1 Uvod
Pričujoče delo obravnava zastiranje harmoničnega mag-
netnega polja snopa ravnih tokovodnikov z neprevod-
nimi magnetnimi zasloni in je nekakšno nadaljevanje
članka [1], ki se je ukvarjal z zastiranjem enakega polja
s prevodnimi nemagnetnimi zasloni. Pri tem se seveda
zavedamo, da so tako eni kot drugi le poseben primer
splošnega prevodno-permeabilnega zaslona.
Razlogi, ki narekujejo ločeno obravnavo različnih vrst
zaslonov, so ali praktični ali teoretični ali numerični. Za-
288 Bulić, Sinigoj
kaj? V praksi so zasloni pogosto iz aluminija ali drugih
prevodnih nemagnetnih materialov, lahko pa so tudi iz
šibko prevodnih feritov ali lamelni, zato je vsakršna
poenostavitev elektromagnetnih karakteristik (tudi v luči
frekvence) prej dobrodošla kot ne. Izkaže se, da sta teo-
retični obravnavi prevodnih nemagnetnih in neprevodnih
magnetnih zaslonov razmeroma preprosti in numerično
ne preveč zahtevni, medtem ko je celovita analiza hkrati
prevodnih in magnetnih zaslonov razmeroma zahtevno in
obsežno numerično opravilo.
Čeravno je sestavek zasnovan kot nadaljevanje prob-
lematike zastiranja magnetnega polja, dolgujemo krajši
uvod. Potrebe po zaslanjanju magnetnega polja nareku-
jejo kriteriji elektromagnetne kompatibilnosti in standardi
za neionizirajoča sevanja. Zmanjšanje polja v določenem
območju dosežemo lahko z nameščanjem zaslonov [2, 3].
Njihovo učinkovitost pogojujejo elektromagnetne karak-
teristike, frekvenca, položaj, oblika, velikost, debelina in
električne povezave.
O pregledu različnih metod za analizo učinkovitosti
zaslanjanja povejmo naslednje. Klasične so različne anal-
itične ocene [4, 5, 6, 7, 8]; te so računsko preproste, imajo
pa vrsto omejitev, ki izhajajo iz poenostavitev. Pomanj-
kljivosti odpravljajo primerne numerične metode. Zaradi
praviloma odprtih mej in tankih zaslonov se metoda
končnih elementov ne izkaže kot najbolj primerna, saj za-
hteva veliko elementov; v literaturi jo zasledimo v vlogi
verifikacije kakšnega drugega učinkovitejšega pristopa [7,
8]. Navedene težave v znatni meri zaobidejo integralske
metode, pri katerih se diskretizirajo le zasloni ali nji-
hove površine, kar bistveno zmanjšuje potrebno število
neznank numeričnega postopka. Eno takšnih, ki temelji
na določitvi vrtinčnih tokov v zaslonih in je primerna
za analizo prevodnih nemagnetnih struktur, smo pred-
stavili v [1]. Njej tokrat pridružujemo metodo, ki temelji
na magnetizaciji oziroma iskanju porazdelitve ploskovnih
tokov [9] po površinah magnetnih neprevodnih zaslonov.
2 Opredelitev problema
Na sliki 1 je prikazan prerez zaslonske strukture. Oprav-
iti imejmo s snopom tankih vzporednih vodnikov s
harmoničnimi toki I1, I2, . . . , Im npr. industrijske
frekvence 50 Hz (kot viri primarnega magnetnega polja)
in njim vzporednimi permeabilnimi in neprevodnimi ali
slabo prevodnimi, feritnimi ali lamelnimi zasloni oziroma
takšnimi, za katere velja, da je učinek v njih induciranih
vrtinčnih tokov na celotno magnetno polje zanemarljiv;
kar je, kot vemo, doseženo tedaj, ko vdorna globina nekaj-
krat preseže prečne izmere zaslonov.
Preseki zaslonov so S1, S2, . . . , Sn, njihovi robovi
so L1, L2, . . . , Ln, S in L sta uniji presekov oziroma
robov, µ1, µ2, . . . , µn so permeabilnosti zaslonov in n je
eksterni normalni vektor.
Analizo bomo izvedli v kompleksnem prostoru, elek-
Slika 1. Presek zaslonov in vodnikov
Figure 1. Cross-section of shields and conductors
tromagnetno polje pa razumeli kot kvazistatično. Učinek
zaslanjanja bomo vrednotili s faktorjem zastiranja sB ,
ki je v splošni točki T definiran z razmerjem absolut-
nih vrednosti vektorjev gostot magnetnega pretoka pri-
marnega (B0) in celotnega polja (B):
sB(T ) =
|B0(T )|
|B(T )|
. (1)
3 Teorija
Neprevodne magnetne zaslone bomo v elektromagnetno
analizo vključili s pomočjo ekvivalentnega ploskovnega
toka gostote K po površinah zaslonov, ki korelira z vek-
torjem magnetizacije tik pod njo (v točki T−) in je so-
razmerna tudi tangencialni komponenti vektorja gostote
magnetnega pretoka n × B v sami površini magnetnega
zaslona [9], [10, razdelek 22]:
K(T ) +
2
µ0
β(T )n(T ) × B(T ) = 0. (2)
T je splošna točka v površini zaslona, faktor β(T ) =
(µ(T−) − µ0) /(µ(T−) + µ0) pa določata permeabil-
nosti prostorov z obeh strani meje. Če vektor B v tej
enačbi izrazimo kot vsoto primarnega polja (B0) in polja
ploskovnega toka gostote K = ezKz , dobimo integralsko
enačbo za funkcijo Kz:
Kz(T ) −
β(T )
π
∮
L
Kz(T
′)
n(T ) · P
P 2
dl′
= −
2β(T )
µ0
ez · (n(T ) × B0(T )) , (3)
kjer je P =
−−→
TT ′ = (x′ − x, y′ − y) distančni vektor med
površinskima točkama T (x, y) in T ′(x′, y′).
S pridobljeno rešitvijo integralske enačbe (3) izraz-
imo vektorski magnetni potencial oziroma njegovo kom-
ponento z kot vsoto primarnega polja A0z in polja
ploskovnega toka,
Az(T ) = A0z(T ) −
µ0
2π
∮
L
Kz(T
′) ln TT ′ dl′, (4)
Izračun magnetnega polja okrog dolgih neprevodnih magnetnih zaslonov 289
v nadaljevanju pa še vektor gostote magnetnega pretoka
iz enačbe B = ∇× A v okolici zaslonske strukture.
Integralsko enačbo (3) smo reševali z momentno
metodo; za poskusne funkcije smo izbrali pravokotne im-
pulze na primerno kratkih podintervalih robu L, za testne
pa Diracove δ-funkcije.
4 Numerični rezultati
4.1 Zelo širok raven zaslon
Primernost in natančnost predlagane metode smo ugo-
tavljali na primeru zelo širokega ravnega magnetnega za-
slona širine w in debeline t, ki je nameščen na višini yC
nad tokovodnikom (slika 2). Zanj moremo kot aproksi-
mativno uporabiti kar analitično rešitev za “neskončno”
razsežen permeabilen in hkrati tudi prevoden zaslon [11,
6].
Za komponento Az vektorskega magnetnega poten-
ciala nad zaslonom dobimo naslednji integral:
Az(x, y > yC + t) =
∞
∫
0
f(ξ)e−ξycos(ξx)dξ. (5)
Funkcija f(ξ) sledi iz mejnih pogojev za tangencialni
komponenti poljskih jakosti na spodnji in zgornji površini
zaslona in se izraža v naslednji obliki:
f(ξ) =
I0µµ
2
0
π
√
ξ2 − k2 etξ
·
(
2µµ0ξ
√
ξ2 − k2 cosh
(
t
√
ξ2 − k2
)
+
(
µ2ξ2 + µ2
0
(
ξ2 − k2
)
)
sinh
(
t
√
ξ2 − k2
)
)−1
, (6)
kjer je k =
√
−jωµγ valovno število prevodno-
magnetnega zaslona. V numeričnih postopkih smo vred-
nosti pričujočega Fourierjevega integrala (5) računali do
zgornje meje 104.
Slika 2. Zelo širok raven zaslon nad vodnikom
Figure 2. Exceedingly wide flat shield above the conductor
Glede na to, da obravnavana metoda (zaradi zgolj
privzete neprevodnosti magnetnih zaslonov) ne vključuje
vrtinčnih tokov, smo njene rezultate primerjali z rezultati
analitične aproksimacije za različne specifične prevod-
nosti γ zaslona. Na sliki 3(a) je prikazan potek absolut-
nih vrednosti gostote magnetnega pretoka nad zaslonom
na višini yR = 15 cm nad vodnikom, na sliki 3(b) pa je
prikazan potek relativnega odstopanja rezultatov predla-
gane metode od analitične aproksimacije v istih točkah.
Številski podatki za ta primer so bili: I0 = 100A,
f = 50Hz, t = 4mm, yC = 5 cm, w = 4m in
µ = 100µ0. Ob sredini zaslona je ujemanje solidno
(pri manjši prevodnosti zaslona), vstran pa prihaja do
odstopanja analitične aproksimacije, saj ta ne upošteva
dane širine zaslona. Iz primerjav je razvidno tudi, da je
predlagana metoda povsem korektna za slabo prevodne,
delno pa tudi za prevodne magnetne zaslone (pri x = 0m
in γ = 1kS/m je odstopanje približno −0,02%, pri
γ = 10 kS/m je 0,27% in pri γ = 100 kS/m pa 2,98%),
kar je gotovo dobrodošlo, saj metoda kot takšna očitno
omogoča analizo tudi nekoliko širšega spektra zaslonskih
struktur.
4.2 Večzaslonske strukture
S pomočjo predlagane metode smo preverili učinek za-
stiranja tridelnega zaslona profila U (slika 4), ki naj za-
stira magnetno polje para tokovodnikov oziroma dvovoda
medosne razdalje 2d = 10 cm s tokom I0 = 100A. Širini
rež med posameznimi deli zaslona sta enaki s = 3mm,
širina zgornjega dela je w = 30 cm, višina stranskih je
h = 18 cm in dvig yC = 7 cm.
Da bi rezultate lahko primerjali tudi z rezultati snovno
drugačnih zaslonov, smo za prikaz izbrali dve snovi:
slabo prevodno magnetno (γ = 1kS/m, µ = 1000µ0)
in prevodno nemagnetno (γ = 30,5MS/m, µ = µ0).
Iz teh materialov smo sestavili štiri različne zaslone: a)
slabo prevodni magnetni zaslon debeline t = 6mm, b)
prevodni nemagnetni zaslon enake debeline, c) dvoplas-
tni zaslon, notranje magnetne plasti, debeline t = 3mm,
in zunanje enako debele prevodne plasti z medsebojnim
razmikom 3mm in d) dvoplastni zaslon, enak prejšnjemu,
le da sta prevodno magnetni plasti zamenjani.
Primer zaslona a) smo analizirali s predlagano
metodo, primer zaslona b) z metodo vrtinčnih tokov,
ki je bila predstavljena v [1], primera c) in d) pa z
metodo, ki smiselno združuje obe prejšnji, in sicer da se
pri določanju vrtinčnih tokov v prevodnih nemagnetnih
zaslonih upošteva še elektromagnetno polje ploskovnih
tokov na magnetnih zaslonih, in da se pri določanju teh
ploskovnih tokov upošteva tudi magnetno polje omen-
jenih vrtinčnih tokov. Takšna zloženka enačb predstavlja
sklopljen sistem integralskih enačb, ki ga rešujemo z mo-
mentno metodo.
Na sliki 5 so prikazane gostotnice magnetnega polja v
trenutku 0 s za vse štiri konfiguracije (sive so gostotnice
primarnega polja). Iz levih dveh slik je razvidno, da mag-
290 Bulić, Sinigoj
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
x /m
B
/
1
0
−
6
T
10 kS/m
100 kS/m
1 MS/m
10 MS/m
numerika
(a) Gostota magnetnega pretoka
−3 −2 −1 0 1 2 3
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x /m
ǫ r
/
%
1 kS/m
10 kS/m
100 kS/m
(b) Relativna razlika
Slika 3. Primerjava absolutnih vrednosti gostot magnetnega pretoka nad širokim ravnim zaslonom, ki je nad vodnikom, izračunanih
po numerični metodi in z analitično aproksimacijo
Figure 3. Comparison of the absolute values of the magnetic-flux density calculated numerically and with the analytical approxima-
tion above an exceedingly wide flat shield placed above the conductor
Slika 4. Večzaslonska struktura profila U ob dvovodu
Figure 4. U-profile multiple shield structure around a bifilar pair
of conductors
netni zaslon gostotnice “vsrka” (v literaturi zasledimo po-
jem “flux shunting” [12, razdelek B.1]), iz desnih, da se
gostotnice pod prevodnim zaslonom “stisnejo” k tokovod-
nikoma, vsakokrat pa pride do občutnega zmanjšanja gos-
tote pretoka izza zaslonov. Pri dvoplastnih zaslonih je
očitno prevladujoč učinek dvovodu bližnje plasti.
Slika 6 prikazuje porazdelitev faktorja zastiranja v
okolici zaslonskih struktur. Pri zgornjih dveh zaslonih
opazimo, da je zastiranje magnetnega zaslona boljše le
neposredno za njim, sicer pa je povsod drugje boljše za-
stiranje prevodnega zaslona. Faktor zastiranja se občutno
poveča pri spodnjih, dvoplastnih zaslonih, še posebej pri
slednjem.
5 Sklep
Primerjava rezultatov predstavljene numerične metode in
analitične rešitve za primer “neskončno” razsežnega za-
slona kaže, da so njeni rezultati verodostojni. Izračun
in prikaz polja ob zaslonih, ki ga omogoča metoda,
je primerna podlaga za učinkovito dizajniranje le-teh.
Metoda ne postavlja omejitev glede oblike in števila za-
slonov in omogoča kombiniranje z metodo [1], kar rezul-
tira v eni bolj splošnih za analizo 2D zaslonskih struktur.
Pomanjkljivost tako sestavljene metode je gotovo v tem,
da ne omogoča analize zaslonov, ki so hkrati prevodni in
magnetni. No, o tem bomo poročali v prihodnjem ses-
tavku.
6 Literatura
[1] E. Bulić. “Izračun magnetnega polja okrog dolgih pre-
vodnih nemagnetnih zaslonov.” Elektrotehniški vestnik,
letn. 76, št. 1-2, str. 31–37, 2009.
[2] J. F. Hoburg. “A Computational Methodology and Results
for Quasistatic Multilayered Magnetic Shielding.” IEEE
Trans. Electromagn. Compat., vol. 38, no. 1, pp. 92–103,
Feb. 1996.
[3] W. M. Frix and G. G. Karady. “A Circuital Approach
to Estimate the Magnetic Field Reduction of Nonfer-
rous Metal Shields.” IEEE Trans. Electromagn. Compat.,
vol. 39, no. 1, pp. 24–32, Feb. 1997.
[4] R. B. Schulz, V. C. Plantz, and D. R. Brush. “Shielding
Theory and Practice.” IEEE Trans. Electromagn. Com-
pat., vol. 30, no. 3, pp. 187–201, Aug. 1988. Originally
published in Proc. 9th Tri-Service Conf. on Electromag-
netic Compatibility, Oct. 1963.
[5] J. F. Hoburg. “Principles of Quasistatic Magnetic Shield-
ing with Cylindrical and Spherical Shields.” IEEE Trans.
−30 −20 −10 0 10 20 30
−20
−10
0
10
20
x / cm
y
/
cm
(a) Magnetni zaslon
−30 −20 −10 0 10 20 30
−20
−10
0
10
20
x / cm
y
/
cm
(b) Prevodni zaslon
−30 −20 −10 0 10 20 30
−20
−10
0
10
20
x / cm
y
/
cm
(c) Magnetni pred prevodnim zaslonom
−30 −20 −10 0 10 20 30
−20
−10
0
10
20
x / cm
y
/
cm
(d) Prevodni pred magnetnim zaslonom
Slika 5. Gostotnice magnetnega polja v primeru tridelnega zaslona profila U iz različnih materialov, ki zastira polje dvovoda. Sive
črte prikazujejo gostotnice primarnega polja.
Figure 5. Magnetic-flux lines in the case of the U-profile three-piece shield made of different materials and placed around the bifilar
pair of conductors. Grey lines represent the magnetic-flux lines of the primary field.
Electromagn. Compat., vol. 37, no. 4, pp. 574–579, Nov.
1995.
[6] R. G. Olsen, M. Istenič, and P. Žunko. “On Simple
Methods for Calculating ELF Shielding of Infinite Pla-
nar Shields.” IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 45,
no. 3, pp. 538–547, Aug. 2003.
[7] L. Sandrolini, A. Massarini, and U. Reggiani. “Transform
Method for Calculating Low-Frequency Shielding Effec-
tiveness of Planar Linear Multilayered Shields.” IEEE
Trans. Magn., vol. 36, no. 6, pp. 3910–3919, Nov. 2000.
[8] M. Istenič. Zaščita pred magnetnim poljem ekstremno
nizkih frekvenc z magnetnimi zasloni končnih dimenzij.
Doktorska disertacija, Fakulteta za elektrotehniko Uni-
verze v Ljubljani, 2003.
[9] W. P. Legros and P. G. Scarpa. “Fast Computation of Mag-
netic Field in Rotationally Symmetric Structures.” IEEE
Trans. Magn., vol. 21, no. 6, pp. 2644–2651, Nov. 1985.
[10] A. R. Sinigoj. ELMG polje. Fakulteta za elektrotehniko,
Ljubljana, 1996.
[11] J. R. Carson. “Wave Propagation in Overhead Wires with
Ground Return.” Bell System Technical Journal, vol. 5,
pp. 539–554, Oct. 1926.
[12] S. Celozzi, R. Araneo, and G. Lovat. Electromagnetic
Shielding. Wiley Series in Microwave and Optical Engi-
neering. John Wiley & Sons, Hoboken, 2008.
Edi Bulić je diplomiral leta 1997, magistriral leta 2000 in dok-
toriral leta 2009, vse na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani.
Od leta 1997 je na isti fakulteti zaposlen kot asistent. Razisko-
valno se ukvarja z numeričnimi metodami za izračun elektro-
magnetnega polja.
Anton R. Sinigoj je diplomiral leta 1978, magistriral leta 1981
in doktoriral leta 1989, vse na Fakulteti za elektrotehniko Uni-
verze v Ljubljani. Na fakulteti predava predmete Osnove elek-
trotehnike I in II in Elektromagnetiko. Ukvarja se s teorijo elek-
tromagnetnega polja in numeričnimi metodami v elektromag-
netiki.
−40 −20 0 20 40
−40
−20
0
20
40
x / cm
y
/
cm 5
2,5
3
2,
3
2
2,32,3
1
1,2
1,51,
5
2 2
5
3
2,52,
5
2
(a) Magnetni zaslon
−40 −20 0 20 40
−40
−20
0
20
40
x / cm
y
/
cm
3
4
5
5,3
5,
75,7
6 6
5,7 5,7
2
3
4
55
5,3 5,
3
(b) Prevodni zaslon
−40 −20 0 20 40
−40
−20
0
20
40
x / cm
y
/
cm
5
6
6
5
4
6
5
4
8
7 7
8
1
20
10
8
77
2 2
33
(c) Magnetni pred prevodnim zaslonom
−40 −20 0 20 40
−40
−20
0
20
40
x / cm
y
/
cm
13
11
15
8
1030
20
15
1313
11
11
10
10
8 8
2
3
4
55
66
(d) Prevodni pred magnetnim zaslonom
Slika 6. Faktor zastiranja okoli tridelnega zaslona profila U iz različnih materialov, ki zastira polje dvovoda
Figure 6. Shielding factor around the U-profile three-piece shield made of different materials and placed around the bifilar pair of
conductors