1 Uvod
Med dogodki z začetka dvajsetega stoletja, ki niso
utonili v pozabo, je brez dvoma odkritje kvantne narave
energije (Max Planck). Malo pozneje, v tridesetih letih,
je sledil razvoj tako imenovane kvantne mehanike [1].
Ponudila je odgovore na številna vprašanja. Poznejši
odkritji tranzistorja in integriranega vezja sta sprožili
fantastičen razvoj informacijske tehnologije. Brez
njenih dosežkov si skoraj ne moremo predstavljati
vsakdanjega življenja. Zakoni evolucije se neusmiljeno
uresničujejo, čas neusmiljeno teče naprej in tisto, kar je
nekdaj sodilo na področje znanstvene fantastike, je
danes resničnost. Zanimanje za kvantno mehaniko se je
ponovno povečalo proti koncu dvajsetega stoletja.
Vzrok je bila ideja, konstruiranje računalnika, ki bi
deloval po zakonih kvantne mehanike [2], [3].
Na drugi strani teorija fuzzy množic (L.A.Zadeh)
omogoča posplošitev vseh področij matematike, ki
temeljijo na klasični teoriji množic. Zanimiv je podatek,
da se je ruska matematična šola ukvarjala s podobnimi
problemi [4]. Izraz fuzzy je prodrl šele po zaslugi
inženirjev [5]. Razvoj je privedel tudi do posebne
računalniške strojne opreme, namenjene za potrebe
naprav, delujočih po fuzzy načelih [6]. Omenimo le
fuzzy logične regulatorje. E. Prugovečki je prvi povezal
kvantno mehaniko in teorijo fuzzy množic. Nadaljnji
koraki, med njimi ideja o kvantnem fuzzy računalniku
[7], niso več presenečenje.
2 Analogija
Razvpita dualnost kvantnih sistemov val-delec ima
globoke korenine. Dualnost zasledimo že v upodobitvah
prastarega etruščanskega in poznejšega starorimskega
boga Janusa. Upodabljali so ga z glavo, ki je imela dva
obraza. Dualnost zasledimo tudi v napisu na rojstni hiši
Krištofa Kolumba v Genovi: "Bil je en svet. Dva sta, je
rekel on. Bila sta." V filozofske razlage pojma dualnost
se ne bomo spuščali in se raje vrnimo h kvantni
mehaniki.
Stanje kvantnega sistema, podano v Diracovem
zapisu, opisuje vektor Ψ  v abstraktnem Hilbertovem
prostoru mogočih stanj sistema. Operator, delujoč na
kvantno stanje, podaja kot rezultat lastnost sistema v
tem stanju. Stanje kvantnega sistema se spreminja
koherentno in reverzibilno, kadar je ta izoliran od
okolice. Matematični opis takih sprememb je
Schrödingerjeva enačba:
i
t
∂ Ψ
Ψ =
∂
H h , (1)
H: Hamiltonov operator, energija kvantnega sistema,
Prejet 22. marec, 2007
Odobren 19. november, 2007
Jurkovič 316
2 1i = − : imaginarna enota,
2
h
=
π
h , h: Planckova konstanta,
t: čas.
Obnašanje je podobno valovanju. Pri vplivu okolice
ali merilnega aparata pa se kvantni sistem obnaša
nekoherentno in ireverzibilno in lahko govorimo o
podobnosti z obnašanjem delca. Najpreprostejši kvantni
sistem je kvantni bit (qubit). Njegovo stanje,
superpozicijo dveh baznih stanj 0  in 1  opisuje
enačba:
0 1a bΨ = + , (2)
a, b: koeficienta, na splošno kompleksni števili.
Fizikalni pomen kvantnega stanja je še vedno odprto
vprašanje. Københavnska interpretacija kvantne
mehanike, ortodoksna razlaga, uči, da lahko kvantno
stanje tik pred meritvijo s klasičnim merilnim aparatom
opišemo z verjetnostjo odčitka merilnega aparata. Izid
posamezne meritve je torej po tej razlagi realizacija
naključnega procesa, vrednost iz zaloge vrednosti
naključnega procesa in tako se znajdemo na področju
matematične statistike [8]. Enačbo (2) normaliziramo,
vsota verjetnosti je 1 in sledi:
2 2
1a b+ = . (3)
Posamezne meritve na kvantnem bitu dajejo
izkupiček nič ali ena.  Ψ  pade v eno izmed baznih
stanj, govorimo o vsakokratnem kolapsu. Funkcija
gostote verjetnosti kvantnega bita ima za operator
vrednost bita:
1 0
0 0
 
=  
 
B , (4)
vrednosti
2
b  za vrednost bita 1 in
2
a  za vrednost bita
0. Omenimo le še, da ustrezata zapisoma 0  in 1
vektorja [ ]01 T  in [ ]1 0 T .
L. A. Zadeh [9] je omenil analogijo med
kompozicijskim pravilom sklepanja, posplošenim
pravilom modus ponens :
y x R= o , (5)
y: fuzzy množica; konsekvenca,
x: fuzzy množica; antecedens,
R: fuzzy relacijska matrika,
o : operator kompozituma,
in izrazom za mejno verjetnost, podano s pogojno
verjetnostjo:
.j i ij
i
r q p=∑ , (6)
{ }j jr p Y y= = ,
{ }i iq p X x= = ,
{ }ij j ip p Y y X x= = = ,
X: naključna spremenljivka z zalogo vrednosti x1, x2…,
Y: naključna spremenljivka z zalogo vrednosti y1, y2…,
p: verjetnost dogodka {…}.
Sledi sklep, da je tudi matematična statistika
povezovalni člen med københavnsko interpretacijo
kvantne mehanike in teorijo fuzzy množic. Kvantna
sistema, analogija z X in Y, sta bolj zapletena kot sam
kvantni bit. Še teže je z analogijo j iY X . Vidimo pa, da
velja analogija med kvantno mehaniko in teorijo fuzzy
množic seveda le, če je københavnska interpretacija
kvantne mehanike pravilna. Zanimiva je tudi enakost
izrazov za pričakovano ali srednjo vrednost naključne
spremenljivke in za defuzifikacijo, prirejanje realnega
števila pripadnostni funkciji, po težiščni metodi COG:
0 . ( )i i
i
x u u=∑ µ , (7)
( )iuµ : vrednost pripadnostne funkcije pri podpori iu ,
0x :  realno število, defuzificirana normirana fuzzy
množica ( )iuµ .
Konkretna realizacija računalnika bi zahtevala med
drugim kvantne sisteme izolirane od okolice s
spremenljivimi Hamiltonovimi operatorji. To pa ni
preprosta zadeva, je težak problem, za sedaj prepuščen
prihodnosti.
3  Sklep
Bralcu se bo morda zdelo, da je to, kar je tukaj
napisano, le nekaj hrupa za nič. Ne smemo pa pozabiti,
da je kvantno računalništvo šele v povojih in da so
konkretno rešeni problemi trivialni. Eden izmed njih je
razstavitev števila 15 na prafaktorja 3 in 5 [10].
Prispevek končujemo s citatom Nielsa Bohra: "Vsi smo
enotni, da je vaša teorija nora. Vprašanje, ki nas
razdvaja, je le, ali je dovolj nora, da bi imela upanje, da
je pravilna."
4 Zahvala
Zahvaljujem se vsem, ki so na kakršenkoli način
pripomogli k temu, da je sploh nastalo to delo.
Poimenski seznam bi bil predolg.
5 Literatura
[1] M. Jammer, "The philosophy of quantum
mechanics. The interpretations of quantum
mechanics in historical perspective". Wiley, New
York, 1974.
317
[2] T. P. Spiller, "Quantum information processing:
cryptography, computation and teleoperation",
Proceedings of the IEEE, vol.84, no.12, pp.1719-
1746, 1996.
[3] D. Deutsch, "Lectures on quantum computation",
http://www.quiprocone.org
[4] J. Virant, "Normalne oblike funkcij zvezne logike",
Elektrotehniški vestnik (Electrotechnical Review),
letnik 36, št. 11-12, pp. 309-313, 1969.
[5] J. M. Mendel, "Fuzzy logic systems for
engineering: A tutorial", Proceedings of the IEEE,
vol.83, no.3, pp.345-377, 1995.
[6] A. Kandel, G. Langholz, "Fuzzy hardware,
architectures and applications", Kluwer, Boston,
1998.
[7] H. J. Caulfield, L. Lopez, "What can quantum logic
and fuzzy logic teach each other?", Proceedings of
the SPIE, vol. 1710, Science of artificial neural
networks, pp.486-487, 1992.
[8] L. Gyergyek, "Statistične metode v teoriji sistemov,
teorija o informacijah", Univerza v Ljubljani,
Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana, 1971.
[9] L. A. Zadeh, "Outline of a new approach to the
analysis of complex systems and decision
processes", IEEE Transactions on systems, man
and cybernetics, vol. SMC-3, no.1, pp.28-44, 1973.
[10] L.M. K. Vandersypen, "Experimental quantum
computation with nuclear spins in liquid solution",
Ph.D. Dissertation, Stanford University, 2001,
http://arxiv.org, quant-ph/0205193.
Franc Jurkovič je diplomiral leta (1975), magistriral (1980)
in doktoriral (1991) na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v
Ljubljani. Zaposlen je kot docent na Inštitutu za elektroniko in
telekomunikacije, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in
informatiko Univerze v Mariboru. Med drugim je bil zaposlen
kot član investicijske skupine za zgradnjo Tovarne sladkorja
Ormož.
UDK 621.3:681.3 ISSN 0013-5852
Elektrotehniški vestnik Vol. 74, 2007
Electrotechnical Review Vol. 74, 2007
Letno kazalo
V. Ažbe, R. Mihalič: Uporaba direktne Ljapunove
metode za ugotavljaje stabilnosti elektroenergetskih
sistemov z univerzalnim prečnim transformatorjem .....67
R. Babič: glej pod B. Jarc
J. Bešter: glej pod U. Sedlar, M. Jenko, A. Krenker,
I. Humar, D. Savić, T. Pfajfar
U. Bogataj: glej pod I. Humar
J. Brest, V. Žumer, M. Sepesy Maučec: Velikost
populacije pri algoritmu diferencialne evolucije ...........55
A. Brodnik: glej pod A. Malej
L. G. Corzo: glej pod P. Peer
A. Černigoj, R. Fišer: Konstrukcijski ukrepi za
zmanjšanje samodržnega vrtilnega momenta
sinhronskega motorja s trajnimi magneti ....................207
R. Čop, F. Dimc, D. Paliska: Merjenje lastnosti voznika
osebnega avtomobila v prometnem toku na
mikroskopski ravni .......................................................25
K. Deželak, B. Klopčič, G. Štumberger, D. Dolinar:
Poenostavljena metoda upoštevanja dinamičnih histe-
reznih izgub v modelu enofaznega transformatorja ...261
F. Dimc: glej pod R. Čop
F. Dimc, B. Mušič, R. Osredkar: Določanje položaja z
enofrekvenčnim sprejemnikom GPS na podlagi kode
C/A signala za potrebe arheo-geofizikalnih preiskav ..255
T. Dogša: glej pod M. Šalamon
D. Dolinar: glej pod B. Klopčič, K. Deželak
B. Drnovšek, D. Križaj: Načrtovanje elektromagnetnega
sprožnika s pomočjo numerične simulacije .................273
V.  Efimushkin, D. Žepič: Performance evaluation of
Call-center with call redirection ...................................79
R. Ferlič, M. Trlep: Analiza elektromagnetnega polja v
okolici 400 kV daljnovodov ............................................1
T. Filimonova: glej pod S. Omerović
R. Fišer: glej pod A. Černigoj
A. Gams, J. Lenarčič, L. Žlajpah: Vrtenje žiroskopske
naprave z robotom .......................................................223
G. Geršak:  Merjenje homogenosti magnetnega polja v
večplastni solenoidni tuljavi .......................................303
J. Guna: glej pod M. Jenko
V. Guštin: Intelovi 64-bitni procesorji .........................201
M. Hebar, P. Planinšič: Comparison of video codecs
and coded video sequences quality using the latest
objective and subjective assessment methods .............171
D. Heric, B. Potočnik: Objective assessment of image
segmentation algorithms ...............................................13
R. Hribar: glej pod R. Mahkovic