1 Uvod Poznamo več kategorij robotskih bremen: takšnih, ki nimajo stika z robotsko okolico, orodja, ki jo z okolico imajo [1], in takšna, ki okolico obsegajo. Zadnja skupina bo s primerom zapestnega žiroskopa obravnavana v tem prispevku. Značilnost zapestnega žiroskopa znanega pod tržnim imenom Powerball je, da tedaj, ko ima njegov rotor zadosten spin, deluje naprava na rotirajoče zapestje z izdatnim reakcijskim navorom. Par rotacijske hitrosti in navora povzroča obremenitev zapestja, namenjen za trening zapestja, odvisen od hitrosti vrtenja. Konstrukcijska značilnost naprave omogoča spreminjanje obremenitve in s tem pospeševanje, zaviranje in ohranjanje spina rotorja [2]. Obremenitev je od hitrosti kvadratično odvisna in zaradi izgub pri vrtenju je jasno največja hitrost omejena. Zapestni žiroskop je zbudil tudi pozornost robotikov, saj je po svojih dimenzijah primeren za eksperimentiranje v najrazličnejših robotskih scenarijih, opisanih v literaturi. Prispevek [3] poroča o robotizaciji žiroskopa po vzoru človeškega zapestja in uporabi popolnega nabora senzorjev. Izmerjena in uporabljena je rotacija zapestja, ki je podobna idealnemu opotekanju. Z robotom so dosegli zavidljivo rotacijsko hitrost rotorja 1200 rad/s, če upoštevamo absolutni rekord 1500 rad/s. V prispevkih [4,5,6,7] avtorji poročajo o izpeljavi matematičnih modelov, merjenju ustreznih parametrov, simulacijah in eksperimentiranju. Doseženo je bilo zadovoljivo ujemanje rezultatov s poskusi, če upoštevamo minimalno število razpoložljivih senzorjev. V tem prispevku obravnavamo značilnosti modela žiroskopa, ki nam omogočajo, da je mogoče reducirati dvoprostostno opotekajoče vrtenje zapestja na samo eno prostostno stopnjo. Najprej bomo predstavili kinematiko problema in izpeljali dinamični model bremena z eno aktivirano prostostno stopnjo. Analiza potrebnega navora nam omogoči zasnovati različna kinematična vodenja. Dokumentirani so rezultati odprtozančnih kinematičnih vodenj in prikazano reguliranje spina za pospeševanje, ohranjanje in zaviranje. 2 Kinematična shema Scenarij robotiziranega žiroskopa prikazuje slika 1. Žiroskop je pritrjen na vrh robota kolinearno z zadnjo Prejet 24. september, 2008 Odobren 20. oktober, 2008 Cafuta, Curk 104 (šesto) osjo zapestja. Ponavadi bi manipulator vodili tako, da bi opletal okoli presečišča žiroskopskih osi [8]. Po kinematični shemi je tudi razvidno, da je mogoče zapestje zasukati tako, da dosežemo kolinearnost šeste osi z drugimi osmi manipulatorja. Tako je gibanje manipulatorja zelo poenostavljeno, povečati pa je tudi mogoče aktiviranje s preprosto kombinacijo sklepov. Podobno dosežemo, ko žiroskop pritrdimo le na priročnejši elektromotor. Lastnost žiroskopa bi bila , da tedaj ko njegovo ohišje čvrsto oprimemo, ohrani le prostost spina 3q in precesije 2q (slika 2). Zapestni žiroskop ima značilnost, da rotor ni le v stiku s sklepom precesije, temveč tudi s sklepom 1q - ohišjem, po katerem lahko drsi ali se tudi kotali. Ker je sklep 1q hkrati sklep manipulatorja npr 6Θ , je tako omogočeno aktiviranje rotorja s kotaljenjem po vrtečem se ohišju. Posamezni primeri povezanosti rotorja in ohišja so prikazani na sliki 3. Stanja so zajeta s spremenljivko ζ : 1 je pri desno precesijskem kotaljenju, 0 je za drsno precesiranje in je -1 pri levem precesijskem kotaljenju. Odvisno od položaja žiroskopa v prostoru deluje ustrezno tudi sila teže. Ko je os rotorja vodoravna ζ =0, je za kotaljenje npr ζ =-1 potreben po smeri 2x dovolj velik desnosučni navor. Ta se vzpostavi, ko ustrezno zavrtimo ohišje in se nam pri tem rotor zaradi svojega spina primerno upre. Če je spin rotorja premajhen, kotaljenja ni mogoče doseči in naprava se ustavi. Opravka imamo z neholonomsko dinamično sklopljenostjo sistema, saj je za delovanje nujno potreben začetni spin oziroma rotorska vrtilna količina, ki šele omogoča smiselno rabo zapestnega žiroskopa. Zato bomo za predstavitev neholonomskih lastnosti uporabili modele rotorske dinamike, sklopljenosti med sklepi in modele trenja za prisiljeno kotaljenje. 3 Modeli rotorja, sklopljenosti in trenja Pri izpeljavi modelov upoštevamo le dejstva, ki so potrebna za osvetlitev značilnosti obravnavanega robotskega bremena [5]. Tako niso upoštevane mase ohišja in sklepov, kakor tudi ne trenje v ležajih. Obravnavano bo le tisto trenje, ki je potrebno, da se pri reakciji rotorja na vrteče se ohišje rotor začne kotaliti po ohišju. Glede na mehaniko tega pojava imamo opravka poleg že omenjene neholonomske sklopljenosti žiroskopa opraviti še s kinematično neholonomsko sklopljenostjo po utoru ohišja za drsenje – kotaljenje osi rotorja (slika 3.) 1 0 1 ζ  =  − Slika 3. Stanja rotorja, indikator stanja ζ in razmerje premerov utora ohišja in rotorske osi p=32 Figure 3. Rotor states indicated with ζ and the ratio p=32 between the griper and rotor axle diameters. Slika 1. Šest sklepov manipulatorja in dva žiroskopa Figure 1. Six robotic joints and two of the Powerball. Slika 2. Koordinatni sistem in sklepi žiroskopa Figure 2. Koordinate system and Powerball joints. Neholonomsko robotsko breme 105 Dinamični model prostega rotorja je postavljen v koordinatni sistem žiroskopskega obroča. Navorna enačba je zapisana v matrični obliki : 1 11 13 1 1 2 22 2 2 3 13 33 3 3 T H 0 H q h T 0 H 0 q h T H 0 H q h                        = +                         ɺɺ ɺɺ ɺɺ , (1) kjer so komponente matrike vstrajnostnih momentov: 2 2 11 2 3 2H Js q J c q= + , 13 3 2H J cq= , 22H J= , 33 3H J= in predstavlja vektor ( ) 3 2 2 1 2 3 2 2 32( )1 2s c s 2 3 2 2 1 3 2 1 3 s3 3 2 1 2 J J sq cq q q J sq q qh h J J q q q J q q q h J q q q    − − ⋅ − ⋅       = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅       − ⋅     ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ , (2) sklopljenosti med posameznimi prostostnimi stopnjami prostega žiroskopa. Skalar 3J je glavni vztrajnostni moment okoli spinske osi in J prečni vztrajnostni moment rotorja. Pri zapestnem žiroskopu, ki je aktiviran le z eno prostostjo, sta navora 2T in 3T nič. Značilno sklopljenost naprave zajamemo z dodatnim vektorjem navora trenja tT : 1 1 2 3 0 ( , ) 0 t t t T T H q h q q T T       = ⋅ + +          ɺɺ ɺ . (3) Vektor trenja (3) bo po prvi komponenti enak nič. Trenje v tem sklepu pripada aktivatorju in ga ne obravnavamo eksplicitno. Preostali dve komponenti vektorja trenja sta razstavljeni na del disipacijskega in na del sklopitvenega trenja: 1 2 2 2 3 3 3 0t t d s t d s T T T T T T T        = +        +    . (4) Najprej izberemo model za disipacijsko trenje. Upoštevani sta viskozno trenje v obeh sklepih (konstanti viskoznega trenja V k , V3 k ) in suho trenje (konstanta suhega trenja S3 k ) v odvisnosti od stanja rotorja ζ : 2d V 2T = k q⋅ ɺ , (5) V3 3 S3 3 3d k q + k · sign ( ) ; = 0, T = 0; 0 q ζ ζ   ≠ ɺ ɺ . (6) Navora sklopljenosti sta modelirana s trenjem v odvisnosti od nutacijskega navora NT v smeri osi 2x in relativne hitrosti drsenja ν . Sklopljenosti omogočata pretakanje energije iz manipulatorja v rotor in nasprotno iz rotorja na manipulator. ( )2 ,s t NT f Tν= − , (7) ( )3 1 ,s t NT f T p ζ ν= − ⋅ ⋅ . (8) Funkcija tf v (7,8) modelira suho trenje: ( ) ( ),t N Sf T k sigν ν= , (9) kjer je Sk konstanta suhega trenja med osjo rotorja in utorom ohišja. Funkcija trenja (9) je odvisna od relativne hitrosti drsenja površine osi vztrajnika po površini utora: 2 2 3 3 1 ; > ; 0 ; - 1 ; <- N N N T q r q r T T µ ν ζ ζ ζ µ µ µ  = + = ≤ ≤ − (10) in je µ mejni nutacijski navor, pri katerem nastopi kotaljenje. Nutacijski navor je izražen z enačbo: 2 1 3 2 1 2 3 2 3 (2 )NT Jsq q J J cq q q J q q= ⋅ + − ⋅ − ⋅ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ . (11) Neholonomske omejitve robotskega bremena, aktiviranega le z eno prostostno stopnjo, niso preprosto razpoznavne v modelu (3) in pripadajočih členih enačb (1 in 4). Vendar je za neholonomske sisteme značilno, da so rešitve vodenja periodične narave, ki ohranjajo konstante gibanja dotičnega sistema [9]. Pri žiroskopu je to vektor vrtilne količine rotorja, ki npr. reagira na kinematično vodenje, povzroči sklopljenost s trenjem in omogoči prenos energije do rotorja. Ko dosežemo popolno kotaljenje, sta zato rotor in ohišje v rotacijskem razmerju premerov osi in utora p. Neaktivirana sklepa žiroskopa postaneta sklopljena z manipulatorjem in s tem aktivirana. 4 Vodenje zapestnega žiroskopa Vodenje zapestnega žiroskopa lahko pri poznavanju modela zasnujemo na metodah izračunanih navorov ali pa se navori izračunavajo implicitno za kinematično vodenje. Gotovo se problem vodenja še občutno zaplete z izborom merilnih senzorjev, ki jih uporabimo pri zasnovi vodenja [3]. Pri svojem delu smo se ukvarjali s scenariji vodenja brez uporabe senzorjev [5, 6], primerom z estimiranim navorom [7] in uporabo senzorja za spin rotorja [10] . Cafuta, Curk 106 Kakor so pokazali poskusi vodenja zapestnega žiroskopa brez uporabe senzorjev, so poteki kinematičnega vodenja s 1q za stalno hitrost kotaljenja rotorja harmonični, kar velja tudi za pripadajoči navor. Seveda to velja le za stanje, ki ohranja enega od načinov kotaljenja. Kadar rotor drsi ali pač menjava stanje, nastajajo še dodatni pojavi in spreminjanje strukture. Tekšnih primerov tukaj ne obravavamo. Opisani so v [5], kjer jih je bilo mogoče zadovoljivo modelirati in simulacijsko analizirati. Pri spremeinjanju hitrosti vrtenja rotorja, ko pospešek ni nič, pa navori niso več harmonske oblike, kar je prikazano v naslednjem odstavku. 4.1 Analiza navorov vodenja Pri kotalnem stiku rotorja in ohišja je mogoče iz enačbe (3) z uporabo simulacijskih orodij izračunati potek navora, potrebnega za izbrano konstantno pospeševanje vrtenja rotora. Potrebni navor sestavljata dve komponenti: komponenta navora za vzdrževanje kotaljenja in komponente za pospeševanje. Potek celotnega navora je prikazan za eno nutacijsko periodo na sliki 4. V komponenti za pospeševanje je jasno izražena narava enoprostostnega aktiviranja žiroskopa. Za konstantno pospeševanje bi v singularnih položajih osi 2x potrebovali neskončno vrednost navora. 4.2 Eksperimentalno vodenje Eksperimentalne razmere dokumentirata slika 5 za primer krmiljenja in slika 6 za primer kinematično vodenega reguliranja. Model naprave primeren za kinematično vodenje opisujeta enačbi, ki sta dobljeni z invertiranjem modela (3): ( ) ( ) 1 ( , ) 2 2 2 2 1 ( , ) cos( ) 3 3 3 3 2 1 3 3 q T h q q T S dJ q T h q q J q q T S dJ = − − = − − − ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ . (12) Kjer je kinematična veriga 1qɺɺ , 1qɺ in 1q vhod v dinamični sistem, 2ST in 3ST sta navora, ki sklapljata utor ohišja naprave z osjo rotorja in prenašata energijo za aktiviranje spina. Navora 2dT in 3dT sta posledica trenja in pripomoreta le k disipaciji dovedene energije. Lasnosti robotskega krmilnika NX100 so omogočale z manipulatorjem preizkušati le krmiljenje žiroskopa. Pri začetnem spinu 250 rad/s je mogoče postopoma pospeševati rotor do največje vrednosti približno 900 rad/s. Opravljeni so bili poskusi z opletanjem, enojno aktivacijo in usklajeno kolinearno aktivacijo [11]. Za poskus kinematično vodene regulacije spina smo uporabili servopogon MiniAX in razpoložljivi DSP2 Slika 5. Zapestni žiroskop, prijemalo in manipulator Motoman-Robotec Figure 5. Powerball, griper and Motoman-Robotec manipulator. Slika 4. Pospeševanje za en način kotaljenja: a) navor za vzdrževanje kotaljenja, b) pospeševalna navorna komponenta in c) rezultirajoči navor 1T Figure 4. Accelerating in one rolling mode: a) torque for conditional rolling, b) torque component for acceleration, and c) resulting torque 1T . Neholonomsko robotsko breme 107 FERI Maribor (slika 6). Algoritem vodenja je zasnovan na enačbah (12), uporabi signala spina in na dejstvu, da je mogoče servopogon voditi hitrostno [10]. Potrebni navor aktiviranja žiroskopa se vzpostavi implicitno z regulatorjem toka električnega servomotorja. Rezultat vodenja za pospeševanje, konstantno kotaljenje in kotalno zaviranje je prikazan na sliki 7. Od začetnega spina se spin pospeši na dvakratno vrednost. Tam se spin zadrži in nato zmanjšuje v naslednje stacionarno stanje. Opomniti velja, da je bila pri tem poskusu vodenja ζ ves čas + ali – 1, torej v enem od mogočih kotaljenj. 5 Sklep V prispevku poročamo o robotiziranju zapestnega žiroskopa. Glede na razpoložljivo opremo nam je bilo omogočeno pospeševati rotor naprave z robotom z dvema ortogonalnima, dvema kolinearnima in eno samo prostostno stopnjo. Zadnji način je bil uporabljen tudi za aktiviranje žiroskopa s kinematično vodeno regulacijo in uporabo senzorja spina. V svoje nadaljnje delo obravnave neholonomskega bremena smo vključili tudi primer z eno aktivno in drugo ortogonalno pasivno stopnjo [7]. Takšen scenarij verjetno najbolje ponazarja razmere, ki nastopijo pri pospeševanju in absolutnih rekordih. Seveda v primeru z ljudmi, ki v zadnji fazi pred doseženim rekordom uporabijo poleg zapestja še kar celo svoje telo. Zahvala gre našemu sodelavcu Marijanu Španerju, ki je pripravil potrebno eksperimentalno opremo in diplomantu Tadeju Petriču za dobro opravljene njemu zaupane naloge. 6 Literatura [1] M. W. Spong, Underactuated Mechanical Systems, Control Problems in Robotics and Automation, LNCIS, vol. 230, Springer Verlag, London, 1998. [2] D.W.Gulick, O.M. Reilly: On the Dynamics of the Dynabee, ASME J.of App. echanics, V.67, 321-325, 2000. [3] A. Gams, J. Lenarčič in L. Žlajpah, “Vrtenje žiroskopske naprave z robotom”, Elektrotekniški vestnik, 74(4), 223- 228, 2007. [4] B. Curk, "Robotiziran Powerball", Preecidings ERK 2006, Portorož, Slovenija, pp. 167-170, 2006. [5] B. Curk, P. Cafuta, "Wrist exerciser-exercising for modeling and simulation", Preecidings EUROSIM 07, Ljubljana, Vol. 2, 2007. [6] T. Petrič, B. Curk, "Robotiziran Powerball: estimacija parametrov trenja", Preecidings ERK 2008 -B, Portorož, Slovenija, 203-206, 2008. [7] P. Cafuta, B. Curk, "Control of nonholonomic robotic load", 10th International workshop on advanced motion control, Proceedings AMC'08, , vol. 2, Trento, Italy, 631-636, 2008. [8] G. Schweitzer: Antrieb eines Spielkreis, Festschrift TU Munchen, 1982. [9] Escobar G., Ortega R., Reyhanoglu M.: Regulation and tracking of the nonholonomic double integrator: field- oriented approach, Automatica, Vol.34, No.1, 125-131, 1998. [10] Petrič T.: Robotsko vodenje dinamičnega bremena, Diplomsko delo, FERI, UM, Maribor, 2008. [11] Internetna stran: www.ro.feri.uni-mb.si/lab_kin_sim/ DSCI0023.AVI Peter Cafuta je diplomiral leta 1974 in magistriral 1976 na FE Ljubljana. Po raziskovalnem delu na TU Graz Avstrija je doktoriral na FERI Maribor 1987. Zaposlen je na FERI Maribor in se ukvarja z robotiko, modeliranjem in simulacijo Boris Curk je diplomiral leta 1986 magistriral 1989 in doktoriral na FERI Maribor 1995. Zaposlen je na FERI Maribor in se ukvarja z robotiko, modeliranjem in simulacijo, vodenjem nelinearnih sistemov in računalniško podprtimi tehnologijami. Slika 7. Kinematično vodena regulacija spina Figure 7. Spin kinamtic control eksperiment. Slika 6. Zapestni žiroskop, ki je neposredno pritrjen na gred servomotorja Figure 6. Directly coupled servo-drive and the Powerball.