1 Uvod
Razvoj magnetnih materialov in komponent močnostne
elektronike je pripomogel k uveljavitvi
visokozmogljivih pogonov, ki zaradi čedalje večjih
zahtev postajajo bolj kompleksni in izpopolnjeni. Kot
električni motor se v takšnih pogonih uveljavlja
sinhronski motor s trajnimi magneti (SMTM).
Prejet 21. januar, 2007
Odobren 15. marec, 2007
Černigoj, Fišer 208
Motorji SMTM so primerni za pogon
najzahtevnejših aplikacij in zajemajo široko paleto moči
ter specifičnih zahtev. Pri tem je poleg ustrezne
karakteristike vrtilnega momenta in dobrih lastnosti med
prehodnimi pojavi nujno obravnavati tudi problematiko
nezaželenega nihanja trenutne vrednosti vrtilnega
momenta. Dodatna nihanja vrtilnega momenta
povzročajo težave pri zagonu in poslabšajo natančnost
regulacije pozicije rotorja, odražajo pa se lahko tudi kot
povišan nivo vibracij in hrupa motorja.
Temi raziskave sta obravnava vzrokov nastanka in
iskanje rešitev za zmanjšanje amplitude nihanja
vrtilnega momenta SMTM. Pri iskanju rešitev smo se
zaradi obsežnosti problematike omejili le na analizo
vpliva geometrije rotorja in statorja motorja ter analizo
uporabljenih konstrukcijskih rešitev.
2 Trenutna vrednost vrtilnega momenta
Slika 1 prikazuje trenutno vrednost vrtilnega momenta
motorja M(α) v odvisnosti od kota zasuka rotorja α.
Zapišemo jo kot vsoto konstantne srednje vrednosti Msr
in izmenične komponente Mizm s periodo τ, ki
predstavlja nezaželeno nihanje vrtilnega momenta (ang.
torque ripple) [1].
(α) (α)sr izmM M M= +  (1)
Pri načrtovanju SMTM konstrukter hitro naleti na
enega najpogostejših problemov. Ob zahtevi za
povečanje Msr se sočasno pojavi še zahteva za
zmanjšanje nihanja vrtilnega momenta Mizm. Kakovost
konstrukcije motorja torej določa tudi nivo valovitosti
vrtilnega momenta ξ:
ξ 100%max min
sr
M M
M
−
= ⋅  . (2)
Pri tem je srednja vrednost vrtilnega momenta enaka:
α+τ τ
α 0
1 1
(α) dα (α) dα
τ τ
srM M M= =∫ ∫  . (3)
Glede na izvor lahko vrtilni moment SMTM
razdelimo na tri komponente [1, 2]:
• elektromagnetni vrtilni moment,
• samodržni vrtilni moment in
• reluktančni vrtilni moment.
Elektromagnetni vrtilni moment je poglavitna
komponenta vrtilnega momenta motorja, ki nastane
zaradi interakcije polja trajnih magnetov in polja, ki ga
povzročajo statorski amperni ovoji. Pri trifaznem
SMTM elektromagnetni vrtilni moment izrazimo kot:
[ ]1
ω
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅a a b b c cM e i e i e i , (4)
kjer so ea, eb in ec trenutne vrednosti faznih induciranih
napetosti, ia, ib in ic trenutne vrednosti faznih tokov ter ω
kotna hitrost.
Enačba (4) pove, da bo vrtilni moment motorja
konstanten, če bo vsota produktov faznih induciranih
napetosti in faznih tokov konstantna. V tem primeru
skupno magnetno polje trajnih magnetov in statorskih
ampernih ovojev ne vsebuje višjih harmonskih
komponent [1].
Samodržni vrtilni moment (ang. cogging torque) je
posledica interakcije med poljem trajnih magnetov in
statorskimi zobmi. Podrobnejša analiza pokaže, da
komponenta samodržnega vrtilnega momenta Mcog
nastane zaradi spremembe energije magnetnega polja
trajnih magnetov v motorju ob zasuku rotorja.
Reluktančni vrtilni moment nastane z interakcijo
statorskega magnetnega polja in različnih reluktanc
vzdolžne in prečne magnetne osi rotorja. Različni
reluktanci sta predvsem posledica rotorske
konfiguracije. Tudi ta komponenta povzroča dodatna
nezaželena nihanja vrtilnega momenta zaradi višjih
harmonskih komponent statorskih ampernih ovojev.
3 Konstrukcijski ukrepi na rotorju za
zmanjšanje nihanja vrtilnega momenta
V tem poglavju se bomo omejili na rotorske
konstrukcijske ukrepe, s katerimi lahko znižamo
amplitudo samodržnega vrtilnega momenta.
Ukrepi, ki jih uporabljamo, temeljijo na zmanjšanju
spremembe magnetne energije v odvisnosti od kota
zasuka rotorja α in/ali zmanjšanju magnetnega pretoka v
zračni reži motorja. Pri njihovi uporabi se moramo
zavedati, da le-ti povečajo zahtevnost izdelave motorja
ali pa poslabšajo njegove druge karakteristike.
3.1 Obodna dolžina loka trajnega magneta αm
Študijo nastanka samodržnega vrtilnega momenta
magneta začnemo s pomočjo modela, prikazanega na
sliki 2. Ob majhnem pomiku trajnega magneta v desno
se pod statorskim zobom št. 1 magnetna energija Wmag
zmanjšuje, pod drugimi zobmi (zobje št. 2, 3 in 4) pa
ostaja nespremenjena. Nastane vrtilni moment zadnjega
roba trajnega magneta Mzad, ki je sorazmeren spremembi
Wmag v odvisnosti od kota α. Nastali vrtilni moment je
periodične narave, saj nastane vsakič, ko zadnji rob
magneta zapušča statorski zob. Tako ga lahko zapišemo
v obliki Fourierove vrste, kjer so Mn Fourierovi
koeficienti in Nzob število statorskih zob
0
1
(α) cos( α)zad n zob
n
M M M n N
∞
=
= + ⋅ ⋅∑  . (5)
Slika 1: Trenutna vrednost vrtilnega momenta motorja M(α).
Figure 1. Instantaneous torque of a motor M(α).
Konstrukcijski ukrepi za zmanjšanje samodržnega vrtilnega momenta sinhronskega motorja s trajnimi magneti 209
Ob nadaljnjem gibanju v desno se prednji rob
trajnega magneta pomakne pod statorski zob št. 4 in pod
tem zobom začne magnetna energija naraščati. Zato
nastane vrtilni moment prednjega roba Mpred, ki je
nasproten vrtilnemu momentu zadnjega roba Mzad
0
1
(α) cos( (α α ))pred n zob m
n
M M M n N
∞
=
= − − ⋅ ⋅ −∑  . (6)
Celoten samodržni vrtilni moment trajnega magneta
je vsota prispevkov prednjega in zadnjega roba.
[ ]
1
(α) (α) (α)
cos( α) cos( (α α ))
mag zad pred
n zob zob m
n
M M M
M n N n N
∞
=
= + =
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −∑
(7)
Enačba (7) je izhodišče za odpravo samodržnega
vrtilnega momenta trajnega magneta. Ta bo enak nič, če
bo obodna dolžina loka trajnega magneta oziroma kot
magneta αm enak:
2π
αm stat
zob
k
k
N
ϕ
⋅
= = ⋅  , (8)
kjer je k celo število in φstat kot statorske delitve.
Trditev, da mora biti kot trajnega magneta αm enak
večkratniku kota statorske delitve φstat, velja le v
idealnem primeru linearnega motorja. Pri realnem
motorju (slika 3), ko moramo upoštevati končno
dolžino, ukrivljenost rotorja in stresanje magnetnega
polja trajnih magnetov, samodržnega vrtilnega momenta
ne moremo povsem odpraviti [3] in ga lahko le
minimiziramo.
Analizo vpliva kota trajnega magneta αm na velikost
samodržnega vrtilnega momenta smo opravili s
pomočjo parametričnega 2D MKE modela SMTM s 36
statorskimi zobmi in 6 rotorskimi magnetnimi poli. Za
analizo posameznega ukrepa ali kombinacije več
ukrepov (v nadaljevanju) je bilo treba opraviti vrsto
izračunov vrednosti vrtilnega momenta v odvisnosti od
kota zasuka rotorja. Brez parametričnega MKE modela
bi bilo spreminjanje parametrov in primerjavo
rezultatov praktično nemogoče izvesti.
Kot trajnega magneta αm lahko teoretično v
šestpolnem motorju zavzame 60°, vendar so magneti
zaradi lažjega lepljenja na rotorski jarem ponavadi
nekoliko ožji. Zato smo v modelu motorja kot trajnega
magneta zmanjševali od izbranega začetnega kota
αm=56° korakoma po 1° do končnega kota αm=27°
(slika 4).
Maksimalne vrednosti samodržnega momenta
Mcog max v odvisnosti od kota trajnega magneta αm in
srednja vrednost vrtilnega momenta Msr sta prikazani na
sliki 4. Vrednost Msr po pričakovanjih upada z
manjšanjem kota trajnega magneta αm. Najmanjše
vrednosti Mcog max so pri αm=50°, αm=40° in αm=30°,
vendar smo upoštevali, da je korak spreminjanja kota αm
relativno velik in najverjetneje nismo našli pravih
miminalnih vrednosti. Zato smo opravili dodatne
izračune v območjih αm=(51°÷49,2°), αm=(41°÷39,2°) in
αm=(31°÷29,2°), kjer smo kot trajnega magneta αm
nastavljali v korakih po 0,2°. Rezultati so prikazani na
sliki 5.
Slika 2: Model za analizo nastanka samodržnega vrtilnega
momenta celotnega magneta.
Figure 2. Model of the cogging torque mechanism on the
entire magnet.
Slika 4: Vrednosti Mcog max in Msr v odvisnosti od kota trajnega
magneta αm.
Figure 4. Maximal cogging torque and mean torque versus
magnet span αm.
Slika 3: Del modela SMTM z definirano obodno dolžino loka
trajnega magneta oziroma kotom magneta αm.
Figure 3. FEM model segment with marked magnet span αm.
Slika 5: Izračunane vrednosti Mcog max v odvisnosti od kota
trajnega magneta αm.
Figure 5. Maximal cogging torque versus magnet span αm.
Černigoj, Fišer 210
3.2 Zamik magnetnih polov
V osnovnem primeru, ko so magnetni poli na rotorju
simetrično razporejeni, tangencialne sile nastanejo na
vseh magnetnih polih hkrati in se izrazijo kot nezaželen
samodržni vrtilni moment. Z zamikom enega ali več
polovih parov na rotorju ustvarimo zamik stabilne lege
posameznih magnetov in medsebojno izničenje
samodržnih vrtilnih momentov, ki jih povzročijo
posamezni magneti na rotorju. Princip delovanja ukrepa
je prikazan na sliki 6.
Raziskavo vpliva zamikov magnetnih polov na
rotorju smo opravili s pomočjo dopolnjenega 2D MKE
modela, kjer smo poleg kota trajnega magneta αm
spreminjali tudi kot γ in tako spreminjali položaj
magnetov (slika 7).
Za analizo smo kot αm nastavljali od αm=53° do
αm=49° v korakih po 0,5° in tako zajeli območje, kjer
samodržni vrtilni moment simetrično razporejenih
magnetnih polov doseže lokalno maksimalno in
minimalno vrednost (slika 4). Začetna vrednost kota
med segmenti γ' je bila vedno 1°.
Izračunane vrednosti Mcog max v odvisnosti od kota γ
so zbrane na sliki 8. Opazen je vpliv αm na velikost
samodržnega vrtilnega momenta, saj je le-ta najmanjši
pri αm=50°. Minimalne vrednosti samodržnega vrtilnega
momenta večinoma nastajajo pri vrednosti kota γ okrog
56° in so dvakrat do trikrat manjše kot pri simetrično
razporejenih trajnih magnetih (γ=60°).
3.3 Smer magnetizacije in oblika trajnih magnetov
Smer magnetizacije M
uuv
in oblika trajnih magnetov
vplivata na porazdelitev gostote magnetnega pretoka B
uv
v zračni reži. To se izraža na velikosti samodržnega
vrtilnega momenta, vsebnosti višjih harmonskih
komponent faznih induciranih napetosti in nasičenju
magnetnega kroga. Različne oblike trajnih magnetov in
smeri njihove magnetizacije so prikazane na sliki 9.
Iz rezultatov analize vpliva oblike in smeri
magnetizacije trajnih magnetov na sliki 10 vidimo, da z
uporabo magnetov z vzporedno magnetizacijo dejansko
lahko zmanjšamo velikost samodržnega vrtilnega
momenta. Pri magnetih z vzporednimi stranicami je v
primerjavi z magneti klasične oblike vrednost Mcog max
pri αm=50° upadla za 16 %, hkrati se je srednji vrtilni
moment Msr zmanjšal za približno 1 %. Z magneti
lečaste oblike bi Mcog max pri αm=50° upadel tako rekoč
na vrednost nič, Msr pa bi se zmanjšal za približno 9 %.
Slika 6: Postavitev magnetnih polov na rotorju: osnovna –
simetrična postavitev magnetov γ = δ (levo) in primer zamika
magnetov γ ≠ δ (desno).
Figure 6. Basic position of magnet poles on the rotor γ = δ
(left) and an example of shifted magnet poles γ ≠ δ (right).
Slika 9: Različne oblike trajnih magnetov in smeri
magnetizacije (klasična oblika z radialno magnetizacijo,
vzporedne stranice z vzporedno magnetizacijo, lečasta oblika
z vzporedno magnetizacijo).
Figure 9. Various shapes and magnetization patterns of
permanent magnets.
Slika 8: Maksimalne vrednosti samodržnega vrtilnega
momenta Mcog max v odvisnosti od kota γ.
Figure 8. Maximal cogging torque versus magnet pole shift
angle γ.
Slika 7: Zamik magnetnih polov na rotorju v dopolnjenem 2D
MKE modelu.
Figure 7. Shifted magnet poles on the rotor in an upgraded 2D
FEM model.
Slika 10: Vrednosti Mcog max in Msr v odvisnosti od kota
trajnega magneta αm  za vse tri oblike trajnih magnetov.
Figure 10. Maximal cogging torque and mean torque versus
magnet span αm for the three shapes of permanent magnets.
Konstrukcijski ukrepi za zmanjšanje samodržnega vrtilnega momenta sinhronskega motorja s trajnimi magneti 211
3.4 Pregled konstrukcijskih ukrepov na rotorju
Ukrepi na rotorju za zmanjšanje samodržnega vrtilnega
momenta so se izkazali kot zelo učinkoviti, v praksi pa
najboljše rezultate dosežemo z ustrezno kombinacijo
različnih ukrepov. Za medsebojno primerjavo in pregled
posameznih rotorskih ukrepov so v tabeli 1 zbrani
glavni rezultati izračunov zmanjšanja Mcog max glede na
izhodiščni model s slike 3 in njihov vpliv na znižanje
srednjega vrtilnega momenta Msr.
Nadaljnji ukrepi pri konstruiranju rotorja so še
poševno nameščeni ali poševno magneteni trajni
magneti in stopničasto zamaknjeni segmenti trajnih
magnetov. Teoretično lahko na primer z uporabo
poševnih trajnih magnetov samodržni vrtilni moment
celo povsem odpravimo [2].
Tabela 1: Zbrani rezultati konstrukcijskih ukrepov na rotorju
Tabele 1. Gathered results of rotor design techniques
Mcog max
(Nm)
Mcog max /
Msr
Msr /
Msr izhod.  mod.
Izhodiščni model (αm=56°) 4,42 17,7 % 100 %
Optimalni αm (αm=40°) 2,10 9,4 % 89 %
Zamik magnetnih polov  0,99 4,0 % 98 %
Magneti z vzporednimi str. 2,98 12,3 % 97 %
Magneti lečaste oblike 0,024 0,1 % 89 %
4 Konstrukcijski ukrepi na statorju za
znižanje nihanja vrtilnega momenta
4.1 Dodatne zareze v statorskih zobeh
Z vnosom dodatnih zarez v čelo statorskih zob
navidezno povečamo število zob. Poveča se število
interakcij prednjega in zadnjega roba trajnega magneta s
statorskimi zobmi, kar se izrazi kot povečano število
period samodržnega vrtilnega momenta. Pri večjemu
številu period pa se skupni samodržni vrtilni moment
zmanjša [2].
Pri analizi vpliva dodatnih zarez v čelu statorskih
zob smo polmer zarez v obeh modelih MKE spreminjali
v območju od Rzar=0,5 mm do Rzar=2,5 mm v korakih
po 0,25 mm. Kot trajnega magneta αm smo nastavljali v
območju od 53° do 48° v korakih po 1° in tako zajeli
območje, kjer samodržni vrtilni moment Mcog max
motorja brez dodatnih zarez doseže lokalno maksimalno
in minimalno vrednost (slika 4). Izračunane vrednosti
Mcog max v odvisnosti od polmera zarez (za eno dodatno
zarezo na zob) so zbrane na sliki 12.
Dodatne zareze v statorskih zobeh otežijo izdelavo
motorja. Poleg tega dobljeni rezultati analize kažejo, da
je ukrep neučinkovit. Vpliv zarez na zmanjšanje
velikosti samodržnega vrtilnega momenta je minimalen.
Izkaže se celo, da prevelike zareze povzročijo povečanje
Mcog max, kar je v nasprotju s trditvijo podano v [2].
Večanje zarez tudi zmanjšuje srednji vrtilni moment.
4.2 Upoštevanje anizotropije statorske pločevine
Feromagnetni material za izdelavo statorja
(elektropločevina) je izdelan s postopkom valjanja.
Posledično je kristalna struktura pločevine usmerjena in
je njena magnetna prevodnost v vzdolžni smeri (smer
valjanja) večja od magnetne prevodnosti v prečni smeri.
Zato je tudi neorientirana elektropločevina, ki se
uporablja za izdelavo rotacijskih motorjev, magnetno
anizotropna. Velja pravilo, da pločevina boljše
kakovosti (npr. pločevina z oznako M330–35A)
izkazuje večjo anizotropijo kot pločevina slabše
kskovosti (npr. pločevina z oznako M800–50A) [5].
Zaradi magnetne anizotropije se v motorju spremeni
porazdelitev magnetnega polja, kar povzroči nastanek
dodatnega samodržnega vrtilnega momenta Mcog aniz.
Dodatni vrtilni moment bo izrazit predvsem v motorjih,
kjer se število statorskih zob malo razlikuje od števila
rotorskih magnetnih polov [5].
Vpliv anizotropije feromagnetnega materiala na
nastanek dodatnega samodržnega vrtilnega momenta
smo raziskali z 2D MKE modelom, v katerem smo
izotropen statorski material zamenjali z anizotropnim.
Permeabilnost µ je tenzorska veličina.
0
90
0
µ 0
µ
0 µ
0
Θ =Θ =
Θ =Θ =
 
 
 
 = =  
   
 
 
o
H B
o
H B
x
x
x
yy
y
B
H
B
H
(9)
Vpliv anizotropije statorskega materiala je za model
SMTM s 36 statorskimi zobmi in 6 rotorskimi
Slika 11: Del statorja modela MKE z dodatnimi zarezami v
statorskih zobeh: ena zareza (levo), dve zarezi (desno).
Figure 11. FEM model segment with additional notches in
stator teeth: one notch (left), two notches (right).
Slika 12: Vrednosti Mcog max za eno dodatno zarezo v
statorskem zobu v odvisnosti od polmera zareze Rzar in kota
trajnega magneta αm.
Figure 12. Maximal value of cogging torque for one notch per
stator tooth versus notch radius Rzar and magnet span αm.
Černigoj, Fišer 212
magnetnimi poli zanemarljiv. Zato smo izračun poteka
samodržnega vrtilnega momenta opravili za model
SMTM z 12 statorskimi zobmi in 10 rotorskimi
magnetnimi poli, pri čemer smo rotor zavrteli za kot ene
rotorske delitve φrot=72° v ekvidistantnih korakih po
0,4°. Rezultati izračuna so prikazani na sliki 13.
Vpliv anizotropije elektropločevine odpravimo tako,
da posamezne lamele pri sestavljanju statorskega paketa
medsebojno zamikamo glede na smer valjanja
pločevine.
4.3 Pregled konstrukcijskih ukrepov na statorju
Konstrukcijski ukrep na statorju, kot je uvedba dodatnih
zarez v statorskih zobeh, se v nasprotju z ukrepi na
rotorju ni izkazal za učinkovitega, saj je njegov vpliv na
zmanjšanje samodržnega vrtilnega momenta minimalen.
Analizirali smo tudi vpliv anizotropije
elektropločevine na nastanek dodatnega samodržnega
vrtilnega momenta. Pojav je izrazit predvsem v
motorjih, kjer se število statorskih zob malo razlikuje od
števila rotorskih magnetnih polov.
5 Sklep
Predstavljeni so konstrukcijski ukrepi na rotorju in
statorju za zmanjšanje samodržnega vrtilnega momenta
SMTM. Za posamezen ukrep je podan njegov princip
delovanja, ki je nato ovrednoten z numeričnimi izračuni.
Za analizo vpliva ukrepov ali kombinacije več
ukrepov (npr. spreminjanje kota trajnega magneta in
zamik magnetnih polov) na velikost samodržnega
vrtilnega momenta je zgrajen parametričen MKE model
SMTM. To je bilo potrebno zato, ker je za analizo
posameznega ukrepa ali kombinacije več ukrepov treba
opraviti vrsto izračunov vrednosti vrtilnega momenta v
odvisnosti od kota zasuka rotorja. Brez parametričnega
modela MKE bi bilo spreminjanje parametrov in
primerjava rezultatov tako rekoč nemogoča.
Konstrukcijski ukrepi za zmanjšanje samodržnega
vrtilnega momenta na rotorju so se izkazali kot zelo
učinkoviti. Z ekonomskega vidika so primerni ukrepi
spreminjanja kota in posledično obodne dolžine loka
trajnega magneta in zamika magnetnih polov, saj
njihova uporaba ne pomeni večjega dviga stroškov in ne
povzroči bistvenih zapletov pri tehnološki izdelavi
motorja. Najboljše rezultate vsekakor dosežemo z
ustrezno kombinacijo različnih ukrepov.
V sklopu raziskave smo analizirali tudi nekaj drugih
konstrukcijskih posegov na rotorju in statorju SMTM, ki
pa so manj vplivni pri zmanjšanju samodržnega
vrtilnega momenta kot opisani ukrepi.
6 Literatura
[1] J. Gieras, M. Wing, Permanent Magnet Motor
Technology, New York, Marcel Dekker, 1997.
[2] N. Bianchi, S. Bolognani, Design Techniques for
Reducing the Cogging Torque in Surface–Mounted
PM Motors, IEEE Transactions on Industry
Applications, Vol. 38, No. 5, pp. 1259-1265,
Sept/Oct 2002.
[3] R. Lateb, N. Takorabet, F. Meibody–Tabar, J.
Enon, A. Sarribouete, Design Technique for
Reducing the Cogging Torque in Large Surface
Mounted Magnet Motors, ICEM 2004 International
Conference on Electrical Machines, Proceedings
ICEM 2004 CD-ROM, Krakow, 5-8 Sept 2004.
[4] M. Furlan, A. Černigoj, M. Boltežar, A copupled
electromagnetic–mechanical–acoustic model of a
DC electric motor, Compel, Vol. 22, No. 4, pp.
1155-1165, 2003.
[5] S. Yamaguchi, A. Daikoku, Cogging torque
calculation considering magnetic anisotropy for
permanent magnet synchronous motors, Compel,
Vol. 23, No. 3, pp. 639-646, 2004.
Andrej Černigoj je diplomiral leta 1999 in magistriral leta
2006 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Od leta 1999
je zaposlen v Razvojnem centru Iskre Avtoelektrike d.d., kjer
se ukvarja z modeliranjem in konstrukcijo električnih strojev.
Rastko Fišer je diplomiral leta 1984, magistriral leta 1989 in
doktoriral leta 1998 na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani,
kjer je tudi zaposlen kot docent. Predava predmete s področja
električnih pogonov in močnostne elektronike ter je
predstojnik Laboratorija za elektromotorske pogone. Leta
1999 je za doktorsko disertacijo prejel nagrado dr. Vratislava
Bedjaniča. Njegovo raziskovalno delo je povezano z
modeliranjem rotacijskih in linearnih električnih motorjev,
načrtovanjem elektromotorskih pogonov ter novimi pristopi na
področju nadzora stanja in diagnostike rotacijskih strojev.
Rastko Fišer je član IEEE in SLOSIM.
Slika 13: Samodržni vrtilni moment Mcog za model SMTM z
12 statorskimi zobmi in 10 rotorskimi poli v odvisnosti od
kota zasuka rotorja α.
Figure 13. Cogging torque for PMSM having 12 stator slots
and 10 rotor poles versus rotor position α.