1. Uvod
Raba računalniških programskih paketov za modeliranje
statičnih in dinamičnih modelov elektromagnetnih
naprav, ki temeljijo na uporabi numerične metode
končnih elementov (ANSYS, Vector Fields, itd.), strmo
narašča. Takšni programski paketi zahtevajo za
modeliranje naprave natančno poznavanje konstrukcije
naprave in magnetnih lastnosti uporabljenih materialov,
tako dobljeni model pa je preobsežen in za vodenje
prezahteven. Zato je treba poiskati način ali metodo, ki
hkrati omogoča dinamičen model, uporaben za vodenje,
in dovolj dober opis magnetno nelinearnih lastnosti
naprave. Izkaže se, da lahko opišemo magnetno
nelinearne lastnosti celotne kompleksne
Prejet 9. junij, 2006
Odobren 14. januar, 2007
62 Šlibar, Štumberger
elektromagnetne naprave z magnetno nelinearnimi
karakteristikami magnetnih sklepov ψ(i) in njihovimi
parcialnimi odvodi ∂ψ(i)/∂i.
Nekaj metod za določanje magnetno nelinearnih
karakteristik enostavnih elektromagnetnih naprav
(dušilka z železnim jedrom) je predstavljenih v delih [1]
in [2]. V delu [3] je uporaba omenjenih metod razširjena
tudi na zahtevnejše naprave, kot so na primer linearni
sinhronski reluktančni motorji. V navedenih delih
predstavljeni rezultati kažejo, da so omenjene metode
primerne tudi za uporabo v dinamičnih modelih
elektromagnetnih naprav.
Cilj tega dela ni iskanje novih eksperimentalnih
metod določanja magnetno nelinearnih karakteristik
elektromagnetnih naprav, temveč ovrednotenje odzivov
dinamičnih modelov, v katere so vključene
karakteristike magnetnih sklepov, določene z različnimi
eksperimentalnimi metodami. Posebej za to priložnost
je bil za napajanje trifaznega tristebrnega
laboratorijskega transformatorja zgrajen
eksperimentalni sistem in pretvornik [4]. Slednji
omogoča napajanje testnega objekta z regulirano
napetostjo stopnične, sinusne ali sinusne oblike z
dodano enosmerno komponento. Tok, izračunan z
dinamičnim modelom testnega objekta, je primerjan z
izmerjenim tokom. Na podlagi dobljene razlike je
izvedeno ovrednotenje šestih eksperimentalnih metod za
določanje magnetno nelinearnih karakteristik
elektromagnetnih naprav.
2. Magnetni sklep ψ
V našem primeru smo kot testni objekt uporabili eno
navitje trifaznega tristebrnega laboratorijskega
transformatorja. Za takšen objekt obstajata dva načina
vzbujanja in merjenja napetosti ter toka za določanje
karakteristik magnetnega sklepa ψ(i). Prvi način je ta, da
navitje, na katerem merimo tok in napetost, napajamo s
spremenljivo napetostjo, navitji na preostalih dveh
stebrih pa napajamo s konstantnim tokom. Drugi način
je, da so vsa navitja, razen napajanega, odprta. Ker smo
izbrali drugi način, lahko opišemo napetostno
ravnotežje v napajanem navitju z (1),
,
ψ
= +
d
u Ri
dt
(1)
kjer sta u in i trenutni vrednosti napetosti in toka, ψ pa
označuje magnetni sklep, v katerem je zajeto magnetno
nelinearno obnašanje železnega jedra. R je ohmska
upornost navitja, spremenljivka t pa pomeni čas.
2.1 Matematična orodja
Karakteristiko ψ(i) in njen parcialni odvod ∂ψ(i)/∂i
lahko na podlagi izmerjenih signalov napetosti in toka
določimo na dva načina. Prvi zajema numerično
integriranje in odvajanje, drugi način pa temelji na
harmonski analizi posnetih signalov.
2.1.1 Numerično integriranje in odvajanje
Magnetni sklep v odvisnosti od časa določimo s
pomočjo numeričnega integriranja (2).
[ ]
0
( ) ( ) ( ) (0)
t
t u Ri dψ τ τ τ ψ= − +∫ (2)
Pri tem ψ(0) je začetna vrednost magnetnega sklepa
zaradi remanence. Na podlagi izračunanega magnetnega
sklepa ψ(t) izrišemo karakteristiko ψ(i) v obliki
histerezne zanke (slika 1, krivulja 1). Če sedaj za vsak ψ
izračunamo povprečno vrednost toka i, dobimo enolično
karakteristiko, ki je prikazana kot krivulja 2 na sliki 1.
Dobljeno karakteristiko preslikamo v prvi kvadrant ter
ponovno izračunamo povprečno vrednost toka i za vsak
ψ [3].Tako dobimo karakteristiko, podano na sliki 1 kot
krivuljo 3. Odvod magnetnega sklepa po toku ∂ψ(i)/∂i
izračunamo z numeričnim odvajanjem (3).
/ /ψ ψ∂ ∂ ≈ ∆ ∆i i (3)
Pripadajoča karakteristika je vidna na sliki 1 kot krivulja
4. Za nas sta najzanimivejši krivulji 3 in 4.
ψ
ψ
[V
s]
,∂
ψ
/∂
i
[V
s/
A
]
4
i
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
i [A]
34
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
0
2
[A]
[
V
s]
Slika 1: Karakteristike magnetnih sklepov, podane v obliki:
histerezne zanke ψ(i) - krivulja 1; enolične karakteristike ψ(i) -
krivulja 2; enolične karakteristike ψ(i) v prvem kvadrantu -
krivulja 3; parcialnih odvodov ∂ψ(i)/∂i - krivulja 4
Figure 1: Characteristics of flux linkages given in the form of:
hysteresis loop ψ(i) - curve 1; unique ψ(i) characteristic -
curve 2; unique ψ(i) characteristic in the first quadrant - curve
3; partial derivatives ∂ψ(i)/∂i - curve 4
2.1.2 Harmonska analiza
Ker magnetno nelinearno karakteristiko ψ(i) merjene
naprave določamo v ustaljenem obratovalnem stanju,
lahko upoštevamo, da sta tok i in napetost u periodični
funkciji. Na podlagi te ugotovitve lahko opravimo
harmonsko analizo (slika 2).
Napetost uh in tok ih h-te harmonske komponente
zapišemo v realni obliki zapisa (4),
( ) ( )
( ) ( )
h uh uh
h ih ih
cos sin
cos sin ,
ω ω
ω ω
= +
= +
u a h t b h t
i a h t b h t
(4)
pri čemer so auh, buh, aih in bih Fourierjevi koeficienti
napetosti in toka, ω pa je osnovna krožna frekvenca.
Ovrednotenje eksperimentalnih metod za določanje magnetno nelinearnih karakteristik 63
Delovno moč h-te harmonske komponente Ph
izrazimo s (5).
h uh ih uh ihP a a b b= +  (5)
S (6) določimo amplitudo h-te harmonske
komponente napetosti Uh in toka Ih.
2 2 2 2
h uh uh h ih ih,U a b I a b= + = +  (6)
Iz h-te harmonske komponente moči Ph in toka Ih
lahko določimo ohmsko upornost Rh (7).
h
h 2
h
P
R
I
= (7)
Količnik h-te harmonske komponente napetosti in
toka je impedanca h-te harmonske komponente Zh,
podana z izrazom (8).
( )22hh h h h
h
U
Z R L
I
ω= = +  (8)
Iz (8) lahko izpeljemo izraz za induktivnost h-te
harmonske komponente (9), ki pomeni razmerje med
ψ(i)/i .
2 2
h h h
h
1
L Z R
ω
= − (9)
0 10 20 30
-5
0
5
t [s]
u
[V
]
0 2 4 6 8
0
2
4
h
U
h
[V
]
0 10 20 30
-5
0
5
t [s]
i[
A
]
0 2 4 6 8
0
2
4
h
I h
[A
]
imer
irek
Slika 2: Napetost u, amplitudni spekter napetosti Uh, merjeni
tok imer, njegov amplitudni spekter Ih in aproksimacija z
osnovno harmonsko komponento irek
Figure 2: Voltage u, its amplitude spectrum Uh, measured
current imer, its amplitude spectrum Ih and reconstruction with
fundamental harmonic component irek
3. Eksperimentalni sistem in metode
Uporabljeni eksperimentalni sistem je namenjen za
določanje magnetno nelinearnih karakteristik
elektromagnetnih naprav.
3.1 Eksperimentalni sistem
Sistem [4] za določanje magnetno nelinearnih
karakteristik elektromagnetnih naprav je zgrajen iz:
• Avtotransformatorja ISKRA IRN 140, ki je
posredno prek usmernika služil kot napajalna
stopnja linearnega ojačevalnika.
• Linearnega ojačevalnika, katerega naloga je bila
ustrezna ojačitev napetostnega signala, dobljenega
iz osebnega (PC) računalnika. Največji vrednosti
izhodne napetosti in toka sta 100 V in 10 A.
• Osebnega računalnika, ki je bil uporabljen kot
vhodno-izhodna enota. S pomočjo krmilne enote
dSPACE je računalnik pretvorniku posredoval
informacijo o obliki in velikosti napetosti ter
posredno prek krmilne enote shranjeval posnetke
napetosti u(t) in toka i(t). S pomočjo programskega
paketa MATLAB, SIMULINK je bila pozneje
opravljena analiza dobljenih podatkov.
• Krmilnega sistema dSPACE PPC 1103 in
pripadajočega vmesnika. Naloga krmilnega sistema
je bila zajemanje podatkov iz senzorjev toka in
napetosti ter regulacija izhodne napetosti linearnega
ojačevalnika prek D/A in A/D pretvornikov.
• Merjenega objekta. Kot merjeni objekt je bilo
uporabljeno primarno navitje ene faze tristebrnega
trifaznega laboratorijskega transformatorja z
nazivnimi podatki Un = 400 V, Sn = 3,5 kVA in
f = 50 Hz.
• Merilnih sond. Za meritev napetosti so bile
uporabljene diferenčne sonde Chauvin Arnoux P25.
Tok pa je bil merjen s pomočjo Hallovih tokovnih
senzorjev LEM HY10P z natančnostjo 1%, ki so
bili integrirani v linearni ojačevalnik.
Shematična sestava eksperimentalnega sistema je
vidna na sliki 3.
dSPACE
vmesnik
Krmilni sistem dSPACE PPC 1103
Linearni ojačevalnik
A
vt
ot
ra
ns
fo
rm
at
or
Transformator
(merjeni objekt)
ur i u
Informacijski tok
Energijski tokPC računalnik
Slika 3: Eksperimentalni sistem
Figure 3: Experimental system
V nadaljevanju so opisane različne eksperimentalne
metode, ki smo jih uporabili za določitev magnetno
nelinearnih karakteristik testnega objekta.
3.2 Metoda I
Merjeni objekt napajamo s stopnično obliko napetosti.
Pri tem mora amplituda napetosti doseči takšno
vrednost, da merjeni odziv toka doseže stanje nasičenja
ter hkrati pokrije celotno delovno področje. Iz posnetka
napetosti in toka (slika 4) lahko s pomočjo (2)
izračunamo časovni potek magnetnega sklepa ψ(t). Pri
tem upornost R najučinkoviteje določimo takrat, ko se
tok ustali ter tik preden se napetost ponovno spremeni
[1].
64 Šlibar, Štumberger
0 5 10 15 20 25
-5
0
5
t [s]
u
[V
],
i[
A
],
ψ
[V
s]
u (t)
i (t)
ψ(t)
Slika 4: Časovni poteki napetosti, toka in izračunanega
magnetnega sklepa (stopnična sprememba napetosti)
Figure 4: Measured voltage, current and calculated flux
linkage for the applied stepwise changing voltage
3.3 Metoda II
Ta metoda se od metode I razlikuje samo v obliki
napetosti, ki je sedaj sinusne oblike (slika 5).
0 5 10 15 20 25
-5
0
5
t [s]
u
[V
],
i[
A
],
ψ
[V
s]
ψ(t)
i (t)
u (t)
Slika 5: Časovni poteki napetosti, toka in izračunanega
magnetnega sklepa (sinusna napetost)
Figure 5: Measured voltage, current and calculated flux
linkage for the applied sinusoidal voltage
Ta metoda je neuporabna, če se upornost R med
meritvijo spreminja, saj ni stacionarnega stanja, kjer bi
lahko določili pravo vrednost upornosti R.
3.4 Metoda III
Metoda III je podobna metodi I, s to razliko, da moramo
izvesti več meritev pri različnih amplitudah. Za vsako
amplitudo napetosti dobimo histerezno zanko. Če
povežemo končne točke histereznih zank, dobimo
enolično karakteristiko ψ(i), ki jo lahko uporabimo v
dinamičnem modelu [1].
3.5 Metoda IV
Metoda IV je podobna metodi III, vendar namesto
stopnične oblike uporabimo sinusno obliko napetosti.
3.6 Metoda V
Merjeni objekt napajamo s sinusno obliko napetosti
konstantne frekvence (slika 5). Na posnetkih napetosti u
in toka i opravimo harmonsko analizo. Če uporabimo
samo osnovno harmonsko komponento, lahko s
pomočjo (7), (8), (9) določimo induktivnost L.
Magnetno nelinearno karakteristiko ψ(i) = L i lahko
določimo, ko opravimo serijo poskusov pri različnih
amplitudah napetosti u in enaki krožni frekvenci ω.
Karakteristiko ∂ψ(i)/∂i določimo s pomočjo (3). Ker
upoštevamo samo osnovno harmonsko komponento se
napaka s prehodom toka v stanje nasičenosti povečuje.
3.7 Metoda VI
0 5 10 15 20 25
0
2
4
6
t [s]
u
[V
],
i[
A
],
ψ
[V
s]
ψ ���
u (t)
i (t)
Slika 6: Časovni poteki napetosti, toka in izračunanega
magnetnega sklepa (sinusna napetost z dodano enosmerno
komponento napetosti)
Figure 6: Measured voltage, current and calculated flux
linkage for the applied sinusoidal voltage with offset
Metoda VI je podobna metodi V s to razliko, da
napajalna napetost, ki je sinusne oblike, vsebuje tudi
enosmerno komponento napetosti (slika 6). Samo ta
metoda omogoča neposredno določitev karakteristike
∂ψ(i)/∂i, pri preostalih metodah lahko ∂ψ(i)/∂i določimo
posredno, in sicer z numeričnim odvajanjem (3).
Opraviti moramo serijo poskusov, kjer sta frekvenca
in amplituda osnovne harmonske komponente napetosti
konstantni, spreminjamo pa samo velikost enosmerne
komponente UDC. Za vsak poskus posebej izvedemo
harmonsko analizo na posnetkih napetosti u in toka i.
Induktivnost L določimo po (9), kjer upoštevamo samo
osnovno harmonsko komponento. Če povežemo tako
izračunane L(IDC), kjer IDC označuje enosmerno
komponento toka, dobimo karakteristiko ∂ψ(i)/∂i kot
funkcijo IDC .
Metoda je primerna samo takrat, ko je napetost u
izbrana tako, da merjeni tok i vsebujemo samo osnovno
in enosmerno harmonsko komponento.
4. Rezultati
Karakteristike ψ(i) in ∂ψ(i)/∂i, določene z metodami od
I do VI, so prikazane na sliki 7.
Izraz za napetostno ravnotežje (1) lahko zapišemo
tudi drugače, in sicer kot (10). Tako dobljen izraz je
dinamični model testnega objekta, ki nam z uporabo
karakteristik ∂ψ(i)/∂i iz slike 7 b), določenih z
različnimi metodami, omogoča ovrednotenje teh metod.
( )1
ψ
= −
di
u Ri
ddt
di
(10)
Tok irek izračunamo s pomočjo dinamičnega modela
(10), kjer upoštevamo obliko in velikost izmerjene
napetosti u ter karakteristiko ∂ψ(i)/∂i glede na izbrano
metodo (slika 7). Slika 8 prikazuje časovne poteke
izmerjenih imer in izračunanih tokov irek. S pomočjo slike
9, na kateri so prikazani poteki razlik izmerjenega in
izračunanega toka (idif = imer - irek), lahko ovrednotimo
posamezne eksperimentalne metode.
Rezultate metod, ki za določitev magnetno
nelinearne karakteristike zahtevajo eno samo meritev
Ovrednotenje eksperimentalnih metod za določanje magnetno nelinearnih karakteristik 65
(skupina 1 - metoda I in II), je nesmiselno primerjati z
rezultati metod, ki za določitev magnetno nelinearne
karakteristike zahtevajo serijo meritev (skupina 2 –
metoda III, IV, V in VI).
Čeprav se rezultati (slika 9, odstopanje irek od imer)
znotraj posameznih skupin ne razlikujejo bistveno,
lahko v prvi skupini omenimo rezultate metode I,
medtem ko v drugi skupini izstopajo rezultati metode
VI.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
i [A]
ψ
[V
s]
Metoda I
Metoda II
Metoda III
Metoda IV
Metoda V
0 1
1
1,5
2
2,5
a)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
i [A]
∂ψ
/∂
i
[V
s
/A
]
Metoda I
Metoda II
Metoda III
Metoda IV
Metoda V
Metoda VI
b)
Slika 7: Karakteristike a) ψ(i) in b) ∂ψ(i)/∂i določene po različnih metodah
Figure 7: Characteristic ψ(i) and ∂ψ(i)/∂i determined by different method
10 12 14 16 18 20
-5
0
5
t [s]
u
[V
],
i [
A
]
u
i
rek  I
i
rek  II
i
rek  III
i
rek  IV
i
rek  Vi
rek  VI
i
mer
a)
10 12 14 16 18 20
-5
0
5
t [s]
u
[V
],
i [
A
]
u
i
rek  I
i
rek  II
i
rek  III
i
rek  IV
i
rek  V
i
rek  VI
i
mer
b)
9 11 13 15 17
-2
0
2
4
6
t [s]
u
[V
],
i [
A
]
u
i
mer
i
rek  VI
i
rek  V
i
rek  IV
i
rek  III
i
rek  II
i
rek  I
��
10 10.5 11 11.5
-6
-3
0
3
6
t [s]
u
[V
],
i [
A
]
u i
mer
i
rek  I
i
rek  II
i
rek  III
i
rek  IV
i
rek  V
i
rek  VI
��
Slika 8: Časovni poteki izmerjenih imer in izračunanih tokov irek (glede na izbrano metodo), določeni s pomočjo dinamičnega
modela (10) za različne ∂ψ(i)/∂i za a) sinusno obliko napetosti in b) stopnično obliko napetosti pri (U = 5 V T = 10 s)
Figure 8: Measured imer and calculated currents irek (depending on the used method) determined with characteristics ∂ψ(i)/∂i of
different methods by equation (10), given for the applied a) sinusoidal changing voltage and b) stepwise changing voltage
(U = 5 V and T = 10 s)
66 Šlibar, Štumberger
10.5 11 11.5 12
-4
-2
0
2
t [s]
i d
if
[A
]
i
dif  I
i
dif  II
i
dif  III
i
dif  IV
i
dif  V
i
dif  VI��
10.5 11
-4
-2
0
2
t [s]
i d
if
[A
]
i
dif  VI
i
dif  I
i
dif  II
i
dif  III
i
dif  IV
i
dif  V
��
Slika 9: Razlike med merjenimi in izračunanimi toki (idif = imer - irek) za a) sinusno obliko in b) stopnično obliko napetosti.
Amplituda napetosti je U = 5 V in perioda T = 10 s
Figure 9: Differences between the measured and calculated currents (idif = imer - irek) given for the applied a) sinusoidal changing
voltage and b) stepwise changing voltage. Voltage amplitude is U = 5 V and period T = 10 s
5. Sklep
V tem delu je predstavljenih in ovrednotenih šest
eksperimentalnih metod za določanje magnetno
nelinearnih karakteristik elektromagnetnih naprav.
Omenjene karakteristike so podane v obliki tokovno
odvisnih karakteristik magnetnih sklepov ψ(i) in
njihovih parcialnih odvodov ∂ψ(i)/∂i. Karakteristike
magnetnih sklepov, določene z različnimi metodami, se
med seboj razlikujejo po načinu izračunavanja
magnetnega sklepa in obliki napajalne napetosti. V
programskem paketu MATLAB/SIMULINK je bil
sestavljen magnetno nelinearen dinamičen model testne
naprave, v katerega so vključene karakteristike
magnetnih sklepov, določene z različnimi metodami.
Primerjava izmerjenih in izračunanih tokov je bila
uporabljena za ovrednotenje posameznih
eksperimentalnih metod.
Pokaže se, da če želimo rezultate medsebojno
primerjati, je najbolj primerno, da jih uvrstimo v dve
med seboj neprimerljivi skupini. V prvo uvrstimo
rezultate metod, ki potrebujejo za določitev magnetno
nelinearne karakteristike eno meritev (metodi I in II). V
drugo skupino pa uvrstimo preostale metode, ki
potrebujejo za določitev karakteristike ψ(i) oziroma
∂ψ(i)/∂i serijo meritev (metode III, IV, V in VI).
Najboljše rezultate glede na odstopanje izračunanih
tokov glede na merjene pokaže v prvi skupini metoda I,
v drugi pa metoda VI.
Če sedaj ocenimo vse metode skupaj na podlagi
hitrosti, zahtevnosti in natančnosti opravljenih meritev,
lahko zagotovo rečemo, da metoda I da najboljše
rezultate.
6. Literatura
[1] G. Štumberger, B. Polajžer, B. Štumberger, M.
Toman, D. Dolinar, Evaluation of Experimental
Methods for Determining the Magnetically
Nonlinear Characteristics of Electromagnetic
Devices, IEEE Transactions on Magnetics, vol.
41, no. 10, pp. 4030-4032, 2005.
[2] G. Štumberger, Primerjava metod za določanje
magnetno nelinearnih karakteristik tuljav z
železnim jedrom, B. Zajc, A. Trost, Zbornik
trinajste mednarodne Elektrotehniške in
računalniške konference ERK 2004, pp. 401-404,
Ljubljana, Slovenska sekcija IEEE, 2004.
[3] G. Štumberger, B. Štumberger, D. Dolinar,
Identification of Linear Synchronous Reluctance
Motor Parameters, IEEE Transaction on Industry
Applications, vol. 40, no. 5, pp. 1317-1324,
September/October 2004.
[4] M. Dolinar, Določanje nelinearnih magnetilnih
karakteristik železnega jedra trifaznega
transformatorja, Diplomska naloga, Maribor 2005.
Primož Šlibar je leta 2002 diplomiral na Fakulteti za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko v
Mariboru. Od leta 2004 je zaposlen v Tehnološkem
centru za električne stroje (TECES) kot mladi
raziskovalec. Ukvarja se z modeliranjem in
projektiranjem energetskih pretvornikov. Primož Šlibar
je član študentske veje IEEE.
Gorazd Štumberger je diplomiral leta 1989 in
magistriral leta 1992 na oddelku ERI Tehniške fakultete
Univerze v Mariboru. V letu 1996 je doktoriral na
Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
v Mariboru, kjer je tudi zaposlen kot izredni profesor.
Ukvarja se z modeliranjem in vodenjem
elektromehanskih sistemov in elementov
elektroenergetskega sistema. Dr. Gorazd Štumberger je
član CIGRE, Compumag in IEEE.