1 Uvod
Isingov model je dobil ime po fiziku Ernstu Isingu, ki
se je rodil leta 1900 v Nemčiji in umrl leta 1998 v ZDA. Je
osnova nekaterih statistično-mehanskih teoretičnih mode-
lov, ki se uporabljajo za opis feromagnetizma. Med fero-
magnete uvrščamo železo (Fe), kobalt (Co), nikelj (Ni),
magnetit (Fe3O4) in druge.
Na kratko ponovimo, kar smo se naučili o magne-
tnem polju [1]. K celotnemu magnetnemu polju v snovi
Btot pripomore zunanje magnetno polje (B) in magnetno
polje, ki ga povzročajo gradniki snovi, atomi (molekule)
(Bm): Btot = B + Bm. Magnetno polje v snovi Bm je
sorazmerno magnetizaciji: Bm = µ0M , ki je definirana
kot M = n〈pm〉 =
N
V
〈pm〉, kjer je 〈pm〉 povprečna vre-
dnost komponente magnetnega dipolnega momenta mo-
lekule v smeri magnetnega polja, n = N/V označuje
število molekul na enoto volumna in µ0 indukcijska kon-
stanta vakuuma. Magnetizacija je sorazmerna jakosti ma-
Prejet 4. maj, 2009
Odobren 23. julij, 2009
gnetnega polja H: M = χH , kjer je χ susceptibilnost.
Torej:
Btot = B + Bm = B + µ0χH = µ0H + µ0χH =
= µ0 (1 + χ) H = µ0µH, (1)
kjer je permeabilnost µ enaka µ = 1 + χ .
V nadaljevanju se omejimo na obravnavo 3 dimen-
zionalnega (3-D) Isingovega modela feromagnetizma v
okviru mrežnega modela, ki je shematsko prikazan na
sliki 1.
Slika 1. Prikazan je presek usmeritve magnetnih dipolnih mo-
mentov molekul v 3-D Isingovem modelu. Magnetni dipolni
momenti so razporejeni v kvadratni mreži in imajo lahko samo
dve orientaciji; gor (↑) in dol (↓).
Figure 1. Magnetic dipole moments placed in a square mesh
lattice block and having two orientations, i. e. pointing up (↑)
or down (↓). The figure shows just a cut through the 3D mesh
block.
236 Pavlič, Iglič
2 Model
Prosto energijo (F ) modelnega sistema, ki je prikazan
na sliki 1, zapišemo v obliki:
F = E − T S , (2)
kjer je E notranja energija sistema, ki zajema povprečno
energijo lastnih in medsebojnih interakcijskih energij
vseh molekul v sistemu, S je entropija sistema, T pa ab-
solutna temperatura.
V modelu smo uporabili teorijo povprečnega polja
(mean field theory), kar je pozneje razvidno iz enačb (8 -
13). Ko imamo sistem z veliko delci, ki interagirajo med
seboj, se je smiselno zateči k teoriji povprečnega polja in
si tako olajšati delo pri iskanju rešitve sistema. Tako sis-
tem z N delci prevedemo v sistem interakcije enega delca
s povrečnim, efektivnim (zunanjim) poljem. Povprečno
polje je zamenjava interakcij med izbranim delcem v sis-
temu in drugimi delci tega sistema. Tako nam povprečno
polje odraža efektivno interakcijo med delci v sistemu. To
je razvidno iz enačbe (8), ko izračunamo povprečno ori-
entacijo sosedov in ne računamo orientacije sosedov za
vsak delec posebaj.
Najprej bomo izračunali entropijo sistema (S), ki na-
stopa v enačbi (2). V našem primeru 3-D Isingovega mo-
dela feromagnetizma obravnavamo N molekul v mrežni
kocki z N mesti. Posamezna molekula je lahko v dveh
stanjih glede na usmeritev njenega magnetnega dipolnega
momenta, ki lahko kaže samo gor (+) (tj. v smeri magne-
tnega polja) ali dol (−); slika 1.
Izračunajmo konfiguracijsko entropijo sistema.
Število mogočih prostorskih razporeditev za prvo mo-
lekulo, ki jo postavimo v prazno 3-D mrežo z N mesti,
je N , za drugo molekulo (N − 1), za tretjo molekulo
(N − 2) in tako naprej. Vseh mogočih razporeditev
je tako N(N − 1)(N − 2) · · · 1 = N ! . Pri tem smo
upoštevali, da so vse molekule med seboj razločljive. V
resnici pa molekul, ki imajo magnetni dipolni moment
obrnjen navzgor (označimo njihovo število z N+), med
seboj ne moremo razločevati. Prav tako ne moremo
razločevati med molekulami, ki imajo magnetne dipolne
momente obrnjene navzdol (označimo njihovo število z
N−). Tako, da celotno število možnih razporeditev N
molekul na N mrežnih mest ni N ! , temveč W :
W =
N !
N+!N−!
. (3)
Za sistem, ki je v termičnem ravnovesju, zapišemo kon-
figuracijsko entropijo v 3-D Isingovem mrežnem modelu
[2], [3] kot:
S = k lnW = k ln
[
N !
N+!N−!
]
=
= k [lnN ! − lnN+! − lnN−!] , (4)
kjer predpostavimo samo dve mogoči orientaciji magne-
tnih dipolnih momentov (↑ in ↓) posamezne molekule v
sistemu. Pri računanju konfiguracijske entropije (S) pri-
vzamemo, da je verjetnost za orientacijo posameznega
spina neodvisna od orientacij sosednjih spinov.
Za veliki N uporabimo Stirlingovo aproksimacijo:
lnN ! ≈ N lnN − N ter tako iz enačbe (4) dobimo na-
slednje:
S = k[N (lnN − 1) − N+ (lnN+ − 1) −
− N− (lnN− − 1)] =
= k[(N+ + N−) lnN −
− N+ lnN+ − N− lnN−] =
= k[N+ lnN + N− lnN −
− N+ lnN+ − N− lnN−]
S = k
[
N+ ln
N
N+
+ N− ln
N
N−
]
=
= −kN
[
N+
N
ln
N+
N
+
N−
N
ln
N−
N
]
=
= −kN [c+ ln c+ + c− ln c−] , (5)
kjer je c+ =
N+
N
verjetnost, da je magnetni dipolni mo-
ment molekule obrnjen navzgor, c− =
N
−
N
pa verjetnost,
da je obrnjen navzdol [4]. Tako sledi, da je c+ + c− = 1 .
V nadaljevanju izpeljemo izraz za notranjo energijo sis-
tema, ki jo sestavlja vsota lastnih energij magnetnih dipol-
nih momentov molekul (2. člen) ter njihove medsebojne
interakcijske energije (1. člen) [5, 6]:
E = −
∑
i,k
Jikσiσk − pmB
∑
i
σi , (6)
kjer je pm velikost magnetnega dipolnega momenta ene
molekule, B gostota zunanjega magetnega polja, Jik
moč interakcijske energije (tj. moč sklopitve) med i-
tim in k-tim sosednjim magnetnim dipolom (pri čemer
upoštevamo samo najbližje sosede), spremenljivka σi
določa orientacijo posameznega magnetnega dipola (↑
pomeni usmeritev v smeri magnetnega polja (σ↑), ↓ pa
usmeritev v nasprotni smeri (σ↓)). Poljubno orientacijo
magnetnih dipolnih momentov atomov (molekul) smo,
tako kot že prej pri izpeljavi entropije sistema, nadome-
stili z dvema orientacijama ↑ in ↓ (slika 1). Pravimo, da
obravnavamo orientacijo magnetnega dipolnega momenta
molekule v okviru dvostanjskega modela.
V prvem členu enačbe (6), to je v izrazu za interak-
cijsko energijo magnetnih dipolnih momentov molekul v
sistemu, upoštevamo le interakcijske energije najbližjih
sosedov, kjer upoštevamo Jik = J . Ker pa interakcije
med sosednjimi magnetnimi dipolnimi momenti (spini)
štejemo dvakrat, moramo dodati faktor 1/2 (glej enačbo
(12)).
Tako lahko prvi člen v enačbi (6) zapišemo v obliki:
− J
∑
i,k
σiσk . (7)
J. I. Pavlič, A. Iglič: Isingov model feromagnetizma 237
Energijo sklopitve magnetnih dipolnih momentov
−J
∑
i,k
σiσk zapišemo v dveh korakih. Najprej
izračunamo povprečno energijo magnetnih dipolov, ki so
usmerjeni navzgor (↑):
− J(Nc+) σ↑ σ̄sosed z , (8)
kjer je Nc+ povprečno število magnetnih dipolov v sis-
temu, ki so usmerjeni navzgor (↑), N je število vseh ma-
gnetnih dipolov v sistemu, σ̄sosed je povprečna vrednost
σ najbližjih sosedov, ki jih je z:
σ̄sosed = (c+ − c−) . (9)
Kombinacija enačb (8) in (9) nam da:
− JNc+σ↑σ̄sosed z = −JNc+ (c+ − c−) z , (10)
kjer smo upoštevali σ↑ = 1. Podobno izračunamo še
povprečno energijo magnetnih dipolov v sistemu, ki so
usmerjeni navzdol (↓):
− JNc−σ↓σ̄sosed z = −JNc− (−1) (c+ − c−) z =
= −JNc− (c− − c+) z , (11)
kjer je Nc− povprečno število magnetnih dipolov v sis-
temu, ki so usmerjni navzdol (↓), in upoštevali smo, da je
σ↓ = − 1. Povprečno interakcijsko energijo vseh magne-
tnih dipolov v sistemu dobimo tako, da seštejemo enačbi
(10) in (11):
−J
∑
i,k
σiσk = −
1
2
zNJ [c+ c+ + c− c− − 2c+ c−] .
(12)
Število najbližnjih sosedov (z) okoli izbranega atoma je
v našem primeru v 3-D mrežni kocki enako 6, v 1-D
mrežnem modelu je z = 2, v 2-D mrežnem modelu pa
je z = 4).
Drugi člen iz enačbe (6), to je pmB
∑
i
σi, ki opi-
suje energijo magnetnih dipolov v povprečnem magne-
tnem polju B, izrazimo kot:
−pmB
∑
i
σi = −pmBN (c+ − c−) . (13)
Celotno povprečno energijo sistema E ob upoštevanju
enačb (6), (12) in (13) zapišemo v obliki:
E = −
1
2
zNJ
[
c2+ + c
2
− − 2c+ c−
]
−pmBN (c+ − c−) .
(14)
Vpeljemo novo spremenljivko x = c+ − c− , od koder
sledi:
c+ =
1
2
(1 + x) in c− =
1
2
(1 − x) . (15)
Ob upoštevanju izrazov v (15) lahko izraz za energijo E
(enačba (14)) zapišemo v obliki:
E = N
{
−
1
2
zJx2 − pmBx
}
, (16)
izraz za entropijo sistema S (enačba (5)) pa kot:
S = −kN
{
1
2
(1 + x) ln (1 + x) +
+
1
2
(1 − x) ln (1 − x) − ln 2
}
. (17)
Prosta energija sistema F = E − TS ima zdaj obliko:
F = N
{
−
1
2
zJx2 − pmBx +
+
kT
2
(1 + x) ln (1 + x) +
+
kT
2
(1 − x) ln (1 − x)
}
, (18)
kjer smo izpustili člen −kTN ln 2, ki ni odvisen od x.
V nadaljevanju poiščemo minimum proste energije
sistema F tako, da odvajamo enačbo (18) po spremen-
ljivki x :
∂F
∂x
= −zJx − pmB +
kT
2
[
ln (1 + x) +
(1 + x)
(1 + x)
]
+
+
kT
2
[
− ln (1 − x) −
(1 − x)
(1 − x)
]
=
= −zJx − pmB +
kT
2
ln
[
1 + x
1 − x
]
= 0 . (19)
Uvedemo oznako:
α = ln
[
1 + x
1 − x
]
=⇒ eα =
1 + x
1 − x
, (20)
od koder sledi:
x =
eα − 1
eα + 1
= tanh
α
2
. (21)
Ob upoštevanju definicije α lahko enačbo (19) zapišemo
takole:
α
2
=
pmB + zJx
kT
. (22)
Iz enačb (21) in (22) pa sledi :
x = tanh
[
pmB + zJx
kT
]
. (23)
V okviru obravnavanega Isingovega modela lahko ma-
gnetizacijo sistema M zapišemo takole:
M = n 〈pm〉 = n (c+ − c−) pm = n x pm =
N
V
x pm .
(24)
3 Napovedi modela
V nadaljevanju se lotimo reševanja enačbe (23) za več
posebnih primerov.
238 Pavlič, Iglič
1. Najprej obravnavamo sistem, kjer ni zunanjega
magnetnega polja (B = 0). Enačba (23) se v tem primeru
poenostavi takole:
x = tanh
[
zJx
kT
]
. (25)
Vpeljemo novo spremenljivko y = zJ
kT
x in enačbo (25)
zapišemo takole:
kT
zJ
y = tanh (y) . (26)
Rešitev enačbe (26) je pri vrednosti y, kjer se funkciji
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
y
y
’
y’ = y
y’ =
kT
zJ
y < y
y’ = tanh(y)
y’ =
kT
zJ
y > y
Slika 2. K reševanju enačbe (26).
Figure 2. Solving equation (26).
y′ = kT
zJ
y in y′ = tanh (y) sekata (slika 2). Premica
y′ = kT
zJ
y mora imeti naklonski koeficient kT
zJ
manjši
od 1, če naj se funkciji kT
zJ
y in tanh (y) sekata. Mejna
vrednost kTc
zJ
= 1 ustreza temperaturi faznega prehoda:
Tc =
zJ
k
, (27)
ki ji pravimo kritična ali fazna temperatura, pa tudi
Curijeva temperatura. Pri temperaturah pod Tc obstaja v
sistemu spontana magnetizacija M = n x pm, ki ustreza
neničelni rešitvi enačbe (25) (tj. x 6= 0). Nad kritično
temperaturo se spontana magnetizacija poruši, enačba
(25) takrat nima rešitve za x 6= 0. Za ilustracijo slika 3
shematsko prikazuje spontano magnetizacijo kot funkcijo
temperature T .
2. Vrnimo se k splošni enačbi (23) za primer B 6= 0 in
se vprašajmo, kaj se dogaja z magnetizacijo pri visokih
temperaturah, ki so nad kritično temperaturo TC .
Pri visokih temperaturah (T >TC) je argument v enačbi
(23) majhen. Tako uporabimo samo prvi člen razvoja
funkcije tanh(x) ≈ x v vrsto in enačbo (23) zapišemo v
obliki:
x ≈
(
pmB + zJx
kT
)
⇒ x
(
1 −
zJ
kT
)
=
pmB
kT
. (28)
T
T
C
M
Slika 3. Temperaturna odvisnost spontane magnetizacije M , ko
je B = 0.
Figure 3. Temperature dependence of magnetization M at
B = 0.
Ob upoštevanju zveze za Tc (enačba (27)), enačbo (28)
zapišemo takole:
x
(
1 −
Tc
T
)
=
pmB
kT
⇒ x =
pmB
kT
1 − Tc
T
. (29)
Enačbo (29) vstavimo v izraz za magnetizacijo (24) in do-
bimo:
M =
N
V
pmx =
N
V
pm
pmB
kT
1 − Tc
T
=
N
V
p
2
m
k
B
T − Tc
. (30)
Ob upoštevanju zveze B = µ0H iz enačbe (30) sledi:
M =
N
V
p
2
m
µ0
k
H
T − Tc
(31)
oziroma:
M =
C
T − Tc
H = χH , (32)
kjer je konstanta C definirana kot:
C =
N
V
p2mµ0
k
. (33)
Slika 4 shematsko prikazuje temperaturno odvisnost
spontane magnetizacije M in magnetne susceptibilnosti
χ. Kritične temperature TC (Curiejeve temperature) ne-
katerih feromagnetnih materialov so: za kobalt je TC =
1400 K, za železo je TC = 1043 K, za nikelj je
TC = 631 K.
4 Sklep
Isingov model se med drugim uporablja za opis fizi-
kalnih lastnosti dvokomponentnih zlitin, nevronskih mrež
in feromagnetnih materialov in njihovih faznih prehodov.
M
TTC
M
Slika 4. Shematski prikaz magnetizacije M in susceptibilnosti
χ v odvisnosti od temperature T . Pod temperaturo TC ima snov
feromagnetne lastnosti, nad temperaturo TC , pa paramagnetne
lastnosti.
Figure 4. Temperature dependence of magnetization M and su-
sceptibility χ. Properties of the matter below critical tempera-
ture TC are ferromagnetic and above TC they are paramagnetic.
Najpreprostejši je 1-D Isingov model, ki ga je Ising ana-
litično rešil že leta 1925 [6]. 1-D Isingov model ne na-
pove faznega prehoda v urejeno (feromagnetno) stanje pri
končni temperaturi [5].
2-D Isingov model je eksaktno že leta 1944 rešil Onsager
(npr. glej pod [7]). Posebne, praktične uporabe nima, saj
smo omejeni samo na dve dimenziji. Uporaben bi bil na
primer za zelo tanke plasti, pri dopiranju materialov, kjer
bi obravnavali zasedenost mest v mreži dopiranega mate-
riala.
V članku smo obravnavali 3-D Isingov mrežni model, ki
se lahko uporablja za opis volumskih (bulk) permanen-
tnih feromagnetnih materialov in njihovih kritičnih tem-
peratur. 3D Isingov model nima eksaktne rešitve, dobimo
le približek le-te. Mi smo 3-D Isingov model obravnavali
s približkom povprečnega polja in ob upoštevanju apro-
ksimacije za razvoj v vrsto za visoke temperature, dobili
rešitev za izraz za kritično temperaturo TC [7], pri kateri
se zgodi fazni prehod in s tem prehod iz urejenosti v neu-
rejenost spinov (spontana magnetizacija izgine).
Kot rečeno, feromagnetni materiali se uporabljajo za iz-
delavo permanentnih magnetov. Feromagnetni materiali
(npr. Fe, Co, Ni) imajo visoko remanentno (pre-ostalo)
magnetizacijo, tudi ko ni več prisotno zunanje magnetno
polje. Ferimagnetni materiali (npr. kombinacija Fe2+ in
Fe3+ ionov) pa imajo le delno urejene spine (magneti-
zacija je še vedno večja od nič, ko ni zunanjega magne-
tnega polja). Pri antiferomagnetnih materialih (npr. NiO,
FeMn) so si sosednji spini nasprotno obrnjenih (↑↓↑↓↑↓
itd.; pri tem je
∑
i
↑i=
∑
j
↓j in i = j), pri tem je ma-
gnetizacija nič, ko ni zunanjega magnetnega polja.
5 Literatura
[1] Mattis D. C., The theory of magnetism made simple,
World scientific, 2006.
[2] Iglič A., Kralj-Iglič V., Izbrana poglavja iz fizike
mehke snovi, Založba FE in FRI, 2006
[3] Dill K., Molecular driving forces, Garland Science,
2003.
[4] Wannier G. H., Statistical physics, Dover, 1987.
[5] Vilfan I., Isingov model, Obzornik za matematiko in
fiziko, letnik 44, številka 4, str. 105, jul. 1997.
[6] Hladnik M., Binarna zaporedja, prepogibanje papirja in
statistična fizika, Obzornik za matematiko in fiziko, le-
tnik 44, številka 2, str. 40, mar. 1997.
[7] Cipra B., An introduction to the Ising model, American
Mathematical Monthly, vol. 94, iss. 10, p. 937, dec.
1987.
Prof. Aleš Iglič je doktoriral s področja fizike in elektrotehnike,
Univerza v Ljubljani. Od leta 2007 je zaposlen kot redni pro-
fesor na Fakulteti za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani in je
vodja Laboratorija za biofiziko. Njegovi področji raziskovanja
sta elektrostatika in biomehanika bioloških nanostruktur.
Janez Ivan Pavlič je leta 2005 diplomiral na Fakulteti za elek-
trotehniko, Univerza v Ljubljani. Trenutno je mladi raziskovalec
na Zdravstveni fakulteti, Univerza v Ljubljani. Eksperimentalno
delo opravlja v Laboratoriju za fiziko. Njegovo področje dela so
biofizika lipidnih membranskih sistemov in njihove interakcije.