1 Uvod
Indukcijsko segrevanje je eden najpopularnejših
postopkov za toplotno obdelavo kovin. Njegove
pomembne prednosti v primerjavi z drugimi postopki so
možnost zelo hitrega segrevanja natančno določenih
lokaliziranih območij na obdelovancu, energijska
varčnost in prijaznost do okolja [1].
Proces indukcijskega segrevanja je zapletena
kombinacija med seboj soodvisnih elektromagnetnih,
termičnih in metalurških pojavov. Osnova indukcijskega
segrevanja je izmenično elektromagnetno polje, ki ga
ustvarimo v tuljavi, po kateri teče izmenični električni
tok. To izmenično elektromagnetno polje inducira v
obdelovancu vrtinčne tokove, zaradi katerih se v
obdelovancu sprošča energija v obliki toplote. Toplota
se s toplotnim prevajanjem prenaša po obdelovancu. V
praksi je zelo težko ugotoviti, kakšno obliko in
postavitev tuljave je treba uporabiti za določeno obliko
obdelovanca in želeni profil segrevanja, zato so
računalniške simulacije zelo dobrodošle pri načrtovanju
indukcijskih sistemov.
Cilj naše študije je bil prikazati uspešno delovanje
genetskega algoritma pri reševanju problema optimalne
postavitve tuljave in nastavitve parametrov električnega
toka za dosego želenega profila segrevanja. Dobljene
optimalne parametre smo primerjali z intuitivno
rešitvijo in globalnim optimumom, ki smo ga določili s
pregledom vsega prostora dopustnih rešitev. Za
primerjavo so služili ustreznost porazdelitve
temperature v obdelovancu ter čas in energija, potrebna
za dosego želene temperature v ciljnem območju
obdelovanca. Pokazali smo, da je naš algoritem
zanesljiv, prilagodljiv in da dobro konvergira proti
globalnemu optimumu.
2 Materiali in metode
2.1 Numerični model
2.1.1 Geometrija
Predmet obravnave je jeklen valj višine 100 mm in
premera 12,5 mm (slika 1). Cilj je segreti območje
debeline 2,5 mm na robnem delu plašča valja med 450
in 500 K. Valj je nameščen v tuljavo, ki je sestavljena iz
štirih ovojev premera 12 mm. Zaradi preprostejšega in
hitrejšega numeričnega računanja in osne simetrije
problema ne rešujemo v tridimenzionalnem prostoru,
ampak je postavljen v osno-simetričen
dvodimenzionalni prostor [2].
Slika 1: Geometrija modela: jekleni valj s krožnimi štirimi
ovoji, postavljen v dvodimenzionalni osno-simetrični model.
Fig 1: Geometric model: steel cylinder surrounded by a coil of
four loops placed in a two-dimensional axial-symmetric
coordinate system.
2.1.2 Snovne lastnosti
Temperatura snovi pri indukcijskem segrevanju se
spreminja v tako velikem razponu, da je treba upoštevati
temperaturno odvisnost snovnih lastnosti [3, 4].
Predmet izračuna indukcijskega segrevanja je ne-
feromagnetno jeklo z oznako X5CrNi 18/9 (1.4301), ki
je v industriji prisotno že vrsto let in se uporablja v
različne namene. Temperaturno odvisnost parametrov
opišemo z enačbami 1, 2 in 3 [5, 6], pri čemer so σ
specifična električna prevodnost ( -1Sm ), C specifična
toplotna kapaciteta ( -1 -1Jkg K ) in λ  toplotna prevodnost
( -1 -1Wm K ).
7 10
2 13 4 17
( ) 1/ (4.9659 10 8.4121 10
3.7246 10 6.1960 10 )
T T
T T
σ − −
− −
= ⋅ + ⋅ ⋅ −
− ⋅ × + ⋅ ⋅
(1)
4( ) 351.93 976 10C T T −= + ⋅ ⋅  (2)
2( ) 11.215 1.4087 10T Tλ −= + ⋅ ⋅  (3)
2.1.3 Uporabljene enačbe
Končna oblika parcialne diferencialne elektromagnetne
enačbe v osno-simetričnem koordinatnem sistemu (4)
izhaja iz Maxwellovih enačb elektromagnetnega polja.
V njej pomeni σ specifično električno prevodnost
medija ( -1Sm ), ω krožno frekvenco ( -1s ), r polmer (m),
eJ  gostoto zunanjega električnega toka ( -2Am ), 0µ
permeabilnost praznega prostora ( -2NA ), u pa je vektor,
ki je povezan z magnetnim potencialom [7].
2 2
1 1 1
0 0 02 2
3 0e
u u u
j ru J r r
rr z
σω µ µ µ− − −
 ∂ ∂ ∂
− − + + = ∂∂ ∂ 
φe
r
(4)
Spreminjanje temperature in prenašanje toplote
opišemo z osnovno toplotno enačbo (5), v kateri je ρ
gostota snovi ( -3kgm ), C specifična toplotna kapaciteta
( -1 -1Jkg K ), T temperatura (K), λ  toplotna prevodnost
( -1 -1Wm K ) in Q (J) toplotni vir, ki prek zveze v enačbi
(6) ponazarja v jeklu inducirane vrtinčne tokove, ki se
odrazijo v obliki toplotnih izgub.
( )
T
C T Q
t
ρ λ
∂
+ ⋅ − =
∂
ur ur
∇ ∇∇ ∇∇ ∇∇ ∇  (5)
( )11 Re2Q σ − = +  
** eJ E J
uuuruurr
(6)
Optimizacija indukcijskega segrevanja z numeričnim modeliranjem in genetskim algoritmom 65
2.1.4 Robni in začetni pogoji
Na robu prostora, v katerem se nahaja problem, smo
predpostavili magnetno in toplotno izolacijo. Začetno
temperaturo celotnega sistema smo postavili na 293 K.
2.2 Genetski algoritem
Programsko kodo genetskega algoritma [8, 9, 10] smo
napisali v programskem paketu Matlab 2007a.
Algoritem je povezan s programskim paketom
COMSOL Multiphysics, ki omogoča numerično
reševanje z metodo končnih elementov. Optimizacija je
potekala na osebnem računalniku (AMD 2,2 GHZ s 3
GB pomnilnika) in je trajala v povprečju štiri ure.
Diskretno spreminjajoči se parametri optimizacije so
bili amplituda in frekvenca električnega toka skozi vse
štiri ovoje ter relativni položaj posameznih ovojev glede
na obdelovanca. Prostor dopustnih rešitev je prikazan na
sliki 2. Središča zank tuljav se lahko približajo
koordinatni osi z na 20 mm in oddaljijo za 40 mm. Med
seboj se lahko približajo na 5 mm in oddaljijo za 45
mm.
Slika 2: Območja spreminjanja parametrov problema med
optimizacijo. Obdelovanec v obliki valja je postavljen s
središčnico vzdolž osi z. Ovoji tuljave se lahko premikajo v
vse štiri smeri v označenem območju z diskretnimi koraki (2
mm v smeri osi r in 1 mm v smeri osi z). Toku, ki teče skozi
ovoje, se spreminja vrednost amplitude in frekvence. S sivo
barvo je označen vrhnji del plašča obdelovanca, ki ga želimo
segreti na želeno temperaturo. Zaradi simetrije in večje
preglednosti je prikazana spodnja četrtina modela (črno
obarvan del celotnega modela na manjši sliki spodaj desno).
Fig. 2: Constraints of the optimization parameters. The
cylinders centre axis is placed along axis z. Coil loops can
change their position in all four directions in the marked
region with discrete steps (2 mm in the direction of axis r and
1 mm in the direction of axis z). Frequency and amplitude of
the electric current through the loops are also constrained. The
outer layer of the cylinder, which is meant to be heated, is
coloured in gray. The figure only shows the lower quarter of
the model due to symmetries (black coloured part of the whole
model in the smaller figure below on the right).
Vrednosti parametrov prve generacije rešitev
1 2( , ,..., )nX x x x=  so bili določeni naključno in so
tvorili tako imenovano prvotno populacijo. Rešitve te
populacije so se nato razmnoževale s križanjem ali
mutacijo ter ustvarile naslednje generacije rešitev.
Križanje poteka tako, da je vsaka nova rešitev
1 2( , ,..., )nZ z z z=  naključna linearna kombinacija
predhodnih dveh rešitev X in Y (enačba 7). Pri mutaciji
je vsaka nova rešitev 1 2( , ,..., )nM m m m=  naključna
variacija ene rešitve X (enačba 8).
[ ](1 ) ,       0;1 .i i i i i iz a x a y a= ⋅ + − ⋅ ∈  (7)
[ ],         0,3;0,3 .i i i i im x b x b= + ⋅ ∈ −  (8)
Rešitve za razmnoževanje so bile izbrane glede na
kvaliteto rešitve oziroma funkcijo uspešnosti F (enačba
9), ki jo določajo porabljena energija (E), površina
ciljnega območja obdelovanca  segretega nad 450 K
(PTspodnja), vendar ne nad 500 K (PTzgornja), kjer je Pcelotna
celotna površina ciljnega območja. Emaks predstavlja
oceno maksimalne možne porabljene energije za
segrevanje. Konstanti Pcelotna in Emaks opravljata vlogo
normiranja posameznih komponent funkcije. Obe
komponenti sta tudi uteženi z utežmi, ki ovrednotijo
posamezno komponento. Na ta način ima lahko drugi
člen največjo vrednost 100 in tretji 20. Konstanti člen
20 na začetku funkcije služi zagotavljanju nenegativne
vrednosti funkcije pri vseh možnih rešitvah. Funkcija
uspešnosti je zastavljena tako, da bo uspešnost višja v
primeru, ko bo celoten opazovani del obdelovanca
segret med 450 K in 500 K pri tem pa bo porabljene čim
manj energije.
20 100 20
Tspodnja Tzgornja
celotna maks
P P E
F
P E
−   
= + ⋅ − ⋅   
   
(9)
Optimizacija z genetskim algoritmom je bila
prekinjena po 30 generacijah, kar je v vseh primerih
zadoščalo za konvergenco (slika 4). Ostali parametri
genetskega algoritma so podani v tabeli 1.
Tabela 1: Parametri genetskega algoritma.
Table 1: Parameters of the genetic algorithm.
Velikost
začetne
populacije
Število
generacij
Verjetnost
križanja
Verjetnost
mutacije
30 30 0.75 0.25
2.3 Protokol
Na začetku smo se problema lotili intuitivno. Glede na
ciljno območje segrevanja smo primerno temu postavili
zanke tuljav. Preizkusili smo več različnih vrednosti
Kranjc, Županič, Jarm, Miklavčič 66
amplitude in frekvence toka ter med vsemi rešitvami
izbrali tisto z najvišjo vrednostjo funkcije uspešnosti,
izračunano po enačbi (9). To rešitev smo poimenovali
intuitivna rešitev (IR).
Genetski algoritem smo pognali petdesetkrat in ob
vsaki posamezni optimizaciji algoritma spremljali
konvergiranje rešitve. Primer konvergiranja petih
naključno izbranih rešitev algoritma h globalnemu
optimumu smo prikazali tudi na sliki 4. Med vsemi
dobljenimi rešitvami algoritma smo izbrali srednjo
rešitev glede na funkcijo uspešnosti. To rešitev smo
poimenovali optimizirana rešitev (OR). Izračunali smo
tudi globalno rešitev (GR), ki smo jo določili s
pregledom celotnega prostora dopustnih rešitev.
3 Rezultati
V tabeli 2 so podani parametri problema izračunane
intuitivne rešitve, optimizirane rešitve in globalne
rešitve.
Tabela 2: Parametri izračunane intuitivne rešitve (IR),
optimizirane rešitve (OR) in globalne rešitve (GR). Polmer
(R1-4; ovoji so oštevilčeni od spodaj navzgor) se nanaša na
razdaljo med z osjo (r = 0) in središčem ovojev tuljav (slika
2). Oddaljenost od horizontalne osi r skozi središče
koordinatnega sistema do središča zank tuljav je označen z Z1-
4. Skozi vse štiri ovoje je tekel električni tok amplitude I in
frekvence f.
Table 2: Parameter solutions of an educated guess (IR), an
optimized solution (OR) and the actual global optimum (GR).
Radiuses R1-4 denote distances between axis z (r = 0) and
centre points of each loop (Fig. 2). Distances between
horizontal axis r and centre points of each loop are marked
with Z1-4. Amplitude of electric current I and current
frequency f are also presented.
R1
[mm]
Z1
[mm]
R2
[mm]
Z2
[mm]
R3
[mm]
Z3
[mm]
IR 30 -35 35 -12,5 35 12,5
OR 30 -38 34 -13 34 13
GR 32 -38 34 -14 34 15
R4
[mm]
Z4
[mm]
I
[A]
f
[kHz]
IP 30 35 800 80
OR 30 37 1100 60
GR 32 38 1100 90
Na prvi pogled so parametri rešitev v vseh treh
primerih zelo podobni. Razporeditev ovojev je v vseh
primerih simetrična glede na os r, pri tem pa sta  srednja
ovoja bolj oddaljena od obdelovanca kot robna ovoja.
Rešitve se najbolj razlikujejo v vrednosti amplitude in
frekvence toka, kar vpliva na porazdelitev temperature
obdelovanca, še bolj pa na porabljeno energijo.
Slika 3 prikazuje porazdelitev temperature v
obdelovancu v območju med 450 in 500 K za vse tri
rešitve. Temperaturni interval v primerih optimizirane
in globalne rešitve je veliko uspešneje lokaliziran v
ciljno območje segrevanja obdelovanca.
Slika 3: Razporeditev želene temperature v ciljnem območju
obdelovanca pri IR, OR in GR. Zaradi simetrije je prikazan
samo spodnji del obdelovanca.
Fig. 3: Temperature profile of IR, OR and GR at the outer
layer of the cylinder. The figure only shows the lower part of
the problem due to the symmetry.
Primerjava časa potrebnega za dosego želene
temperature v ciljnem območju obdelovanca, potrebne
energije in kvalitete rešitve med intuitivno, optimizirano
in globalno rešitvijo, je prikazana v tabeli 3.
Optimizacija indukcijskega segrevanja z numeričnim modeliranjem in genetskim algoritmom 67
Tabela 3: Primerjava porabljenega časa potrebnega za dosego
želene temperature v ciljnem območju obdelovanca, potrebne
energije in kvalitete rešitve med IR, OR in GR.
Table 3: Comparison of used computer time, needed energy to
attain the desired temperature profile and values of fitness
function between IR, OR and GR.
čas
[s]
energija
[kJ]
kvaliteta
IR 19,4 454 109,91
OR 10,8 403 111,53
GR 8,8 389 112,13
Ponovljivost rezultatov optimizacije je prikazana na
sliki 4. Zaradi preglednosti ni izrisanih vseh petdeset
potekov spreminjanja rešitev med delovanjem
algoritma, ampak samo pet naključno izbranih. Po 20
iteracijah so vse rešitve genetskega algoritma presegle
kvaliteto intuitivne rešitve in konvergirale h globalni
rešitvi.
Slika 4: Prikaz naraščajoče kvalitete petih rešitev v med seboj
neodvisnih optimizacij z genetskim algoritmom. Z ravno
neprekinjeno črto je označena globalna rešitev (GR), sledi ji
črtkana črta kot optimizirana rešitev (OR). S spodnjo pikčasto
črto je predstavljena intuitivna rešitev (IR).
Fig. 4: Increasing fitness function values for five randomly
chosen solutions. All genetic algorithm solutions exceeded
fitness function value of the educated guess (IR). Global
optimum (GR) is marked with a solid line, optimized solution
(OR) is marked with a broken line and educated guess is
marked with a dotted line.
4 Razprava
V okviru naše študije smo želeli predstaviti zmogljiv in
v praksi uporaben način reševanja problema postavitve
tuljave in nastavitve parametrov električnega toka za
dosego želenega profila segrevanja. Rešitve genetskega
algoritma, ki smo jih dobili z večkratnimi med seboj
neodvisnimi optimizacijskimi teki, so vse konvergirale
h globalnemu optimumu.
Postavitev ovojev intuitivne rešitve je zelo podobna
postavitvi optimizirane rešitve (tabela 2). Na tako
preprostem primeru lahko posameznik s poznavanjem
osnov fizikalnega ozadja indukcijskega segrevanja
razmeroma hitro ugotovi primerno postavitev ovojev
tuljave, ki bo segrelo naše ciljno območje na želeno
temperaturo. Težave pa nastopijo pri izbiri pravilne
kombinacije amplitude in frekvence toka. Z višanjem
frekvence se namreč spreminja vdorna globina
elektromagnetnega polja in s tem segrevanje
obdelovanca. Višina amplitude toka pa vpliva na hitrost
segrevanja. Zavedati se moramo, da se s temperaturo
spreminjajo snovne lastnosti, kar znova vpliva na
vdorno globino. Intuitivno doseči pravilno razmerje
obeh veličin se je zato izkazalo za težavno, predvsem pa
časovno potratno. Boljša izbira amplitude in frekvence
optimizirane rešitve genetskega algoritma je čas samega
segrevanja, potrebnega za dosego želene temperature v
ciljnem območju obdelovanca skrajšala za 19 % in
potrebno energijo za 11 %, kar je posledično izboljšalo
kvaliteto rešitve za 1,5 % (tabela 3) glede na kriterijsko
funkcijo. V obeh primerih se je ciljno območje
segrevanja obdelovanca segrelo na želeno temperaturo,
vendar je segrevanje pri optimizirani rešitvi bolje
lokalizirano (slika 3). Globalna rešitev ima podobno
porazdelitev temperature, vendar je zaradi krajšega časa
potrebnega za dosego želene temperature v ciljnem
območju obdelovanca 3,5 %  energijsko manj potratno v
primerjavi z optimizirano rešitvijo in zato posledično
kvalitetnejša.
Genetski algoritem se je v našem primeru izkazal
kot zelo dobra izbira za optimizacijo indukcijskega
gretja. Njegovo zanesljivost ilustrira konvergenca vseh
rešitev algoritma h globalni rešitvi problema (slika 4).
Druga prednost je prilagodljivost, saj je mogoče
programsko kodo algoritma hitro prilagoditi točno
določeni aplikaciji. Na primer: pri kaljenju kovin je
poudarek na doseganju želene temperature na ciljnem
delu obdelovanca, pri kovanju, pa je pomembnejša
porabljena energija [1]. V obeh primerih je prilagoditev
programske kode preprosta, saj je treba prilagoditi le
uteži posameznih komponent funkcije uspešnosti ali
dodati nove komponente.
Med pomanjkljivostmi genetskega algoritma je
morda najpomembnejše, da optimizirana rešitev ni
enaka globalnemu optimumu; lahko pa se mu zelo
približa in pomeni začetni približek za natančnejšo
optimizacijo s katero izmed determinističnih
optimizacijskih metod. Poleg tega lahko genetski
algoritem ponudi več topološko različnih rešitev
podobno visoke kvalitete in s tem uporabniku več
možnosti za implementacijo konkretne rešitve.
Optimizacija postavitve tuljave in parametrov
električnega toka je pri reševanju problemov
indukcijskega segrevanja pomemben napredek. Že pri
preprostem problemu indukcijskega segrevanja smo
prikazali pomembne prednosti algoritma, predvsem
zanesljivo zagotavljanje natančnosti procesa segrevanja
ob manjši energiji in večji časovni učinkovitosti. V
prihodnje nameravamo algoritem preizkusiti na
kompleksnejših geometrijah, pri katerih pričakujemo, da
bodo te prednosti še bolj izrazite.
Kranjc, Županič, Jarm, Miklavčič 68
5 Zahvala
Avtorji se zahvaljujejo Agenciji za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije za finančno podporo.
6 Literatura
[1] Rudnev V, Loveless D, Cook R, Black M (2003)
Handbook of induction heating. New York, Basel
[2] Kranjc M, Županič A, Jarm T, Miklavčič D (2008)
Vpliv geometrije tuljave na procesorski čas in
natančnost rešitve pri numerične modeliranju
indukcijskega segrevanja z metodo končnih
elementov. Zbornik sedemnajste mednarodne
Elektrotehniške in računalniške konference ERK
2008, 29. 9. - 1.10 2008, Portorož, Slovenija
[3] Sadeghipour K, Dopkin J A, Li K (1995) A
computer aided finite element/experimental
analysis of induction heating process of steel.
Computers in industry 28:195-205
[4] Kawase Y, Miyatake T, Hirata K (2000) Thermal
analysis of steel blade quenching by induction
heating. IEEE transactions on magnetics
36(4):1788-1791
[5] Chaboudez C, Clain S, Glardon R, Rappaz J,
Swierkosz M, Touzani R (1994) Numerical
modeling of induction heating of long workpieces.
IEEE transactions on magnetics, vol. 30, no. 6, pp.
502–5037
[6] Davies E J (1990) Conduction and induction
heating, IEE power engineering series II, United
Kingdom
[7] Kranjc M, Županič A, Jarm T, Miklavčič D (2007)
Model indukcijskega segrevanja karbonskega jekla.
Zbornik šestnajste mednarodne Elektrotehniške in
računalniške konference ERK 2007, 24. - 26.
september 2007, Portorož, Slovenija
[8] Holland J H (1992) Adaptation in natural and
artificial systems: An introductory analysis with
applications to biology, control and artficial
intelligence. Cambridge: MIT Press
[9] Županič A, Čorović S, Miklavčič D (2008)
Optimization of electrode position and electric
pulse amplitude in electrochemotherapy. Radiol.
Oncol. 42: 93-101
[10] Čorović S, Županič A, Miklavčič D (2008)
Numerical modeling and optimization of electric
field distribution in subcutaneous tumor treated
with electrochemotherapy using needle electrodes.
IEEE Trans. Plasma Sci. 36: 1665-1672
Matej Kranjc je diplomiral leta 2007 na Fakulteti za
elektrotehniko Univerze v Ljubljani in je zaposlen kot mladi
raziskovalec v Laboratoriju za biokibernetiko na Fakulteti za
elektrotehniko. Njegovo raziskovalno delo je osredotočeno na
numerično reševanje problemov indukcijskega segrevanja in
razvoj elektronskih sistemov biomedicinskih naprav.
Anže Županič je diplomiral leta 2005 na Fakulteti za
elektrotehniko Univerze v Ljubljani in je zaposlen kot mladi
raziskovalec v Laboratoriju za biokibernetiko na Fakulteti za
elektrotehniko. Njegovo raziskovalno delo je osredotočeno na
numerično modeliranje in optimizacijo genske
elektrotransfekcije in drugih medicinskih terapij na podlagi
elektroporacije.
Tomaž Jarm je doktoriral leta 1999 na Fakulteti za
elektrotehniko Univerze v Ljubljani, kjer je zaposlen kot
pedagog in raziskovalec. Njegovo raziskovalno delo je vezano
predvsem na področji merilnih metod v biomedicinski tehniki
in obdelave signalov, v zadnjem času pa tudi indukcijskega
segrevanja.
Damijan Miklavčič je doktoriral leta 1993 na Fakulteti za
elektrotehniko Univerze v Ljubljani, kjer je trenutno zaposlen
kot redni profesor in predstojnik Laboratorija za
biokibernetiko. Njegovo raziskovalno delo je v zadnjih letih
povezano s prenosom genov in zdravilnih učinkovin pri
zdravljenju raka z elektroporacijo, razvojem strojne opreme in
numeričnem modeliranjem bioloških procesov.