1 UVOD
Cilj prostorske akustike je projektiranje akustike pro-
stora, ki ustreza njegovi funkciji. Proces projektiranja
je izrazito multilateralen, saj so potrebni razumevanje
interakcije zvočnega polja z uporabljenimi materiali,
poznavanje lastnosti zvočnih izvorov in razumevanje
človekove percepcije akustike prostora. Vključevanje
človeka je še posebej zahtevno, saj ne gre zgolj za
optimiziranje parametrov akustike prostora, temveč je
treba upoštevati tako psiho-akustične vidike, kot tudi
Prejet 23. september, 2013
Odobren 18. oktober, 2013
elemente tradicije, kulturnega okolja in ne nazadnje
oblikovne zahteve za prostor [1].
Kljub omenjenemu pa je za uspešno napovedova-
nje akustičnih lastnosti prostora∗ ključno razumevanje
osnovnih fizikalnih mehanizmov, prek katerih se zvočno
polje v prostoru vzpostavi. To je pomembno ne glede
na to, da je mogoče matematično opisati zgolj redke
geometrije oz. nekatere idealne primere, ki v realnosti
nikoli niso doseženi. Razumevanje osnovnih konceptov
je namreč ključ do razumevanja tudi bolj kompleksnih
primerov, ki so tudi precej manj intuitivni.
Članek predstavlja dva pristopa, ki se v praksi pogosto
uporabljata: modalni pristop in statistični pristop [2].
Članek ni zastavljen kot celovit pregled nad področjem,
temveč poskuša predvsem združeno opisati koncepte, ki
se sicer razsajajo prek več strok.
2 MODALNI OPIS ZVOČNEGA POLJA
Ob opazovanju frekvenčnega odziva zvočnega polja v
prostoru (glej sliko 1) postane očitno, da je odziv pri
nekaterih frekvencah izjemno močan. Ta efekt je še
posebej izrazit, če je v prostoru malo zvočne absorpcije.
Frekvence, pri katerih prihaja do močnega odziva, so
resonančne frekvence in oblika zvočnega polja (tj. pro-
storska porazdelitev zvočnega tlaka) pri resonančnih fre-
kvencah se imenuje naravni način (ang. natural mode).
Modalni opis zvočnega polja v prostoru temelji na
izračunu resonančnih frekvenc in naravnih načinov za
∗Projektiranje akustike prostora je v svojem bistvu njeno napove-
dovanje.
MODALNI IN STATISTIČNI OPIS ZVOČNEGA POLJA V PROSTORU 185
60 80 100 120 140 160 180 200
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
frequency [Hz]
L
p
[
d
B
]
Slika 1: Izmerjen frekvenčni odziv pravokotnega prostora
dimenzij 328 cm × 438 cm × 295 cm. Območja visokega
zvočnega tlaka predstavljajo resonančne frekvence, ki pa niso
nujno vse vidne, če je zvočni izvor ali mikrofon postavljen v
vozel naravnega načina. Meritev je vzeta iz [3].
dano geometrijo prostora in dane robne pogoje. V
nadaljevanju so predstavljeni postopki, ki ob uporabi
ustreznih matematičnih orodij pripeljejo do naravnih
načinov in resonančnih frekvenc. Ker nanje vplivajo tudi
robni pogoji, so prestavljeni tisti robni pogoji, ki se v
akustiki najpogosteje srečajo.
2.1 Helmholtzova enačba
Temeljna enačba propagacije zvoka je valovna
enačba, ki ima v neskončnem prostoru obliko [4]:(
∇2 +
1
c2
∂2
∂t2
)
p(r, t) = 0. (1)
Enačba je homogena in ne upošteva izvorov, zato je
njena desna stran nič.
Ob separaciji časovnega in krajevnega dela z nastav-
kom p(r, t) = P (r)T (t) se obe odvisnosti v valovni
enačbi lahko zapišeta ločeno:
∇2P (r)
P (r)
=
1
c2T (t)
∂2T (t)
∂t2
. (2)
Enačaj v enačbi (2) velja za vsako točko v prostoru in ob
vseh časih le, če je vsaka stran konstantna. Tako enačba
razpade na krajevno in časovno Helmholtzovo enačbo(
∇2 + k2
)
P (r) = 0, (3)(
∂2
c2∂t2
+ k2
)
T (t) = 0. (4)
Za časovni del so rešitev harmonski valovi
T (t) = T0 exp (−iωt),
z valovnim vektorjem k = ω/c. Nasprotno, za krajevni
del rešitev ni vnaprej znana in je treba poiskati lastne
funkcije operatorja ∇2 za dano geometrijo in robne
pogoje.
2.2 Lastne funkcije krajevne Helmholtzove enačbe
Rešiti je treba krajevno Helmholtzovo enačbo (3)(
∇2 + k2
)
ψ(r) = 0,
kar je ekvivalentno iskanju lastnih funkcij ψn in lastnih
vrednosti λn operatorja ∇2
∇2ψn(r) = λnψn(r) = −k2nψn(r). (5)
Pri tem mora biti uporabljena pravilna oblika operatorja
∇2, ki je odvisna od koordinatnega sistema, v katerem
se iščejo rešitve.
Rešitev je dana v obliki družine funkcij, ki morajo
biti ustrezno normirane, tako da za vsako velja∫
V
ψ2n(r)dr = 1. (6)
Iskanje lastnih funkcij in lastnih vrednosti je ustaljen
postopek v matematiki, zato je zainteresiran bralec na-
poten na literaturo s področja matematične analize.
2.3 Robni pogoji
Določitev konstant, ki popolnoma definirajo rešitev
iz družine funkcij (glej 2.2), poteka z upoštevanjem
robnih pogojev (RP). Ti so definirani z mejno geometrijo
prostora (S) in obliko interakcije zvoka z njo. RP je
mogoče razdeliti v tri skupine [5] glede na njihov
matematični zapis∗: I.
1) tip RP (Dirichlet) - predpisana je vrednost
zvočnega tlaka
p(r ∈ S) = C
Ta RP v akustiki nima praktičnega pomena.
2) tip RP (Neumann) - predpisana je vrednost kra-
jevnega odvoda tlaka
∂p(r)
∂n
∣∣∣∣∣
r∈S
= C,
kjer je n enotski vektor, pravokoten na S. Ta RP
velja npr. za rigidno steno (C = 0), na kateri
ni absorpcije, in prihaja do popolnega odboja
zvočnega valovanja. Ta robni pogoj se uporablja v
vseh šolskih primerih izračuna naravnih načinov v
prostoru.
3) tip RP (Robin) - kombinacija RP prvega in dru-
gega tipa [
Ap(r) +B
∂p(r)
∂n
]
r∈S
= C.
Ta RP se imenuje tudi impedančni, saj je tedaj, ko
je C = 0, specifična impedanca p/u = B/Aiωρ.
To postane očitno ob upoštevanju zveze med
zvočnim tlakom in hitrostjo
ρ
∂u
∂t
+∇p = 0 (7)
∗Za obsežen pregled robnih pogojev v akustiki je bralec napoten
na [6].
186 PRISLAN
oz. ob predpostavki ravnih valov
−iωρu⊥ +
∂p
∂n
= 0.
2.4 Omejitve modalnega pristopa
Za nekatere geometrije in robne pogoje je analitično
iskanje lastnih vrednosti in lastnih funkcij relativno
preprosto [5]. Žal pa analitične rešitev niso znane za
splošen primer, temveč zgolj za nekatere geometrije
(npr. kvader, sfera in cilinder) in robne pogoje prvega
ali drugega tipa. Obe omejitvi naredita celoten pristop
neuporaben za prostore, ki jih srečamo v realnosti, saj
so tako uporabljeni materiali kot tudi oblika prostorov
veliko bolj kompleksni.
Alternativno je mogoče za poljubno geometrijo pro-
stora naravne načine in resonančne frekvence izračunati
z valovnimi računalniškimi metodami. Mednje spadajo
metoda končnih razlik [7], metoda končnih elementov
[8] in metoda robnih elementov [9] – skupno jim je to,
da diskretizirajo geometrijo prostora. Zahtevana finost
te diskretizacije je ključno povezana z njihovo upo-
rabnostjo; želena valovna dolžina modeliranja zvočnega
polja je namreč direktno povezana z velikostjo elementa
diskretizacije [10]. Izkaže se, da so z računsko močjo,
ki je trenutno na voljo, valovne metode v praksi ome-
jene na uporabnost izključno pri nizkih frekvencah, ko
so valovne dolžine velike [11]. Izkaže se tudi, da so
tako časovne, kot tudi pomnilniške zahtevnosti valov-
nih metod takšne, da omejitve ne bodo odpravljene v
doglednem času razvoja strojne opreme.
3 STATISTIČNI OPIS ZVOČNEGA POLJA
Upravičenost uporabe statističnega opisa zvočnega polja
je predstavljena s pomočjo prekrivanja resonanc. Uve-
dena sta Schroederjeva frekvenca in koncept difuznega
zvočnega polja. Primer uporabe koncepta difuznega
zvočnega polja je predstavljen z izpeljavo zveze med
močjo zvočnega izvora, zvočnim tlakom in absorpcijsko
površino. Ta primer je predstavljen, ker nazorno prikaže
uporabnost pristopa, sicer pa so podrobne izpeljave
opuščene, saj razumevanje statističnega pristopa zajema
napredno znanje statistike. Zainteresiran bralec je napo-
ten na osnovno literaturo s področja (npr. [12]).
3.1 Schroederjeva frekvenca in difuzno zvočno polje
Kot je predstavljeno v poglavju 2.4, je modalni pristop
omejen na nizke frekvence. Tako se pri višjih frekvencah
uporablja statistični pristop, ki izkorišča dejstvo, da se
gostota resonanc viša kot kvadratna funkcija frekvence
[2]:
n(f) =
4πV
c3
f2. (8)
Da se število resonanc veča s frekvenco, je razvidno tudi
iz slike 1.
Poleg gostote resonanc pa je ključno tudi njihovo
prekrivanje, kar je v svojem temeljnem članku [13]
obravnaval M. Schroeder. Ključna Schroederjeva ugoto-
vitev je, da je prekrivanje resonanc (ang. modal overlap)
približno 3 pri frekvenci
fSch = 2000
√
T60
V
. (9)
V gornji enačbi je fSch Schroederjeva frekvenca v Hz,
T60 odmevni čas v s, V pa volumen v m3.
V prostorski akustiki velja, da je nad Schroederjevo
frekvenco statistični pristop upravičen. Takrat namreč
k zvočnemu polju pri dani frekvenci bistveno prispeva
veliko število naravnih načinov, tako da obravnavanje
posameznih resonanc ločeno nima pomena. Uporaba
statističnih metod je priročna, saj vodi do preprostih
relacij med fizikalnimi količinami, ki so sicer povezane
na veliko bolj zapletene načine. Najlepši primer tega je
Sabinova reverberacijska teorija [1] in vsem poznana
Sabinova enačba za odmevni čas, ki se izračuna zgolj
s pomočjo površine prostora, njegovega volumna in
količine absorpcije v njem
T60 =
0.16V
A
, (10)
kjer je T60 odmevni čas v s, V volumen v m3, A pa
absorpcija prostora v enotah m2.
Pomembno idealizirano zvočno polje, ki temelji na
statističnem opisu, je difuzno zvočno polje. Njegovo te-
meljenje na statističnem pristopu je očitno že iz njegove
definicije, ki je po akustičnem slovarju [14]:
“Difuzno zvočno polje je sestavljeno iz neskončno
mnogo nekoreliranih ravnih valov, ki imajo enakomerno
smerno porazdeljeno intenziteto. Skupna intenziteta je
torej nič.”
3.2 Izsevana moč zvočnega izvora izvora
Kot primer aplikacije koncepta difuznega zvočnega
polja je izpeljana zveza med izsevano močjo zvočnega
vira, zvočnim tlakom in absorpcijsko površino v pro-
storu∗.
Zvočno polje je zapisano v obliki ravnih valov
p̂(θ, ϕ) =
C
√
4π
exp (i(ωt− kxx− kyy − kzz)), (11)
pri čemer se komponente valovnih vektorjev v sfernih
koordinatah zapišejo kot:
kx = k sin θ cosϕ, ky = k sin θ sinϕ, kz = k cos θ.
(12)
Ker so skladno z definicijo difuznega zvočnega polja
valovi nekorelirani, med njimi ni interference. Tako je
rms vrednost zvočnega tlaka v poljubni točki v prostoru
izračunana kot prostorski integral kvadrata zvočnega
tlaka iz enačbe 11
p2rms =
|C|2
8π
∫ π
−π
dϕ
∫ 2π
0
sin θdθ =
|C|2
2
. (13)
∗Izpeljava je povzeta po [2].
MODALNI IN STATISTIČNI OPIS ZVOČNEGA POLJA V PROSTORU 187
Ob upoštevanju zveze med zvočnim tlakom in hitro-
stjo iz enačbe (7) ter enačbe (11) je mogoče zapisati
z-komponento zvočne hitrosti
ûz(θ, ϕ) =
C cos θ
ρc
√
4π
exp (i(ωt− kxx− kyy − kzz)).
(14)
Pri tem je ρ gostota zraka, c pa hitrost propagacije zvoka.
Tako je mogoče na podlagi enačbe (11) in (14) zapisati
tudi z-komponenta zvočne intenzitete
Iz(θ, ϕ) =
1
2
Re [p̂(θ, ϕ)û∗z(θ, ϕ)] =
|C|2
8πρc
cos θ. (15)
Skladno z definicijo difuznega zvočnega polja je
integracija intenzitete po celotnem prostorskem kotu
enaka nič. Drugače je na mejnih površinah prostora,
kjer integracija poteka zgolj po polovici prostorskega
kota. Tako je na mejni površini z normalo v smeri z-
koordinate vpadla intenziteta
Iv,z =
p2rms
4ρc
. (16)
To je mogoče interpretirati kot vpadlo zvočno moč na
enoto površine. Zato je smiselno uvesti skupno absorp-
cijo v prostoru kot
A =
∑
i
Siαi, (17)
ki pomeni delež vse zvočne energije, ki se absorbira
ob odboju zvoka na mejnih površinah. V enačbi (17) je
zapisna vsota produktov koeficientov absorpcije zvoka†
α, [1, str. 46-49] in pripadajočih površin. Tako je iskana
zveza med izsevano močjo, zvočnim tlakom in absorp-
cijo
Pizvor = Pabs = IvA =
p2rms
4ρc
A. (18)
Ta upošteva energijsko bilanco, tako da je izsevana
energija izvora enaka absorbirani energiji na mejnih
površinah, tj. obravnavamo stacionarno zvočno polje.
Zveza (18) upošteva tudi, da je zvočno polje izotropno,
kar pomeni, da je zvočna intenziteta enaka neodvisno
od orientacije mejnih površin.
3.3 Uporabnost difuznega zvočnega polja v tehniški
akustiki
V tehniški akustiki je koncept difuznega zvočnega
polja še posebej razširjen in na njem temelji veliko
standardiziranih akustičnih meritev (npr. ISO 140, ISO
354, ISO 3382 [15]). Tako se s pomočjo enačbe 18
določa hrupnost zvočnih izvorov (ISO 3747), kjer je
absorpcija A določena s pomočjo Sabinove enačbe (10),
torej s pomočjo meritve odmevnega časa.
Za vse meritve, ki temeljijo na difuznem zvočnem
polju, pa obstajajo zahteve, ki nekoliko omejijo nji-
hovo uporabnost. Tako je pristop neuporaben izpod
†Koeficienti absorpcije zavzemajo vrednosti med 0 in 1 in pred-
stavljajo delež energije, ki se ob vpadu zvočnega vala na površino
absorbira.
Schroederjeve frekvence, izvori zvoka pa morajo biti
ustrezno širokega spektra, sicer ni zadoščeno zahtevi o
nekoreliranosti zvočnih valov difuznega zvočnega polja.
Da je koncept difuznega zvočnega polja pomemben,
dokazuje tudi trajajoča razprava v strokovni javnosti.
Ključni predmet diskurza je dejstvo, da ne obstaja kvan-
titativno merilo za difuznost zvočnega polja[16], ki bi
bilo tudi široko sprejeto. Tako je prisotnost difuznega
zvočnega polja za večino praktičnih potreb kar predpo-
stavljena.
4 SKLEPI
Pokazano je bilo, da je modalni pristop, ki temelji na
osnovni enačbi propagacije zvoka, tj. valovni enačbi,
v matematičnem pogledu ekvivalenten iskanju lastnih
vrednosti in lastnih funkcij diferencialnega operatorja
ob danih robnih pogojih. Robni pogoji so bili obdelani
ločeno. Žal je pristop kot analitična metoda omejen na
geometrije in robne pogoje, ki se v realnosti le redko
pojavijo. V tem smislu je analitičen modalni pristop
pomemben zgolj za razumevanje temeljnih konceptov
akustike prostora.
Drugače je z valovnimi numeričnimi metodami, ki ne
poznajo omejitev glede geometrije in robnih pogojev. To
naredi modalni pristop uporaben tudi v praksi, a žal ne v
vseh primerih. Tudi računalniške metode imajo namreč
omejitve, ki so vezane na računsko in prostorsko zmo-
gljivost, ki postane omejujoča pri visokih frekvencah.
Tako postane pri višjih frekvencah upravičen stati-
stični pristop, za katerega se privzame Schroederjeva
frekvenca kot najnižja frekvenca uporabnosti. V praksi
so statistične metode široko v rabi v tehniški akustiki ter
so podlaga za reverberacijsko teorijo. Koncept difuznega
zvočnega polja namreč prinese poenostavljene zveze
med fizikalnimi količinami, kar naredi koncept zelo
priročen.