1 Uvod
Potrebe po zaslanjanju magnetnega polja narekujejo kri-
teriji elektromagnetne kompatibilnosti in standardi za
neionizirajoča sevanja. Zmanjšanje motečega magnet-
nega polja v določenem območju se v praksi doseže
s prestavljanjem virov ali z nameščanjem zaslonov [1,
2]. Kadar na vire polja ni mogoče vplivati, ostajajo
zasloni edini izhod. Njihovo učinkovitost pogojujejo
specifična prevodnost, položaj, oblika, debelina in elek-
trične povezave. Za dobro dizajniranje zaslonov je očitno
potrebna ustrezna metoda, ki omogoča izračun polja in
oceno zastiranja.
Opravimo kratek pregled metod, ki se uporabljajo za
analizo zastiranja magnetnega polja s pomočjo prevod-
nih nemagnetnih zaslonov. Klasične so različne anal-
itične ocene; kot takšne so računsko hitre in preproste,
imajo pa žal, zaradi privzetkov in poenostavitev, ome-
jeno področje uporabnosti [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Pomanj-
kljivostim so kos primerne numerične metode. V elek-
tromagnetiki zelo uveljavljena metoda končnih elemen-
tov [10] se zaradi odprtih mej in tankih zaslonov ne izkaže
kot najbolj primerna, saj zahteva veliko elementov, to
pa velik spomin in dolgo računanje; v literaturi jo za-
sledimo praviloma v vlogi verifikacije kakšnega drugega
32 Bulić
pristopa [8, 9, 11]. Nekaj podobnega velja tudi za metodo
končnih razlik [12].
Navedene težave v znatni meri zaobide integralska
metoda [13], ki temelji na določitvi induciranih vrtinčnih
tokov v zaslonih; ti so namreč neposredno odgovorni za
perturbacijo primarnega magnetnega polja [2, 11]. Ker se
pri tej metodi vrši le diskretizacija zaslonov, je potrebno
število neznank bistveno manjše. Omenjeno metodo smo
uporabili tudi v tem članku, s tem da smo jo zastavili
nekoliko širše: da omogoča analizo različnih električnih
povezovanj med zasloni in povezav zaslonov z zemljo
ter analizo povratnih učinkov zaslonov na primarne vire
polja.
2 Opredelitev problema
Problematika je prikazana na primeru, ki je v praksi
elektromagnetne kompatibilnosti zelo pogost: da imamo
opraviti s snopom vzporednih vodnikov s harmoničnimi
toki industrijske frekvence 50 Hz kot viri primarnega
magnetnega polja, zaradi katerega se izkazuje potreba po
njegovem zastiranju. Učinek senčenja polja dosežemo
z namestitvijo ustrezno oblikovanih prevodnih zaslonov
(slika 1), ki so ponavadi daljši in kot takšni opravičujejo
analizo v 2D geometriji.
Vodnike in zaslone (valje, cilindre) bomo obravnavali
z isto metodologijo. Preseki valjev naj so S1, S2, . . . , Sn,
unija njih pa S; specifične električne prevodnosti naj so
γ1, γ2, . . . , γn, inducirani ali vsiljeni toki v cilindrih pa
I1, I2, . . . , In. Dolžina strukture bodi l.
Analizo bomo opravili v frekvenčnem prostoru;
poljske količine bomo razumeli kot kompleksne,
nizkofrekvenčno elektromagnetno polje pa kot kvazi-
statično [14, razdelek 3.3].
Slika 1. Presek splošne strukture zaslonov in vodnikov
Figure 1. Cross-section of a general structure of shields and
wires
V literaturi zasledimo različne definicije cenilk, ki
se uporabljajo za vrednotenje učinkov zastiranja; tu smo
izbrali tako imenovan faktor zastiranja sB , ki je v splošni
točki T definiran z razmerjem absolutnih vrednosti vek-
torjev gostot magnetnega pretoka primarnega (B0) in
celotnega polja (B):
sB(T ) =
|B0(T )|
|B(T )|
. (1)
3 Teorija
Izbrana numerična metoda je primerna za analizo nemag-
netnih prevodnih cilindrov in temelji na rešitvi integralske
enačbe za gostoto vrtinčnih tokov J = ezJz v njih; izpel-
javo te in dodatnih enačb predstavljamo v nadaljevanju.
Vzdolžno komponento vektorskega magnetnega po-
tenciala tokov v cilindrih izrazimo z integralom produkta
tokovne gostote in logaritemske funkcije, ki je v vlogi
Greenove funkcije v 2D [14, razdelek 8.1]:
Az(T ) = −
µ0
2π
∫
S
Jz(T
′) ln TT ′ ds′, (2)
T in T ′ sta splošna in integracijska točka, TT ′ pa je raz-
dalja med njima. Gostota toka je v linearni prevodni snovi
sorazmerna električni poljski jakosti E, ki jo določata
vektorski magnetni in skalarni električni potencial:
Jz(T ) = γ(T )Ez(T ) = −jωγ(T )Az(T )−γ(T )
∂V (T )
∂z
.
(3)
γ je specifična električna prevodnost, j je imaginarna
enota in ω je krožna frekvenca. Odvod ∂V (T )/∂z je
v kvazistatičnih razmerah enak kvocientu −U(T )/l, v
katerem je U(T ) padec električnega potenciala na dolžini
l med začetkom in koncem cilindra in ima v posameznih
cilindrih na splošno različne vrednosti. Za gostoto toka
dobimo enačbo:
Jz(T ) = −jωγ(T )Az(T ) + γ(T )
U(T )
l
. (4)
Po vstavitvi potenciala (2) v enačbo (4) sledi integral-
ska enačba za gostoto toka v cilindrih,
Jz(T )
γ(T )
−
jωµ0
2π
∫
S
Jz(T
′) ln TT ′ ds′ −
U(T )
l
= 0. (5)
Poleg gostote toka so neznanke tudi padci potencialov
U1, U2, . . . , Un v cilindrih. Za končno rešitev potrebu-
jemo torej še n enačb. Te pridobimo glede na električne
povezave med cilindri in povezave teh do zemlje [15,
razdelek 3.20].
Če je j-ti cilinder zaslon, ki je obojestransko odprt ali
le enostransko ozemljen, je tok Ij vzdolž njega enak nič:
∫
Sj
Jz(T
′)ds′ = 0. (6)
Če je zaslon dvostransko ozemljen, je toku odprta pot
skozi zemljo. Če je skupna impedanca ozemljitev Zgj ,
je potencialna razlika Uj v tem cilindru naslednja:
Zgj
∫
Sj
Jz(T
′)ds′ = Uj . (7)
Izračun magnetnega polja okrog dolgih prevodnih nemagnetnih zaslonov 33
Pri idealni dvostranski ozemljitvi je potencialna razlika
med začetkom in koncem cilindra enaka nič in jo kot
takšno v enačbi (5) tudi razumemo.
V vodnikih, ki so viri primarnega polja, so toki prav-
iloma znani: za npr. k-ti vodnik z znanim tokom Ik velja
∫
Sk
Jz(T
′)ds′ = Ik. (8)
Zasloni so lahko med seboj tudi električno povezani.
Če sta npr. j-ti in i-ti zaslon električno povezana na
začetkih in koncih, imata na dolžini l enaki potencialni
razliki (Uj = Ui), za gostoti tokov v njiju pa velja enačba
∫
Sj∪Si
Jz(T
′)ds′ = 0. (9)
Sklenimo. Za rešitev integralske enačbe (5) potrebu-
jemo dodatne enačbe: te so tipa (6), (7), (8) in/ali (9)
in izhajajo iz načinov povezav in priključitev cilindrov.
Skupaj z njimi pridobimo sistem sklopljenih integralskih
enačb za gostote vrtinčnih tokov in padce potencialov v
cilindrih.
Sistem integralskih enačb smo reševali z momentno
metodo: gostoto tokov v cilindrih smo iskali v prostoru
impulznih funkcij, pri tem pa smo te iste izbrali tudi kot
testne. Da je numerična napaka še sprejemljiva, je treba
mrežo impulznih funkcij izbrati dovolj gosto, da korak
mreže ne preseže polovice vdorne globine.
4 Numerični rezultati
4.1 Oklopljen dvovod
Primer dvovoda tankih žic znotraj cevnega zaslona, ki ima
v preseku obliko krožnega kolobarja (slika 2), je anal-
itično rešljiv [2]. Nastavki v obliki neskončnih vrst sledijo
iz Poissonove enačbe za vektorski magnetni potencial v
valjnem koordinatnem sistemu po metodi ločitve spre-
menljivk:
Az(ρ, ϕ) =
∞
∑
n=1
cos ((2n − 1)ϕ)
(
C1,nρ
2n−1
+
µ0I0
π
1
(2n − 1)22n−1
(
2d
ρ
)2n−1
)
, ρ < ρ1 (10a)
Az(ρ, ϕ) =
∞
∑
n=1
cos ((2n − 1)ϕ)
(
C2,nH
(1)
2n−1(kρ)
+ C3,nH
(2)
2n−1(kρ)
)
, ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2 (10b)
Az(ρ, ϕ) =
∞
∑
n=1
cos ((2n − 1)ϕ) C4,nρ−(2n−1),
ρ > ρ2, (10c)
kjer so H
(1)
2n−1 in H
(2)
2n−1 Hankelove funkcije prve
oziroma druge vrste reda (2n − 1), k =
√
−jωµ0γ pa je
difuzijska konstanta zaslona. Konstante C1,n, C2,n, C3,n
in C4,n, n = 1, 2, . . . se določi iz zveznosti tangencial-
nih komponent magnetne in električne poljske jakosti na
površinah zaslona. Zaradi hitre konvergence vrst v aktu-
alni bližini zaslona smo pri izračunu upoštevali le prvih
deset členov.
Slika 2. Dvovod v cevnem zaslonu, ki ima presek v obliki
krožnega kolobarja
Figure 2. Bifilar pair of conductors inside a cylindrical shield
Na sliki 3 je podana primerjava radialnih odvisnosti
absolutne vrednosti magnetne poljske jakosti po analitični
in izbrani numerični poti pri kotu ϕ = π/4. Pri tem
sta toka v vodnikih dvovoda vzeta kot linijska. Številski
podatki so I0 = 100A, f = 50Hz, 2d = 30mm,
ρ1 = 50mm, ρ2 = 55mm in γ = 30,5MS/m (alu-
minij). Omembe vredno odstopanje (do 3,60%) je opaziti
le znotraj zaslona (ρ1 < ρ < ρ2), ki pa za samo zastiranje
niti ni pomembno.
4.2 Zelo širok raven zaslon
Obravnavali smo primer dvostransko idealno ozeml-
jenega in zelo širokega zaslona širine w in debeline t,
ki je nameščen na višini yC nad žico (podobno kot je
to na sliki 5, le da je namesto žic ena sama, ki leži v
osi z). Če je zaslon res zelo širok, moremo za primer-
javo uporabiti analitično rešitev za primer ”neskončno”
razsežnega, ki se izraža s Fourierjevim integralom, kot na
primer v [16, 7]. Za z-komponento Az magnetnega po-
tenciala nad zaslonom dobimo
Az(x, y > yC + t) =
∞
∫
0
f(ξ)e−ξycos(ξx)dξ. (11)
34 Bulić
45 50 55 60
50
100
150
200
250
300
ρ/ mm
H
/
(A
/
m
)
analitika
numerika
Slika 3. Prikaz radialnih odvisnosti absolutnih vrednosti mag-
netnih poljskih jakosti za primer dvovoda v cevnem zaslonu,
izračunanih po analitični in numerični metodi
Figure 3. Radial dependence of the absolute values of the mag-
netic field intensity calculated analytically and numerically for
a cylindrical shield surrounding a pair of conductors
Funkcija f(ξ) sledi iz mejnih pogojev za tangencialni
komponenti poljskih jakosti na spodnji in zgornji površini
zaslona in se izraža v naslednji obliki:
f(ξ) =
I0µ0
π
√
ξ2 − k2 etξ
·
(
2ξ
√
ξ2 − k2 cosh
(
t
√
ξ2 − k2
)
+
(
2ξ2 − k2
)
sinh
(
t
√
ξ2 − k2
)
)−1
. (12)
Za potrebe numerične določitve gostote magnetnega
polja smo Fourierjev določen integral (11) računali pri
zgornji meji 104.
Na sliki 4 so podane absolutne vrednosti gostote mag-
netnega pretoka nad zaslonom na višini yR = 15 cm nad
žico, ki so pridobljene z numerično metodo in z anal-
itično aproksimacijo. Številski podatki za ta primer so
bili: I0 = 100A, f = 50Hz, t = 1,2mm, yC = 5 cm,
w = 4m in γ = 30,5MS/m. V območju najmočnejšega
polja je ujemanje solidno, vstran pa prihaja do odstopanja
analitične aproksimacije, saj ta ne upošteva dane širine
zaslona.
4.3 Raven zaslon
V delu [9] je predstavljena hibridna metoda za izračun
učinka zastiranja ravnega kovinskega zaslona (slika 5). Ta
analitična aproksimacija za magnetno polje izza zaslona
združuje izraz za prodiranje polja skozi ”neskončno”
širok zaslon in izraz za prepuščanje okrog končno
širokega.
−2 −1 0 1 2
0
10
20
30
40
50
60
70
x /m
B
/
(1
0
−
6
T
)
analitika
numerika
Slika 4. Primerjava absolutnih vrednosti gostot magnetnega
pretoka nad širokim ravnim zaslonom, ki je nad vodnikom,
izračunanih po numerični metodi in po analitični aproksimaciji
Figure 4. Comparison of the absolute values of the magnetic
flux density calculated numerically and with the analytical ap-
proximation above an exceedingly wide flat shield placed above
the wire
Slika 5. Raven zaslon nad dvovodom
Figure 5. Flat shield above a pair of conductors
Frix in Karady sta opravila meritve magnetnega polja
nad takšnima, na konceh odprtima zaslonoma [2]. Prvi
je imel debelino t = 3,175mm, prevodnost γ =
(103/36,99)MS/m, gostoto magnetnega pretoka pa sta
merila na višini yR = 14,13 cm. Drugi zaslon je imel de-
belino t = 6,35mm, prevodnost γ = (103/45)MS/m,
gostoto pa sta merila na višini yR = 14,45 cm. Drugi
številski podatki so bili: I0 = 100A, f = 60Hz,
yC = 6,35 cm, 2d = 7,62 cm in w = 30,48 cm.
Na sliki 6 smo primerjalno prikazali rezultate meritev
in rezultate hibridne ter numerične metode. Povprečje
absolutnih vrednosti relativnega odstopanja od meritev je
bilo pri numerični metodi (|ǫr|sr.
.
= 5,1%) trikrat manjše
kot pri hibridni (|ǫr|sr.
.
= 16,2%).
Izračun magnetnega polja okrog dolgih prevodnih nemagnetnih zaslonov 35
0 5 10 15 20 25 30 35
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x / cm
B
/
(1
0
−
6
T
)
meritev
numerika
hibridna metoda
(a) Tanjši zaslon (t = 3,175 mm)
0 5 10 15 20 25 30 35
5
10
15
20
25
30
x / cm
B
/
(1
0
−
6
T
)
meritev
numerika
hibridna metoda
(b) Debelejši zaslon (t = 6,35 mm)
Slika 6. Primerjava absolutnih vrednosti gostot magnetnega pretoka nad ravnim aluminijastim zaslonom nad dvovodom, pridobljenih
z meritvijo in s hibridno ter numerično metodo
Figure 6. Comparison of the absolute values of the magnetic flux density calculated numerically, with the hybrid method, and
measured above the flat aluminum shield placed above the pair of conductors
4.4 Sestavljeni zasloni
Ustrezen prikaz rezultatov numeričnega izračuna magnet-
nega polja daje vpogled v učinke zastiranja in pomaga
pri dizajniranju zaslonskih struktur. Za demonstracijo
možnosti smo izbrali dve konfiguraciji (slika 7): prva je
enodelni zaslon (brez stranskih dveh), druga pa je tridelni
zaslon, kot je prikazan na sliki. Pri obeh konfiguracijah
so zasloni dvostransko idealno ozemljeni. Primarni vir
polja je tok I0 = 100A frekvence f = 50Hz v bakrenem
vodniku polmera ρ0 = 2 cm in specifične prevodnosti
γ0 = 56,5MS/m. Širini rež in debelina zaslonov iz
aluminija specifične prevodnosti γ = 30,5MS/m so
t = 1 cm, širina zgornjega je w = 30 cm, višina stran-
skih je h = 18 cm in dvig yC = 7 cm.
Na sliki 8 so prikazane gostotnice magnetnega polja z
enakimi vmesnimi pretoki v trenutku 0 s (črtkaste so gos-
totnice primarnega polja). Pri enodelnem zaslonu se v
njem inducira tok I
.
= −(82,20+ j5,35)A (slika 8(a)),
v primeru tridelnega pa tok I
.
= −(96,49 + j3,51)A
(slika 8(b)). V prvem, še posebno pa v drugem primeru
je induciran tok tako rekoč nasproten primarnemu toku,
kar še dodatno potrjuje, zakaj se polje za zaslonom tako
izdatno zmanjša.
Slika 9 prikazuje porazdelitev faktorja zaslanjanja.
Ko dodamo še stranska zaslona, se zaslanjanje izdatno
izboljša povsod in ne le za slednjima.
Slika 7. Sestavljen zaslon ob/nad tokovodnikom krožnega pre-
seka
Figure 7. Compound shield around/above a circular cross-sec-
tion conductor
5 Sklep
Iz primerjave rezultatov predstavljene numerične metode
z drugimi sklepamo, da so njeni rezultati verodostojni
in da je prikaz polja v okolici zaslona primerna podlaga
za učinkovito dizajniranje tudi v specifičnih razmerah.
Metoda ne postavlja omejitev glede oblike in števila za-
slonov ter morebitnih povezovanj med njimi in zemljo.
Metoda (v mejah kvazistatičnosti) tudi nima frekvenčne
omejitve; omejitev so le vdorna globina in gostota mreže
impulznih funkcij ter zmogljivost računalnika. Posebno
pozornost bi potrebovala še možnost analiziranja povrat-
nega učinka na vodnik, kakršen je bil vključen v zadnji
primer, in električnih povezav, česar v literaturi ni za-
36 Bulić
−30 −15 0 15 30
−30
−15
0
15
30
x / cm
y
/
cm
(a) Enodelni zaslon
−30 −15 0 15 30
−30
−15
0
15
30
x / cm
y
/
cm
(b) Tridelni zaslon
Slika 8. Gostotnice magnetnega polja za primer enodelnega in tridelnega zaslona ob/nad tokovodnikom krožnega preseka. Črtkaste
linije prikazujejo gostotnice primarnega polja.
Figure 8. Magnetic flux lines in the case of onepiece or three-piece shield around/above the circular cross-section conductor. Dashed
lines represent magnetic flux lines of the primary field.
−80 −40 0 40 80
−80
−40
0
40
80
x / cm
y
/
cm
2
3
44
5
6
7
8 8
7
6
5
10
13
(a) Enodelni zaslon
−80 −40 0 40 80
−80
−40
0
40
80
x / cm
y
/
cm
25
27 27
2525
20 20
15
15
2
5
10
(b) Tridelni zaslon
Slika 9. Faktor zastiranja okoli enodelnega in tridelnega zaslona ob/nad tokovodnikom krožnega preseka
Figure 9. Shielding factor around the one-piece or three-piece shield placed around/above the circular cross-section conductor
slediti. Predstavljena metoda se glede na omenjena de-
jstva kaže kot ena bolj splošnih in primernih za analizo
senčenja s prevodnimi nemagnetnimi zasloni.
6 Literatura
[1] J. F. Hoburg. “A Computational Methodology and Results
for Quasistatic Multilayered Magnetic Shielding.” IEEE
Trans. Electromagn. Compat., vol. 38, no. 1, pp. 92–103,
Feb. 1996.
[2] W. M. Frix and G. G. Karady. “A Circuital Approach
to Estimate the Magnetic Field Reduction of Nonfer-
rous Metal Shields.” IEEE Trans. Electromagn. Compat.,
vol. 39, no. 1, pp. 24–32, Feb. 1997.
[3] R. B. Schulz, V. C. Plantz, and D. R. Brush. “Shielding
Theory and Practice.” IEEE Trans. Electromagn. Com-
pat., vol. 30, no. 3, pp. 187–201, Aug. 1988. Originally
published in Proc. 9th Tri-Service Conf. on Electromag-
netic Compatibility, Oct. 1963.
[4] J. R. Harrington and R. B. Schulz. “Design of Mini-
mum Weight and Maximum Effectiveness of Very-Low-
Frequency Shielding.” IEEE Trans. Electromagn. Com-
pat., vol. 10, no. 1, pp. 152–157, Mar. 1968.
[5] P. R. Bannister. “Further Notes for Predicting Shielding
Effectiveness for the Plane Shield Case.” IEEE Trans.
Electromagn. Compat., vol. 11, no. 2, pp. 50–53, May
1969.
[6] J. F. Hoburg. “Principles of Quasistatic Magnetic Shield-
ing with Cylindrical and Spherical Shields.” IEEE Trans.
Electromagn. Compat., vol. 37, no. 4, pp. 574–579, Nov.
1995.
[7] R. G. Olsen, M. Istenič, and P. Žunko. “On Simple
Methods for Calculating ELF Shielding of Infinite Pla-
nar Shields.” IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 45,
no. 3, pp. 538–547, Aug. 2003.
[8] L. Sandrolini, A. Massarini, and U. Reggiani. “Transform
Method for Calculating Low-Frequency Shielding Effec-
tiveness of Planar Linear Multilayered Shields.” IEEE
Trans. Magn., vol. 36, no. 6, pp. 3910–3919, Nov. 2000.
[9] M. Istenič. Zaščita pred magnetnim poljem ekstremno
nizkih frekvenc z magnetnimi zasloni končnih dimenzij.
Doktorska disertacija, Fakulteta za elektrotehniko Uni-
verze v Ljubljani, 2003.
[10] P. P. Silvester and R. L. Ferrari. Finite Elements for
Electrical Engineers. Cambridge University Press, Cam-
bridge, 1983. Reprinted 1986.
[11] A. Canova, G. Gruosso, and M. Repetto. “Integral Meth-
ods for Analysis and Design of Low-Frequency Con-
ductive Shields.” IEEE Trans. Magn., vol. 39, no. 4,
pp. 2009–2017, July 2003.
[12] C.-P. Chang and C.-F. Yang. “A Moment Method So-
lution for the Shielding Properties of Three-Dimensional
Objects Above a Lossy Half Space.” IEEE Trans. Electro-
magn. Compat., vol. 47, no. 4, pp. 723–730, Nov. 2005.
[13] P. Silvester. “AC Resistance and Reactance of Isolated
Rectangular Conductors.” IEEE Trans. Power App. Syst.,
vol. 86, no. 6, pp. 770–774, June 1967.
[14] H. A. Haus and J. R. Melcher. Electromagnetic Fields and
Energy. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1989.
[15] K. L. Kaiser. Electromagnetic Shielding. CRC Press,
Boca Raton, 2006.
[16] J. R. Carson. “Wave Propagation in Overhead Wires with
Ground Return.” Bell System Technical Journal, vol. 5,
pp. 539–554, Oct. 1926.
Edi Bulić je diplomiral leta 1997 in magistriral leta 2000, oboje
na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Od leta 1997 je za-
poslen kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani.
Raziskovalno se ukvarja z numeričnimi metodami za izračun
elektromagnetnega polja.