  izbiro  robnih pogojev pri
X = 0 določajo fizikalne zahteve. Pri X = 0 plazma ne
čuti motečega vpliva elektrode, zato je tam zagotovo
električno nevtralna, kar da zahtevo:
     0 0 0 1.i eN N N     (77)
Potencial plazme na tem mestu postavimo na ničlo, kajti
za izhodišče štetja potenciala je najbolj smiselno izbrati
plazemski potencial. Prav tako na tem mestu ne sme biti
električnega polja. Iz tega sledi:
   0 0 0.     (78)
Pri X = 0, plazma ne čuti vpliva elektrode, zato tam ne
bi smelo biti nobenega usmerjena toka ionov ali
elektronov. Torej bi morale biti vse hitrosti na tem
mestu enake 0. Žal pa je v tem primeru mogoča samo
trivialna rešitev. Izkaže se, da moramo vsaj komponenti
x hitrosti obeh vrst delcev izbrati pozitivni in končno
veliki. Robni pogoj za hitrosti zapišemo takole:
   
       
0 0
0 ,  0 ,
0 0 0 0 0.
ix i ex e
iy iz ey ez
V V V V
V V V V
 
   
(79)
Fizikalni argumenti govorijo v prid izbire Vi0 = Ve0, kajti
na ta način dosežemo, da je gostota električnega toka
,
i i e e
N N J V V   (80)
pri X = 0 enaka 0. Kar se tiče samo matematičnih
argumentov, sta začetni hitrosti Vi0 in Ve0 sta lahko enaki
ali različni, morata pa biti pozitivni in končno veliki.
Kot neodvisne parametre izberemo tiste, ki bi jih
lahko nastavljali ali pa vsaj vplivali nanje tudi v
eksperimentu. To so zagotovo gostota in smer
magnetnega polja ter masa ionov. Z načinom
proizvodnje plazme pa lahko vplivamo tudi na gostoto
plazme in temperaturo obeh vrst delcev in preko tega
posredno tudi na frekvenco coulombskih trkov.
Parametri, ki jih v modelu torej izberemo kot neodvisne,
so: K, , , , Z in . Prav tako izberemo funkcijo
izvira s in če izberemo (65) ali (67), kot neodvisna
parametra nastavljamo tudi A in La. Pri izbiri teh dveh
parametrov je svoboda res velika. Edina matematična
omejitev je, da morata biti pozitivna. Fizikalno smiselna
izbira pa narekuje, da naj A ne bo večji od 1, to je od
gostote plazme pri X = 0, pri absorpcijski dolžini La pa
je izbiro veliko teže fizikalno utemeljevati, zato je
svoboda izbire večja.
Preden pa se lotimo numeričnega reševanja sistemov
(56)–(64) in (69)–(76), je smiselno opozoriti na nekatere
njune lastnosti. Vzemimo najprej enačbo (59) ter iz nje
izpustimo člene, ki opisujejo coulombske trke,
magnetno polje in ionizacijo (funkcijo izvira).
Opazovanje omejimo tudi na območje blizu X = 0.
Lahko pričakujemo, da se blizu X = 0 električno polje, s
tem pa tudi hitrost elektronov le malo spreminjata in
torej lahko levo stran enačbe postavimo na ničlo.
Dobimo torej enačbo:
1 1
0 .e
e
d dN
N
dX dX 

    (81)
To enačbo lahko pomnožimo z dX ter ločimo
spremenljivki in integriramo:
         0 exp exp .e eN X N x x     (82)
Če torej ne bi bilo niti magnetnega polja, niti trkov, niti
ionizacije, bi se gostota elektronov podredila
Botzmannovemu zakonu.
Iz enačbe (57) hitro dobimo:
1
,e e
e
ex
dN dV
s N
dX V dX
 
  
 
(83)
in to vstavimo v enačbo (59), v njej pa zaradi
enostavnosti izpustimo člena z magnetnim poljem in
coulombskimi trki:
1 1 1
.ex e
e ex e e ex
ex
dV d dV
N V N s N V s
dX dX V dX 
  
    
 
(84)
To enačbo lahko preuredimo takole:
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 169
2 2
1 1
1 1 .ex e
e ex ex
ex ex
dV N d
N V sV
dX V dX V  
   
      
   
(85)
Dokler je hitrost Vex dovolj majhna, je oklepaj na levi
enačbe (85) negativen, zato je tudi leva stran enačbe
(85) negativna. Desna stran enačbe (85) je prav tako
negativna, saj je odvod potenciala negativen, električno
polje pa pozitivno. Ko pa Vex doseže vrednost
0
1 1
,e
ex eth
e
kT
V V
c m
     (86)
leva stran enačbe (86) postane enaka 0. Ko Vex doseže
elektronsko termično hitrost Veth, torej lahko
pričakujemo singularnost pri reševanju sistema (56)–
(64). Na podoben način kot enačbi (57) in (59) lahko
kombiniramo tudi enačbi za ione (56) in (58)  in
dobimo:
2 2
1 1 .ix
i ix i ix
ix ix
dV d
N V N sV
dX V dX V
     
       
   
(87)
Dokler je ,
ix
V    je leva stran enačbe (87) pozitivna.
Na desni imamo vsoto pozitivnega in negativnega člena,
a izkaže se, da je pozitivni člen, ki vsebuje odvod
potenciala, vedno večji od drugega člena, ki vsebuje
ionsko hitrost. Če Vix doseže ionsko termično hitrost
ith
V    ali celo pade pod njo, se obrne predznak na
levi strani enačbe (87) in pričakujemo lahko
singularnost pri reševanju sistema (56)–(64).
Singularnost torej pričakujemo pri:
0
1
,i
ix ith
i
kT
V V
c m
      (88)
Zdaj pa poglejmo še sistem (69)–(76). Osredinimo se
pravzaprav smo na enačbe (69)–(72). V enačbah (71) in
(72) izpustimo člene z magnetnim poljem in
coulombskimi trki. Najprej enačbi (69) in (70)
integriramo po X:
0
0
,
.
i i
e e
NV I V
NV I V
 
 
(89)
Nedoločeni integral funkcije izvira smo označili:
  ,I s X dX 
integracijska konstanta pa je seveda enaka začetni
hitrosti. Iz enačb (89) hitro izpeljemo naslednje:
0 0 ,i e
i e
I V I V
N
V V
 
    (90)
   0 0
2 2
,
i e
i i e e
i e
dV dV
sV I V sV I V
dN dX dX
dX V V
   
   (91)
0 0
1 1 1
.i e
i i e e
dN s dV s dV
N dX I V V dX I V V dX
   
 
(92)
Iz enačbe (90) lahko izračunamo:
0
0
,e
ex ix
i
I V
V V
I V



(93)
 
  
0 00
0 0 0
,
ix i eex e ix
i e i
sV V VdV I V dV
dX I V dX I V I V
 
  
   
(94)
 
  
2 2
0 00
0 0 0
.
ix i eex e ix
ex ix
i e i
sV V VdV I V dV
V V
dX I V dX I V I V
   
   
     
(95)
V enačbi (71) izpustimo člene z magnetnim poljem in
coulombskimi trki in jo delimo z N:
1
.ix
ix ix
dV d dN
V V s
dX dX N dX N
 
      (96)
Podobno storimo z enačbo (72), le da to enačbo delimo
z N in množimo z :
1
,ex
ex ex
dV d dN
V V s
dX dX N dX N



     (97)
Enačbi (96) in (97) seštejemo:
 
 
1
1
.
ix ex
ix ex
ix ex
dV dV dN
V V
dX dX N dX
s
V V
N


    
 
(98)
Člene, ki vsebujejo N ali Vex, izločimo z uporabo enačb
(90), (92), (93) (94) in (95). Po malo preurejanja na
koncu dobimo:
     
 
2
0
2
0 0
2
0 0 0 02
2
0 0
1
1
1 1 .
ix e
ix
i ix i
e ix i e e
ix
i i
dV I V s
V
dX I V V I V
I V V V V I V
V
I V I V

 
   
      
    
    
      
    
(99)
Desna stran enačbe (99) je negativna. Leva stran pa je
negativna le, dokler je Vix pod mejno vrednostjo:
2
0
0
1
.
1
ix
e
i
V
I V
I V



 
  
 
(100)
Iz (93) in (100) sledi še:
2
0
0
1
.
ex
i
e
V
I V
I V



 
  
 
(101)
Če izberemo robni pogoj Vi0 = Ve0, pogoja (100) in
(101) preideta v:
1
.
1 1
S
ix ex
V
V V
 

  
 
(102)
Sporočilo izrazov (86), (88), (100), (101) in (102) lahko
povzamemo takole. Sistem enačb (56)–(64) je rešljiv
170 GYERGYEK, KOVAČIČ
samo, če sta izpolnjena pogoja Vix > Vith in Vex < Veth.
Sistem (69)–(76) pa je rešljiv, dokler Vix in Vex ne
dosežeta vrednosti, ki jih določajo izrazi (100)–(102).
Zlasti pogoj Vix > Vith zmanjšuje uporabno vrednost
modela. Kot bomo videli, za robno vrednost ionske
hitrosti Vi0 izbiramo majhne vrednosti reda velikosti 10
-6
ali celo 10
-7
. To pa nas prisili, da pri reševanju sistema
enačb (56)–(64) ionsko temperaturo vedno postavimo
na ničlo,  = 0, saj bi sicer Vith lahko presegla že robno
vrednost Vi0.
3 REZULTATI MODELA
Zdaj pa poglejmo nekaj primerov numeričnih rešitev
sistemov enačb (56)–(64) in (69)–(76). Robne pogoje
določajo izrazi (77), (78) in (79). Parametri, ki jih sami
izbiramo, pa so K, , , , Z in . V enem samem
članku seveda ne moremo pregledati vseh parametričnih
odvisnosti rezultatov od omenjenih količin, ampak se
moramo omejiti na študij določene količine.
Najprej poglejmo primer rešitev sistema (69)–(76).
Izberimo naslednje parametre:  = 1/3671.48 (izberemo
torej ione devterija),  = 1, K = 100, Z = 0 in 2
vrednosti kota med magnetnim poljem in osjo y, in sicer
 = 5
o
in  = 40
o
. Za robne pogoje izberemo (77)–(79),
pri tem pa je Vi0 = Ve0 = 10
-7
. S funkcijo izvira s
izberemo elektronski izvir (66), s = Ne. Na sliki 1
vidimo profile potenciala (X) – slika (a), električnega
polja (X) – graf (b), gostote delcev N(X) – slika (c), ter
profile komponent hitrosti ionskega toka Vix(X), Viy(X)
in Viz(X) na spodnjih grafih (d), (e) in (f). Polna črta
prikazuje  rešitve  za   = 5
o
, črtkana črta pa rešitve pri
 = 40
o
. Na sliki (d) vidimo, da je pogoj (102),  kjer
sistem (69)–(76) postane singularen, izpolnjen pri
približno XS  0.55, če izberemo  = 40
o
in pri XS 
0.115 v primeru  = 5
o
. Dolžina je podana v enotah
ionizacijske dolžine L, ki je definirana v izrazih (53).
Profili potenciala (X), gostote N(X), električnega polja
(X)  ter drugih dveh komponent hitrosti ionskega toka
se ujemajo z rezultatom, ki je prikazan na grafu (d). Pri
X = 0 se potencial začne v ničli, kar je skladno z robnim
pogojem (78), potem pa z naraščanjem X postaja vse
bolj negativen, dokler ni izpolnjen pogoj (102), pri
katerem postane sistem (69)–(76) singularen. Mesto XS
singularnosti sistema  (69)–(76) ter vrednosti
parametrov (XS), N(XS) in drugih na tem mestu lahko
razumemo kot lastne vrednosti sistema enačb (69)–(76).
Indeks S pride od angleške oznake za rob plašča –
namreč sheath edge.
Tik pred singularnostjo električno polje  skokovito
naraste za približno 5–6 redov velikosti. Takšen rezultat
je v skladu s tako imenovano asimptotično limito  dveh
dolžinskih meril [2], ki jo dobimo v limiti   0. Če
primerjamo sistema enačb (56)–(64) ter (69)–(76),
vidimo, da drugi sistem enačb dobimo iz prvega, če v
Poissonovo enačbo (64) vstavimo  = 0 in nato zaradi
enakosti ionske in elektronske gostote uvedemo še
Slika 2: Primer numerične rešitve sistema enačb (69)–(76) pri parametrih  = 1, K = 100,   = 1/3671.48,  Z = 0 ter dveh
vrednostih kota med magnetnim poljem in osjo y, in sicer  = 5
o
in  = 40
o
. Robne pogoje določajo izrazi (77)–(79) pri
vrednostih Vi0 = Ve0 = 10
-7
,  funkcija izvira je elektronska, s =Ne.
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 171
oznako (68). V asimptotični limiti dveh dolžinskih meril
[2] je rob plašča določen s singularnostjo električnega
polja, debelina plašča pa gre
proti 0, kadar problem obravnavamo v dolžinskem
merilu ionizacijske dolžine L. Če pa ga obravnavamo v
merilu Debyjeve dolžine D, je debelina plašča zelo
velika, električno polje na robu plašča pa gre proti 0.
Kakor se vidi iz formul (53), naša obravnava poteka v
merilu ionizacijske dolžine, vendar pa bo pri nadaljnji
obravnavi parameter nevtralnosti plazme  sicer majhen,
vendar končno velik. Zaradi tega sta debelini tako
plašča kot predplašča končno veliki, njuno razmerje pa
je istega reda velikosti kot .
Analizo sistema enačb (69)–(76) nadaljujemo na sliki
3. Vsi parametri in robni pogoji so enaki kot na sliki 2.
Na grafu (a) prikazujemo skoraj enak rezultat kot na
sliki 2(d) s to razliko, da poleg komponente ionske
hitrosti Vix(X) prikazujemo še vzporedni del ionske
hitrosti Vipar(X). Tanka horizontalna črta pa pomeni
ionsko zvočno hitrost VS, ki jo podaja formula (55). Ta
hitrost je nekoliko večja od hitrosti VS(1+)
-1/2
, ki jo
podaja (102) in je prikazana s tanko horizontalno  črto
na  grafih 2 (d) in 3 (d). Pri  = 1 in  = 1/3671.48  sta
vrednosti VS = 1.41421 in VS(1+)
-1/2
= 1.41402. Te
razlike na grafih seveda ni mogoče opaziti.  Presečišče
med  Vipar in VS se nahaja na mestu X = XM. Indeks M
izhaja iz angleškega pojma magnetic presheath edge –
rob magnetnega predplašča. Območje med XM in XS
imenujemo namreč magnetni predplašč ali pogosto tudi
Chodurina plast [10,11]. V tem območju postane
električno polje že tako močno, da začne preusmerjati
ionski tok iz smeri magnetnega polja v smer
električnega polja. Če primerjamo grafa (a) in (b) na
sliki 3, vidimo, da je res tako. Povprečen Larmorjev
radij ionov RLi, normiran z ionizacijsko dolžino L,
izračunamo z uporabo formul (43) in (53), krajevno
odvisnost pa prikazuje graf (c). Vidimo, da se
Larmorjev radij povečuje nekako hkrati s
preusmerjanjem  ionskega toka proč od smeri
magnetnih silnic.   Pri    = 5
o
je   debelina   Chodurine
plasti  XSXM =0.02338, Larmorjev radij pri XS pa je
RLi(XS) = 0.02332. Pri  = 40
o
pa sta vrednosti XSXM =
0.01426 in RLi(XS) = 0.00415. Podrobnejšo odvisnost teh
dveh količin od kota  prikazuje slika 4. Ostanimo pa še
malo pri sliki 3. Na spodnjih treh grafih (d), (e) in (f) so
prikazane vse tri komponente hitrosti elektronskega toka
v odvisnosti od X. Sliki 2 (d) in 3 (d) sta seveda povsem
identični. Če primerjamo komponenti Viy in Vey na
slikah 2 (e) in 3 (e), vidimo, da hitrost elektronskega
toka narašča hitreje kot pri ionih in tudi doseže višjo
končno vrednost. To je razumljivo zaradi velike razlike
v masi med ioni in elektroni. Komponenti Viz in Vez pa
kažeta zelo različno obnašanje. Najprej ugotovimo
naslednje. Glede na postavitev koordinatnega sistema
(slika 1) je smer osi z enaka smeri vektorskega produkta
EB. Pod vplivom električnega in magnetnega polja
Slika 3: Nadaljevanje slike 2 – numerične rešitve sistema enačb (69)–(76) pri parametrih  = 1, K = 100,   = 1/3671.48, Z = 0,
ter dveh vrednostih kota med  magnetnim  poljem  in  osjo  y,  in  sicer   = 5
o
in   = 40
o
. Robne  pogoje  določajo izrazi (77)–
(79) pri vrednostih Vi0 = Ve0 = 10
-7
, funkcija izvira je elektronska, s =Ne.
172 GYERGYEK, KOVAČIČ
ioni tečejo v smeri pozitivne osi z, elektroni pa v
nasprotni smeri. Opazno je tudi, da je Vez zelo blizu
ničle v skoraj celem območju, kjer obstaja rešitev
sistema enačb (69)–(76), izrazito pa se spremeni blizu
XS. Po drugi strani pa Viz narašča bolj enakomerno.
Fizikalne razlage tega pojava za zdaj še nismo sposobni
ponuditi.
Slika 4: Graf (a) prikazuje odvisnost XS in XM od . Na sliki
(b) vidimo odvisnost XSXM, RLi(XS) ter RLi(XM) od  na grafu
(c) razmerji RLi(XS)/(XSXM) in (XSXM)/RLi(XS). Graf (d)
prikazuje odvisnost i(XM) in i(XS) od . Parametri in robni
pogoji so enaki kot pri slikah 2 in 3.
Na sliki 4 pa predstavljamo malo podrobnejšo analizo
odvisnosti debeline Chodurine plasti XSXM ter
Larmorjevega radija za ione RLi od kota magnetnega
polja . Izbrani parametri in robni pogoji so enaki kot
na slikah 2 in 3,  torej:   = 1,  = 1/3671.48,  K = 100,
Z = 0,  = 1/3671.48 ter robni pogoji (77)–(79),  pri tem
pa je Vi0 = Ve0 = 10
-7
. Tudi tokrat je funkcija izvira (66)
– elektronski izvir. Na grafu (a) sta prikazani poziciji
roba Chodurine plasti XM in roba plašča XS v odvisnosti
od »magnetnega kota« . Z naraščajočim kotom obe
koordinati naraščata. Chodurina plast se pojavi šele pri
kotu  = 2
o
. Pri manjših kotih Vipar ne doseže VS. Pri
majhnih kotih  je dolžina celotnega predplašča le nekaj
odstotkov ionizacijske dolžine L, potem pa naraste na
približno 81 odstotkov ionizacijske dolžine, ko postane
magnetno polje pravokotno na elektrodo. Na sliki (b)
vidimo odvisnost debeline Chodurine plasti XSXM,
Larmorjevega radija RLi(XM) na robu Chodurine plasti in
Larmorjevega radija RLi(XS) na robu plašča od
magnetnega kota . Oba Larmorjeva radija z
naraščajočim magnetnim kotom pojemata. Debelina
Chodurine plasti pa najprej hitro narašča, doseže
maksimum pri   12
o
, nato pa pojema. Debelina
Chodurine plasti in Larmorjev radij na robu plašča sta
pri skoraj vseh magnetnih kotih istega reda velikosti.
Larmorjev radij RLi(XS) je večji od XSXM pri kotih , ki
so manjši od približno 5
o,
ter pri kotih, ki so večji od
približno 73
o
. Pri vmesnih kotih pa je debelina
Chodurine plasti  večja od Larmorjevega radija. Na
grafu (c) vidimo razmerje med tema dvema dolžinama.
Polna črta prikazuje razmerje RLi(XS)/(XSXM), črtkana
črta pa obratno vrednost tega razmerja (XSXM)/RLi(XS).
Pri magnetnih kotih   med 40 in 50 stopinj je XSXM do
4-krat večji od RLi(XS), pri kotih, ki so blizu pravemu
kotu, pa je RLi(XS) tudi do 13-krat večji od XSXM. Na
sliki (d) prikazujemo odvisnost vpadnega kota ionskega
toka i (enačba (41)) na robu Chodurine plasti in na
robu plašča. Do roba Chodurine plasti je preusmerjanje
ionskega toka proč od smeri magnetnega polja zelo
majhno, na robu plašča pa je razlika i(XS) občutno
večja. Preusmeritev je seveda izrazitejša pri manjših
kotih .
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 173
Slika 5: Profili potenciala (X), električnega polja (X), gostot Ni(X) ter Ne(X) in njunih razlik, ki jih dobimo iz sistema enačb
(56)(64) pri parametrih :   = 0,  K = 100,  = 1/3671.48, Z = 0,  = 5
o
in dveh vrednostih , in sicer  = 10
-3
in  = 10
-6
, robnih
pogojih (77)–(79), z vrednostjo Vi0 = Ve0 = 10
-7
ter elektronsko funkcijo izvira (66), s = Ne
Slika 6: Nadaljevanje slike 5 – profili hitrosti, Larmorjevih radijev in vpadnega kota za ionski tok, ki jih dajo rešitve sistema
enačb (56)(64) pri istih parametrih, robnih pogojih in funkciji izvira kot na sliki 5
174 GYERGYEK, KOVAČIČ
Zdaj pa  poglejmo  še  nekaj  rešitev  sistema  enačb
(56)–(64) – sliki 5 in 6. Izberemo naslednje   parametre:
 = 0,   K = 100,    = 1/3671.48 ,  Z = 0,  = 5
o
in dve
vrednosti , in sicer  = 10
-3
in  = 10
-6
.  Robne pogoje
določajo izrazi (77)–(79), pri tem pa je Vi0 = Ve0 = 10
-7
.
Za funkcijo izvira s izberemo elektronski izvir (66), s =
Ne. Ničelno ionsko temperaturo  = 0 smo prisiljeni
izbrati zaradi omejitve, ki jo postavlja pogoj (88). Za
parameter nevtralnosti plazme  pa izberemo dve
vrednosti, ki sta obe majhni, se pa med seboj vendarle
razlikujeta za tri rede velikosti. Tako lahko vidimo vpliv
tega parametra. Na sliki 5 (a) vidimo profila potenciala
(X)  za obe vrednosti . V velikem delu območja, kjer
lahko najdemo rešitev, potenciala najprej pojemata
skoraj enako, tako da obeh krivulj skoraj ne moremo
razločiti. V nekem trenutku pa se potencial, ki ustreza
manjši vrednosti  = 10
-6,
zniža veliko hitreje kot tisti, ki
ustreza večji vrednosti  = 10
-3
. Profila električnega
polja (X), ki ju vidimo na grafu (b), sta skladna s tem.
Blizu roba območja, kjer še obstaja rešitev sistema
enačb (56)–(64), se električni polji razlikujeta za
približno tri rede velikosti. Za toliko se razlikujeta tudi
izbrani vrednosti . Na slikah (c) in (d) vidimo profile
gostot ionov in elektronov Ni(X) ter Ne(X) za obe prej
navedeni   vrednosti   parametra   nevtralnosti,   in  sicer
 = 10
-6
in  = 10
-3
. Pri  = 10
-6
(slika (c)) je razlika med
Ni(X) in Ne(X) tako majhna, da polne in črtkane krivulje
sploh ne moremo razločiti. Pri  = 10
-3
(slika (d))  pa je
razlika opazna, a tudi ni videti posebej velika. Zato na
slikah (e) in (f) posebej prikazujemo razliko Ni(X) 
Ne(X). Na grafu (e) je razlika prikazana za obe vrednosti
, na sliki (f) pa je del slike (e)  prikazan v zelo
povečanem merilu. Jasno se vidi, da je pri večji
vrednosti  odstopanje od nevtralnosti večje in do njega
pride na večjem območju.
Analiza se nadaljuje na sliki 6. Izbrani parametri,
robni pogoji in funkcija izvira so enaki kot na sliki 5. Na
sliki 6 (a) vidimo profila hitrosti elektronskega toka
Vex(X) za obe vrednosti . Hitrost Vex(X) najprej narašča
od robne vrednosti Vex(0) = Ve0 = 10
-7
zelo počasi,
potem pa naraste zelo skokovito in doseže elektronsko
termično hitrost Veth, ki jo podaja izraz (86). Na sliki 6
(a) je ta hitrost označena s tanko vodoravno črto, njena
vrednost pa je Veth = 60.5927. Izbrali smo namreč ione
devterija, za katere velja  = 1/3671.48. Takrat  postane
sistem enačb (56)–(64) singularen. Mesto, kjer se to
zgodi, označimo Xf. Na sliki (b) vidimo profila hitrosti
ionskega toka Vix(X) in Vipar(X) za  = 10
-6
. Tanka
vodoravna črta označuje vrednost ionske zvočne hitrosti
VS, ki jo podaja (55). Na sliki (c) pa prikazujemo profila
istih dveh hitrosti, vendar za  = 10
-3
. Presečišče med
Vipar in VS določa lego roba Chodurine plasti XM.
Presečišče med Vix in VS pa določa lego roba plašča XS.
Razdalja XfXS torej podaja debelino plašča. Slika 6 (d)
prikazuje krajevni profil Larmorjevega radija RLi(X) za
ione. Izračunamo ga s pomočjo izrazov (40), (43) in
(53). Pri  = 10
-6
doseže Larmorjev radij v točki
singularnosti sistema enačb (56)–(64), torej RLi(Xf), več
kot tretjino vrednosti Xf. Pri  = 10
-3
pa RLi(Xf) doseže
dobro četrtino vrednosti Xf. Na sliki (e) pa vidimo
krajevna profila Larmorjevega radija za elektrone RLe(X)
za obe vrednosti . Po pričakovanju sta maksimalni
vrednosti Larmorjevih radijev RLe(Xf), ki ju Larmorjeva
radija dosežeta v točki singularnosti sistema enačb (56)–
(64), X = Xf, za dva reda velikosti manjša od ustreznih
Larmorjevih radijev za ione. Primerjava grafov (d) in
(e) na sliki 6 pokaže še eno zanimivo razliko. Larmorjev
radij za ione z naraščajočim X narašča enakomerno, šele
v plašču pa ima nekoliko izrazitejši skok, Larmorjev
radij za elektrone pa je zelo blizu ničle v celotnem
predplašču, nato pa skokovito zraste v plašču. Na grafu
(f) pa vidimo krajevni profil vpadnega kota ionskega
toka i(X). Če ga primerjamo s slikama (b) in (c), se
vidi, da se preusmerjanje smeri ionskega toka od smeri
magnetnega polja v smer električnega polja začne v
Chodurini plasti, v plašču pa postane še bolj izrazito. Iz
profilov hitrosti Vipar(X) in Vix(X), kakršna vidimo na
slikah 6 (b) in (c), lahko določimo lego roba
magnetnega plašča XM, roba plašča XS in mesto
singularnosti sistema enačb (56)–(64), Xf. Torej lahko
brez težav ugotovimo debelino Chodurine plasti XSXM
in debelino plašča XfXS.
Na sliki 7 prikazujemo odvisnost teh debelin in
Larmorjevih radijev za ione na robu Chodurine plasti,
RLi(XM), na robu plašča, RLi(XS) in v točki singularnosti
sistema enačb (56)–(64), RLi(Xf) od  magnetnega  kota
. Izbrani parametri so:  = 0,  K = 100,   = 1/3671.48,
Z = 0,  = 10
-5
, robne pogoje določajo izrazi (77)–(79) z
vrednostma Vi0 = Ve0 = 10
-7
ter elektronsko funkcijo
izvira (66), s = Ne. Slika 7 je precej podobna sliki 4.
Vrednosti XM, XS in Xf z naraščajočim magnetnim kotom
 monotono naraščajo – slika (a). Debelina Chodurine
plasti z naraščajočim kotom  najprej hitro naraste,
doseže maksimum, nato pa pojema. Larmorjev radij na
robu plašča RLi(XS)  je pri majhnih in velikih kotih 
večji od XSXM, pri vmesnih pa manjši, kar je zelo
podoben rezultat kot na sliki 4. Larmorjev radij v točki
singularnosti sistema enačb (56)–(64), RLi(Xf) je pri vseh
kotih  večji od XSXM in z naraščajočim kotom 
skoraj linearno pojema – slika (b). Na grafu (c) vidimo
odvisnost debeline plašča XfXS od . Najprej velja
opozoriti, da je debelina plašča v povprečju za približno
dva reda velikosti manjša od debeline Chodurine plasti
in ionskih Larmorjevih radijev RLi(XS) in RLi(Xf).
Opozoriti velja tudi na zelo nemonotono odvisnost
XfXS od  z ostrim maksimumom pri približno   3
o
in minimumom pri približno   31
o
. Na sliki (d)
vidimo odvisnost vpadnih kotov ionskega toka i(XM),
i(XS) i(Xf) od magnetnega kota . Do roba Chodurine
plasti je odklanjanje ionskega toka od smeri magnetnega
polja zelo majhno. V Chodurini plasti pa je sprememba
smeri ionskega toka precej bolj izrazita. V plašču je
električno polje zelo veliko, vendar tudi tam ionski tok
še vedno ni preusmerjen povsem v smer električnega
polja, saj je vpadni kot še vedno manjši od 90
o
.
PLAZEMSKI PLAŠČ V POŠEVNEM MAGNETNEM POLJU 175
Slika 7: Odvisnost lege roba Chodurine plasti XM, roba plašča
XS, točke singularnosti sistema enačb (56)–(64) Xf, debeline
Chodurine plasti, XSXM, debeline plašča XfXS, Larmorjevih
radijev za ione na robu Chodurine plasti, RLi(XM), na robu
plašča  RLi(XS)   in   v  točki  singularnosti  sistema  enačb
(56)– (64), RLi(Xf) ter vpadnih kotov ionskega toka i(XM),
i(XS) i(Xf)  od  magnetnega kota   pri   parametrih   = 0,
K = 100,  = 1/3671.48, Z = 0,  = 10
-5
, robnih pogojih (77)–
(79), z vrednostma Vi0 = Ve0 = 10
-7
ter elektronsko funkcijo
izvira (66), s = Ne.
4 SKLEP
V delu smo podrobno predstavili dvotekočinski model
plazemskega plašča pred negativno planarno elektrodo,
ki je potopljena v plazmo, kjer je prisotno tudi zunanje
magnetno polje. Osnova modela je sistem devetih
navadnih diferencialnih enačb (56)–(64) z devetimi
neznanimi funkcijami krajevne koordinate X. To so tri
komponente hitrosti ionskega toka Vix(X), Viy(X), Viz(X),
tri komponente hitrosti elektronskega toka Vex(X),
Vey(X), Vez(X), ionska in elektronska gostota Ni(X), Ne(X)
in potencial (X). Ker so enačbe močno nelinearne, je
mogoče samo numerično reševanje. Podali smo
fizikalno smiselno izbiro robnih pogojev in pokazali, da
ima sistem enačb (56)–(64) dve singularnosti (86) in
(88). Rešitve sistema enačb (56)–(64) je mogoče najti
samo, če je Vix(X) večja od ionske termične hitrosti,
obenem pa mora biti Vex(X) manjša od elektronske
termične hitrosti. Zlasti prva zahteva nekoliko omeji
fizikalno uporabnost modela, saj skupaj z robnim
pogojem, ki zahteva končno veliko robno vrednost
hitrosti Vi0, onemogoči izbiro neničelne ionske
temperature. Ta problem je mogoče delno odpraviti
tako, da se omejimo samo na rešitve, pri katerih
nevtralnost plazme ni kršena in torej vnaprej zahtevamo
enakost ionske in elektronske gostote – enačba (68). V
tem primeru sistem enačb (56)–(64) preide v sistem (69)
–(76). Ob enakih robnih pogojih je drugi sistem enačb
rešljiv tudi, če izberemo ionsko temperaturo, višjo od 0.
Ima pa drugi sistem enačb singularnost, ko hitrosti Vix in
Vex izpolnita pogoje (100) in (101), to je približno na
robu plašča.
Ilustrirali smo nekaj lastnosti rešitev obeh sistemov
enačb. Osnovne lastnosti rešitev so takšne, kot
pričakujemo. V smeri proti elektrodi potencial
monotono pojema, vendar pa je pojemanje najprej dokaj
počasno in električno polje je zelo majhno. Ionski tok na
začetku sledi smeri magnetnih silnic in vse tri
komponente hitrosti ionskega toka naraščajo, ionska
gostota pa pojema. Pojemanju ionske gostote sledijo
tudi elektroni in plazma ohranja nevtralnost. Ko pa
projekcija ionske hitrosti, ki je vzporedna z magnetnim
poljem, doseže ionsko zvočno hitrost, električno polje
naraste že do te mere, da prihaja do opaznega
preusmerjanja ionskega toka iz smeri magnetnega polja
v smer električnega polja, to je pravokotno na elektrodo.
Ko pa komponenta hitrosti ionskega toka, ki je
pravokotna na elektrodo, doseže ionsko zvočno hitrost,
se poruši tudi nevtralnost plazme in nastane plazemski
plašč – to je območje, v katerem obstaja presežek
pozitivnega prostorskega naboja.
Ker v modelu nastopa veliko neodvisnih parametrov,
bi sistematični pregled večjega števila parametričnih
odvisnosti  zahteval zelo veliko prostora. Zato smo se v
tem delu omejili na primerjavo debeline plašča in
Chodurine plasti s povprečnim ionskim Larmorjevim
radijem na robu Chodurine plasti, na robu plašča in v
točki singularnosti sistema enačb (56)–(64) v odvisnosti
od magnetnega kota , in to pri samo enem nizu
parametrov K, , , Z in  in samo za elektronsko
funkcijo izvira s = Ne. Izkaže se, da je ionski Larmorjev
radij na robu plašča istega reda velikosti kot debelina
Chodurine plasti, znotraj plašča pa to debelino celo
preseže. To govori v prid domneve, da je glavni
mehanizem ionskih izgub na končno elektrodo tako
imenovano odpiranje ionskih ciklotronskih orbit. To
pomeni, da ioni zadenejo končno elektrodo, ker se
njihov ciklotronski tir seka z elektrodo. Opozorimo še
na dva rahlo presenetljiva rezultata. Gre za odvisnost
debeline Chodurine plasti in plašča od magnetnega kota.
Morda bi pričakovali, da bosta ti dve debelini monotono
pojemali, ko bodo magnetne silnice vse bliže smeri, ki
je pravokotna na elektrodo. Izkaže pa se, da ima
debelina Chodurine plasti maksimum, debelina plašča
pa najprej oster maksimum, ki mu sledi minimum, in
nato ponovno naraščanje.
Predvsem zaradi ilustrativnih namenov smo K in 
izbrali tako, da se  ionski Larmorjev radij na robu plašča
176 GYERGYEK, KOVAČIČ
in Debyjeva dolžina razlikujeta za približno dva reda
velikosti. Če bi izbrali K in   tako, da bi bila  ionski
Larmorjev radij na robu plašča in Debyjeva dolžina
istega reda velikosti, bi bili rezultati gotovo drugačni do
te mere, da bi zahtevali čisto ločeno analizo.