1 Uvod
Frekvenca spremenljivk stanja elektroenergetskega
sistema (EES) je eden najpomembnejših parametrov
EES. Na podlagi spreminjanja frekvence lahko
sklepamo na usklajenost med proizvedeno in porabljeno
delovno močjo v EES, prav tako pa je frekvenca tudi
pomemben kazalnik stabilnosti EES. Poleg pomena za
vodenje sistema je poznavanje frekvence pomembno
tudi za kontrolo kakovosti električne energije in
pravilno delovanje numeričnih relejev. Zaradi
odstopanja od nazivne frekvence lahko v digitalnem
procesiranju vhodnih signalov pride do znatnih
pogreškov in s tem do izostalega ali nepotrebnega
delovanja zaščitnih relejev.
Zaradi manjšega ali večjega odstopanja oblik
periodičnih signalov EES od popolne sinusne oblike,
določitev frekvence periodičnega signala ni preprosta
naloga. Glede na namen uporabe delimo metode za
določitev frekvence periodičnega signala na:
- počasne in
- hitre.
Počasne metode potrebujejo daljše časovno okno za
določitev frekvence, hitre pa uporabljajo kratko
podatkovno okno, kar vpliva na natančnost določitve
frekvence in občutljivost na nemodelirane komponente
vhodnega signala.
Nadalje delimo počasne metode na stacionarne, ki
imajo počasnejši odziv na spremembe parametrov
vhodnega signala, in tranzientne, ki imajo hitrejši odziv,
vendar so manj natančne. Tranzientne so namenjene
določitvi frekvence pri prehodnih pojavih v EES, torej
pri hitrih spremembah parametrov vhodnih signalov. V
normalnem obratovalnem stanju EES, ko se parametri
signala ne spreminjajo ali se spreminjajo počasi, pa so
primerne stacionarne metode. Uporabljajo se v napravah
vodenja, meritev, zaščitnih napravah, sinhronizatorjih,
lokatorjih napak …
Članek obravnava stacionarne metode za izračun
frekvence periodičnih signalov. Podan je pregled znanih
metod. Na podlagi teoretičnih analiz in numeričnih
izračunov smo izbrali tri metode, ki dajejo najboljše
rezultate.
Pregled metod je podan v poglavju 2. Izbrane
metode so podrobneje teoretično predstavljene v
poglavju 3, njihova numerična analiza pa je podana v
poglavju 4. V poglavju 5 je podan sklep.
Prejet 28. maj, 2007
Odobren 21. marec, 2008
Polak, Grčar, Ritonja 112
2 Pregled metod za določitev frekvence
EES
Pregled posameznih metod za izračun frekvence
obravnava nekaj člankov ([1], [2], in [3]), vendar v
nobenem pregled ni celovit in kritično ovrednoten.
Za določitev frekvence se najdlje uporabljajo
metode na podlagi tehnike prehoda skozi nič [1]. Zelo
razširjene so metode, ki temeljijo na diskretni
Fourierjevi transformaciji [4] in metodi najmanjših
kvadratov [5]. Drugačen pristop so metode, ki temeljijo
na uporabi filtra z zarezo [6]. Predstavljenih je veliko
metod, ki uporabljajo Kalmanove filtre [2]. Za izračun
frekvence je na več načinov prirejena tudi Newtonova
metoda [7]. Določitev frekvence EES je mogoča tudi z
razstavitvijo signala na ortogonalne komponente [8].
Posebna skupina metod uporablja za določitev
frekvence EES metode fazno zaključene zanke [9]. V
manjši meri zasledimo tudi uporabo Sezijeve metode,
Min-Norm metode, Pronyeve metode, uporabo
Novelovega sistema, demodulacijskega koncepta ter
metod z uporabo valjčne transformacije in nevronskih
omrežij.
Na podlagi pregleda člankov, dobljenih rezultatov
numeričnih izračunov in števila različnih izpeljank
metod smo izbrali osem skupin metod, ki dajejo
najboljše rezultate. Te so:
- metode tehnike prehoda skozi nič,
- metode najmanjše vsote kvadratov odstopanj,
- diskretna Fourierjeva transformacija,
- Kalmanov filter,
- Newtonova metoda,
- adaptivni zarezni filter,
- metoda fazno zaključene zanke in
- dekompozicija v ortogonalne komponente.
Te metode smo podrobno numerično ovrednotili
glede na naslednja merila:
- natančnost določitve frekvence sinusnega
vhodnega signala pri različnih vrednostih
frekvence (stacionarna točnost),
- hitrost konvergence metode pri spremembah
frekvence in amplitude vhodnega sinusnega
signala (dinamika odziva),
- vpliv nemodeliranih komponent vhodnega
signala (višje harmonske komponente,
subharmonske komponente, merilni šum) na
natančnost določitve frekvence,
- vpliv prostih parametrov metode na njene
lastnosti (natančnost, hitrost konvergence).
Numerično ovrednotenje smo opravili s signali, ki
ustrezajo različnim obratovalnim stanjem EES.
Rezultati podrobnega numeričnega ovrednotenja
posameznih metod kažejo, da nobena metoda ni
najboljša glede na vsa navedena merila. Zato smo za
podrobno predstavitev izbrali metode, ki dajejo v
povprečju najboljše rezultate. Te so:
- iterativna metoda najmanjše vsote kvadratov
odstopanj (LES),
- izboljšana diskretna Fourierjeva transformacija
(SDFT) in
- dekompozicija v ortogonalne komponente
(OD).
3 Teoretične osnove izbranih metod
3.1 Iterativna metoda najmanjše vsote kvadratov
odstopanj - LES
Metoda [5] temelji na minimizaciji vsote kvadratov
pogreška med dejansko in predpostavljeno obliko
signala, tj. signalnim modelom. Signalni model
predstavlja naslednji izraz:
)()mcos()(
M
1m
mmDC
tetUUtu +++= ∑
=
ϕω , (1)
Kjer so e(t) nemodelirane subharmonske in harmonske
komponente in merilni šum.
Z uporabo trigonometrijskih enačb lahko zapišemo:
)()mcos()msin()(
M
1m
im
M
1m
rmDC tetUtUUtu +++= ∑∑
==
ωω ,
(2)
kjer je: )cos(
mmrm
ϕUU =  – realna komponenta m-te
harmonske komponente in
)sin(
mmim
ϕUU =  – imaginarna komponenta m-
te harmonske komponente.
Izraz (2) lineariziramo z razvojem funkcij )msin( tω  in
)mcos( tω  v Taylorjevo vrsto v okolici nazivne krožne
frekvence
0
ω . Z upoštevanjem prvih dveh členov
Taylorjeve vrste dobimo:
[ ]
[ ] )()msin(m)mcos(
)mcos(m)msin()(
M
1m
0im0im
M
1m
0rm0rmDC
tettUtU
ttUtUUtu
+∆−+
+∆++=
∑
∑
=
=
ωωω
ωωω
(3)
kjer je
0ωωω −=∆ . En. (3) lahko zapišemo v skrajšani
obliki:
)()()(
M4
1h
hh
teztatu +=∑
=
, (4)
kjer so ( )tah  koeficienti in hz  neznanke, definirane kot:
M1,...,m
)msin(m)(
)mcos()(
)mcos(m)(
)msin()(
1)(
imm13M0m13M
imm12M0m12M
rmm1M0m1M
rmm10m1
11
=
∆=−=
==
∆==
==
==
++++
++++
++++
++
ωω
ω
ωω
ω
Uzttta
Uztta
Uzttta
Uztta
Uzta DC
(5)
Pri tem je
0
ωωω −=∆ . Če zapišemo (5) za M
odtipkov v izbranem časovnem oknu, dobimo sistem
enačb:
Metode za določanje frekvence elektroenergetskega sistema 113
ezau += . (6)
Sistem rešimo glede na vektor neznank z, tako da bo
pogrešek e minimalen v kvadratičnem smislu. Dobimo:
( ) uAuaaaz == − T1T , (7)
Ko izračunamo neznanke, lahko določimo
odstopanje frekvence od nazivne vrednosti:
m1
m1M
rm
rm
2
1
2
1
2
1
+
++=
∆
=∆=∆
z
z
U
U
f
π
ω
π
ω
π
(8)
ali
m12M
m1M3
im
im
2
1
2
1
2
1
++
++=
∆
=∆=∆
z
z
U
U
f
π
ω
π
ω
π
(9)
Zaradi linearizacije funkcij sinus in kosinus je
metoda natančna v relativno ozkem območju okrog
nazivne frekvence. Za izboljšanje natančnosti in za
razširitev merilnega območja uporabimo v posameznem
trenutku k več iteracij gornje metode (v vsaki iteraciji
uporabimo za točko, v kateri se izvaja linearizacija,
izračunano frekvenco v predhodni iteraciji).
3.2 Izboljšana diskretna Fourierjeva
transformacija - SDFT
Določitev posameznih harmonskih komponent s
pomočjo osnovne diskretne Fourierjeve transformacije
(DFT) je pri odstopanju frekvence od nazivne vrednosti
netočna, izboljšana diskretna Fourierjeva transformacija
(SDFT) [4] pa to odstopanje frekvence upošteva.
Osnovna DFT je namenjena izračunu harmonskih
komponent signala, SDFT pa omogoča tudi izračun
frekvence vhodnega signala.
Predpostavimo sinusni vhodni signal z dodano m-to
harmonsko komponento. Pri tipanju vhodnega signala s
frekvenco tipanja (50N) Hz, kjer 50 pomeni nazivno
frekvenco Hz50=0f  in je N enak številu odtipkov v
periodi osnovne harmonske komponente nazivne
frekvence, dobimo zaporedje odtipkov:
)
50N
k
2mcos()
50N
k
2cos()k( mm11 ϕπϕπ +++= fUfUu .
(10)
V fazorski notaciji lahko (10) zapišemo v obliki:
22
)(
k
N
2
m
*
m
k
N
2
m
m
k
N
2
*
1
k
N
2
1
ππππ
jjjj
eueueueu
ku
−−
+
+
+
= . (11)
S pomočjo DFT lahko zapišemo osnovno
harmonsko komponento vzorčenega signala u(k) s
pomočjo enačbe:
∑
−
=





−+=
1N
0n N
n2
jexp)nk(
N
2
(k)ˆ
π
uu , (12)
kjer indeks k pomeni trenutni odtipek. Če vstavimo (11)
v (12) in pri tem upoštevamo fff ∆+= 0 , dobimo:
∑
∑
∑
∑
−
=
−
=
−
=
−
=





−




 +∆+−+
+




−




 +∆++
+




−




 +∆+−+
+




−




 +∆+=
1N
0n
*
m
1N
0n
m
1N
0n
*
1
1N
0n
1
N
n2
jexp
N50
n)m(k
)50(2 jexp
N
N
n2
jexp
50N
n)m(k
)50(2 jexp
N
N
n2
jexp
N50
nk
)50(2 jexp
N
N
n2
jexp
N50
nk
)50(2 jexp
N
(k)ˆ
π
π
π
π
π
π
π
π
f
u
f
u
f
u
f
u
u
(13)
Poenostavljeno lahko izraz zapišemo kot:
kkkk)k(ˆ DCBAu +++= . (14)
Za trenutek k+1 velja:
m
k1k
m
k1k
1
k1kk1k
−
++
−
++
==
==
aDDaCC
aBBaAA
(15)
pri čemer smo za a vpeljali izraz:
( ) 










 +∆= 1002
N50
jexp fa
π
. (16)
S pomočjo faktorja a lahko določimo frekvenco. V
ta namen izrazimo a z )k(û . Zapišemo:
m
k
m
kkk
aDaCaBaAku −− +++=+ 1)1(ˆ  in (17)
m
k
m
kkk
aDaCaBaAku −++
−
++ +++=+ 11
1
11
)2(ˆ . (18)
En. (17) in (18) na obeh straneh pomnožimo z am:
k
2m
k
m1
k
m1
k
)1k(ˆ DaCaBaAuam +++=+ +−+ , (19)
1k
2m
1k
m1
1k
m1
1k
m )2k(ˆ ++
+−
+
+
+ +++=+ DaCaBaAua . (20)
Odštejemo (14) od (19) in (17) od (20):
( ) ( ) ( )111
)k(ˆ)1k(ˆ)k(ˆ
2m
k
m1
k
m1
k
m
−+−+−=
=−+=
+−+ aCaBaA
uuay
(21)
( ) ( ) ( )111
)1k(ˆ)2k(ˆ)1k(ˆ
2m
1k
m1
1k
m1
1k
m
−+−+−=
=+−+=+
+
+−
+
+
+ aCaBaA
uuay
(22)
Na podoben način se znebimo členov Ck in Bk.
Dobimo:
( )( )( )111)k(ˆ)1k(ˆ m1m12
k
−−−=−+ +− aaaAzza , (23)
( )( )( )111)1k(ˆ)2k(ˆ m1m12
1k
−−−=+−+ +−+ aaaAzza , (24)
kjer je )k(ˆ)1k(ˆ)k(ˆ vvaz −+=  in )k(ˆ)1k(ˆ)k(ˆ m yyav −+= − .
Z deljenjem (23) in (24) dobimo:
a
A
A
zza
zza
==
−+
+−+ +
k
1k
)k(ˆ)1k(ˆ
)1k(ˆ)2k(ˆ
. (25)
V (25) vstavimo û  in z numerično metodo
poiščemo rešitev za a. Frekvenco vhodnega signala
izračunamo iz a:
( )
π2
N50
)Re(cos50 1 aff −=∆+= . (26)
Iz (25) se vidi, da za določitev f potrebujemo pet
zaporednih vrednosti û , torej )k(û , )1k(ˆ +u , )2k(ˆ +u ,
)3k(ˆ +u  in )4k(ˆ +u , ki jih izračunamo s pomočjo
osnovne DFT.
Polak, Grčar, Ritonja 114
3.3 Dekompozicija v ortogonalne komponente -
OD
S pomočjo ortogonalnih filtrov izračunamo ortogonalni
komponenti vhodnega signala in ju nato uporabimo v
algoritmu za izračun frekvence. Predpostavimo
naslednji signalni model [8] v časovno diskretni obliki:
)kcos()k( s ϕω += tUu . (27)
Za izračun ortogonalnih komponent uporabimo
filtra, ki imata fazni karakteristiki premaknjeni za π/2
pri vseh frekvencah vhodnega signala. To pomeni, da
sta ortogonalna za vse frekvence. Ortogonalna filtra sta
kosinusni in sinusni funkciji. Na izhodu iz filtrov
dobimo ortogonalna signala:
∑
−
=
−=
1N
0n
s0c )ncos()nk((k) tuy ω  in (28)
∑
−
=
−=
1N
0n
s0s )nsin()nk((k) tuy ω , (29)
kjer je
0ω nazivna krožna frekvenca in N pomeni red
filtra, ki je enak številu odtipkov v periodi osnovne
harmonske komponente nazivne frekvence. Izhodna
signala lahko zapišemo tudi kot:
))(kcos()((k) scc ωαϕωω ++= tUFy  in (30)
))(ksin()((k) sss ωαϕωω ++= tUFy , (31)
kjer je )(ωF ojačenje filtra. Ponavadi filtra načrtujemo
tako, da imata enako ojačenje pri nazivni frekvenci. Pri
drugih frekvencah sta ojačenji različni, zaradi česar sta
različni tudi amplitudi izhodnih ortogonalnih signalov.
Modificirana metoda [8], ki jo opisuje nadaljevanje,
odpravlja to pomanjkljivost.
Zapišimo funkcijo, ki je proporcionalna frekvenci in
amplitudi vhodnega signala:
( )
( )h)(k(k)(k)
h)(k(k)(k))(g
ccs
ssch
−−−
−−−=
yyy
yyyω
(32)
En. (30) in (31) vstavimo v (32) in poenostavimo.
Dobimo:
)hsin()()()(g ssc
2
h tFFU ωωωω = . (33)
Funkcijo gh(ω) zapišemo za dve različni zakasnitvi h
in v ter poiščemo njuno razmerje:
)hsin(
)vsin(
)(g
)(g
s
s
h
v
t
t
ω
ω
ω
ω
= . (34)
Vidimo, da je (34) neodvisna od ojačenja filtrov. Če
izberemo v = 2h, dobimo preprosto enačbo za izračun
frekvence:
)hcos(2
)(g
)(g
h
2h
stωω
ω
= . (35)
Z vstavitvijo (32) v (35) dobimo izraz za frekvenco:
.
h)(k(k)h)(k(k)
2h)(k(k)2h)(k(k)
5,0arccos
l2
1
sccs
sccs
s








−−−
−−−
⋅
⋅=
yyyy
yyyy
t
f
π
(36)
Zaradi lastnosti kosinusne funkcije lahko izberemo
zakasnitev h v območju od 1 do N/4. Izbira h
neposredno vpliva na hitrost, natančnost in občutljivost
izračuna frekvence. Avtorji so v [8] pokazali, da dobimo
najnatančnejše rezultate pri h = N/4, kjer pa  je metoda
najpočasnejša. Ker so pri manjših h pogreški večji, smo
v simulacijah uporabljali zakasnitev N/4. Ker N pomeni
tudi razmerje med frekvenco tipanja in nazivno
frekvenco prvega harmonika vhodnega signala, mora
biti razmerje N/4 naravno število.
4 Rezultati
Opravljeno je bilo podrobno numerično ovrednotenje
metod, izbranih v poglavju 2. Metode smo preizkusili z
značilnimi signali, s katerimi smo simulirali različna
stanja v EES. Prikazana je učinkovitost metod v
primeru:
- normalnega obratovalnega stanja EES,
- obratovalnega stanja EES z več višjimi
harmonskimi komponentami, subharmonsko
komponento in merilnim šumom v vhodnem
signalu in
- odklopa večjega bremena v EES.
Metode smo ovrednotili glede na merila navedena v
poglavju 2.
Z obsežnim testiranjem metod smo izkustveno določili
parametre metod, pri katerih dobimo najboljše rezultate.
Te parametre smo uporabili pri numeričnem
vrednotenju metod (tabela 1).
Na sliki 1 so prikazani odzivi metod na vhodni
signal, s katerim smo ponazorili normalno obratovalno
stanje EES. Frekvenca vhodnega signala se malo
spreminja, prisotna je tudi tretja harmonska
komponenta. Spreminjanje frekvence vhodnega signala
smo ponazorili s sinusno funkcijo male amplitude in
frekvence.
Metoda Parameter Opis
LES M=3 najvišja stopnja upoštevanega
harmonika
N 3N W =  dolžina podatkovnega okna
SDFT3 m=3 upoštevana harmonska komponenta
NM M=3 najvišja stopnja upoštevanega
harmonika
N 2N
W
=  dolžina podatkovnega okna
2i
MAX
=  maksimalno število iteracij
OD h=N/4 zakasnitev
N označuje število odtipkov v periodi prve harm. komponente
Tabela 1: Parametri metod, uporabljeni pri simulacijah
Table 1: Method parameters used in simulations
Metode za določanje frekvence elektroenergetskega sistema 115
Slika 1: Izračunana frekvenca za vhodni signal:
Figure 1: Estimated frequency for the input signal:
( ) ( )tftftu ππ 23cos02,02cos1)( ⋅+= ,
( )Hz12cos1,050 tf π+= , fs=1000 Hz.
Iz slike 1 je razvidno, da vse metode zelo dobro
sledijo pravi vrednosti, nekoliko večjo zakasnitev ima le
LES. Simulacije so pokazale, da vse metode natančno
določajo frekvenco vhodnega signala tudi, če odstopa
od nazivne vrednosti in so v signalu prisotne majhne
količine višjih harmonskih komponent. Večja ko je
amplituda nihanja frekvence, večje je odstopanje od
prave vrednosti.
V drugem primeru smo vhodnemu signalu dodali
deterministične in stohastične motnje. Rezultata metod
LES in OD sta prikazana na sliki 2.
Slika 2: Izračunana frekvenca za vhodni signal:
Figure 2: Estimated frequency for the input signal:
( ) ( ) ( )
( ) ,šum beli005,025,0cos005,0
27cos01,023cos02,02cos1)(
⋅+⋅+
+⋅+⋅+=
tf
tftftftu
π
πππ
( )Hz12cos1,050 tf π+= , fs=1000 Hz.
Razvidno je, da se natančnost zelo poslabša.
Rezultat metode SDFT3 je tako rekoč neuporaben, ker v
izračunani frekvenci nastopajo nihanja velikosti nekaj
Hz, zato rezultata SDFT3 ne prikazujemo. Preostali
metodi imata približno enako odstopanje od prave
vrednosti. Uporabnost rezultata je mogoče zelo
izboljšati z uporabo glajenja izhodnega signala –
ocenjene frekvence, vendar pa glajenje vnaša v izračun
dodatno zakasnitev.
Za ovrednotenje hitrosti in dinamike metod smo
simulirali odklop večjega bremena v EES. Ta signal bolj
realno posnema realne razmere v EES. Pri takšnem
dogodku v EES frekvenca hitreje zaniha, v trenutku pa
nastane sprememba amplitude. Rezultati so prikazani na
sliki 3.
Razvidno je, da vse metode po prehodnem pojavu
dovolj hitro in natančno ocenijo vhodno frekvenco. V
času prehodnega pojava pri SDFT3 in LES nastanejo
veliki prenihaji. Najboljši dinamični odziv ima OD.
Iz prikazanih simulacij lahko sklepamo, da ima
najboljše rezultate OD. Vse metode so zelo občutljive
na nemodelirane komponente vhodnega signala. Nobena
metoda v času prehodnega pojava ne določa pravilno
vhodne frekvence. Metode zadovoljivo določajo
frekvence samo v normalnem obratovalnem stanju EES,
kjer je relativno malo višjih harmonskih komponent,
subharmonskih komponent in merilnega šuma, ter so
spremembe frekvence relativno majhne in počasne.
Slika 3: Izračunana frekvenca za vhodni signal:
Figure 3: Estimated frequency for the input signal:
Polak, Grčar, Ritonja 116
( ) ( )tfUtfUtu ππ 23cos02,02cos)( ⋅+= ,
( )
( )
( )



≥+
<≤+
<+
= −
s1,1    Hz, 12cos1,050
s1,11   Hz, 302cos150
s1    Hz, 12cos1,050
25
tt
tte
tt
f t
π
π
π
,
( ) s1   pri   p.u.5,11: =→ tU ,  fs=1000 Hz.
5 Sklep
Iz opravljenih numeričnih izračunov je razvidno, da ima
vsaka metoda svoje dobre in slabe lastnosti, pri izbiri
metode pa iščemo kompromis med hitrostjo,
natančnostjo in občutljivostjo. Dodatno so metode
občutljive na izbiro utežnostnih parametrov, dolžine
podatkovnega okna, števila iteracij in signalnega
modela metode. S temi parametri lahko bistveno
vplivamo na posamezne lastnosti metod.
Optimalne metode, ki bi v vseh razmerah
obratovanja dala najboljše rezultate, ni. Zato je treba
dobro poznati razmere, v katerih bo metoda delovala, in
na podlagi le-teh izbrati ustrezno metodo. Numerični
izračuni kažejo, da je pri vseh metodah nujna uporaba
vhodnih in izhodnih filtrov za odpravo motenj. Zavedati
se moramo, da s filtri vnašamo dodatno časovno
zakasnitev.
Pri nadaljnjem delu bomo vrednotili metode z
realnimi signali EES in pri tem iskali metodo z
najboljšimi lastnostmi za posamezen primer uporabe.
6 Literatura
[1] M. M. Begović, P. M. Djurić, S. Dunlap, A. G. Phadke,
Frequency Tracking in Power Networks in the Presence of
Harmonics, IEEE trans. on Power Delivery, Vol. 8, No. 2,
April 1993, str. 480 – 486
[2] A. Routray, A. K. Pradhan, K. P. Rao, A Novel Kalman
Filter for Frequency Estimation of Distorted Signals in
Power Systems, IEEE trans. on instrumentation and
measurement, Vol. 51, No. 3, June 2002, str. 469 – 479
[3] D. W. T. Thomas, M. S. Woolfson, Evaluation of
Frequency Tracking Methods, IEEE trans. on Power
Delivery, Vol. 16, No. 3, July 2001, pp. 367 – 371
[4] J. Yang, C. Liu, A precise Calculation of Power System
Frequency, IEEE trans. on Power Delivery, Vol. 16, No.
3, July 2001, str. 361 – 366
[5] M. ðurić, Ž. ðurišić, Algoritam za brzu estimaciju
frekvencije u elektroenergetskom sistemu,
ELEKTROPRIVREDA, br. 1, 2004, str. 15 – 30
[6] L. Hsu, R. Ortega, G. Damm, A Globally Convergent
Frequency Estimator, IEEE trans. on Automatic Control,
Vol. 44 No. 4, April 1999, str. 698 – 713
[7] V. V. Terzija, M.B. Djurić, B.D. Kovačević, Voltage
Phasor and Local System Frequency Estimation Using
Newton Type Algorithm, IEEE trans. on Power Delivery,
Vol. 9, No. 3, July 1994, str. 1368 – 1374
[8] J. Szafran, W. Rebizant, Power System Frequency
Estimation, IEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 145,
No. 5, September 1998, str. 578 – 582
[9] V. Kaura, V. Blasko, Operation of a Phase Locked Loop
System Under Distorted Utility Conditions, IEEE trans.
on industry applications, Vol. 33, No. 1, January/February
1997, str. 58 – 63
Marko Polak se je rodil leta 1973. Leta 1998 je diplomiral in
leta 2006 magistriral na Fakulteti za elektrotehniko,
računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru. Od leta
1998 je zaposlen v podjetju Elektro-Slovenija, d.o.o., kjer dela
kot inženir za vzdrževanje. Predmet njegovega raziskovalnega
dela je vzdrževanje in obratovanje el.eng. sistema.
Bojan Grčar se je rodil leta 1952. Leta 1978 je diplomiral,
leta 1983 magistriral in leta 1990 doktoriral na Fakulteti za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v
Mariboru, kjer je redni profesor. Predmet njegovih raziskav so
zaščita, dinamika in vodenje el.eng sistema.
Jožef Ritonja se je rodil leta 1964. Leta 1986 je diplomiral,
leta 1989 magistriral in leta 1997 doktoriral na Fakulteti za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v
Mariboru, kjer dela kot asistent. Predmet njegovega
raziskovalnega dela so obratovanje, dinamika in vodenje
el.eng sistema.