1 Uvod
V [1] vidimo potek cikličnih sprememb svetovne
konjukture in inovacij v zadnjih dvesto letih in sicer s
periodo nihanja okoli petdeset let in časovnim (faznim)
premikom približno polovico periode. V literaturi so
podobna nihanja poimenovali po Kondratjevu, ki je baje
umrl v sovjetskem gulagu. Združenje švicarskih
bančnikov je objavilo kratkoročnejša nihanja rasti
borznih indeksov in gospodarstva nekaterih razvitih
držav z nedoločeno periodo nihanja, s faznim premikom
med navedenima veličinama okoli četrtine periode in
različnim faznim premikom med posameznimi
državami [2].
Ciklična nihanja gospodarstva in financ si lahko
predstavljamo kot neobvladljivost ustreznih sistemov, ki
se odraža v njihovi nestabilnosti. Nekateri ekonomisti so
kritizirali Mednarodni denarni sklad, da v začetku
azijske krize ni ravnal prav [3]. Mednarodni denarnik in
filantrop Soros predlaga, da bi ustanovili posebno
mednarodno organizacijo, ki bi skrbela za ublažitev kriz
[4]. Nekateri finančni ministri si prizadevajo, da bi
omejevali nihanja valutnih menjav. Problem je v
razčlembi in obvladanju ustreznih sistemov, kar zahteva
poglobljene raziskave. Tu si bomo ogledali gospodarska
in finančna gibanja nekaterih razvitih držav od leta 1980
in jih le grobo primerjali s pojavi v obravnavanih
fizikalnih in tehničnih sistemih. Ugotovili bomo, da so
gospodarstvo in finance do neke mere povezan sistem z
dvema zaporednima integralnima členoma, ki je sam po
sebi nestabilen, če nima poleg trga ustrezne regulacije
pretoka denarja in blaga, kar še posebej velja za države
v razvoju.
Prejet 23. september, 2004
Odobren 16. maj, 2005
Fizikalni pogled na nihanja gospodarstva in financ 39
Slika 1: Vezane posode, analogni toplotni sistem in analogna
električna veriga RC
Figure 1. Combined vessels, analog heat transfer and analog
RC ladder (details are in the text)
2 Vezane posode
Na sliki 1 so shematsko prikazani trije analogni sistemi:
hidravlični sistem treh vezanih posod, poenostavljeni
analogni toplotni sistem treh teles in ustrezno električna
veriga RC. Analogija velja, če je izhodih posod
razmeroma velik upor oziroma če se v ustreznih vodi
razvije kinetična energija, ki je glede na potencialno
energijo v posodah zanemarljiva. Za toplotni sistem na
sliki 1, kjer je ogrevano prvo telo z močjo P in se
toplota širi na drugo in tretje telo ter končno na okolje,
ustreza sistem diferencialnih enačb:
P
Rdt
d
C =
−
+
1
211
1
δδδ
1
21
2
322
2 RRdt
d
C
δδδδδ −
=
−
+
2
32
3
33
3 RRdt
d
C
δδδδ −
=+ (1)
C1, C2, C3 – toplotne kapacitete teles; δ1, δ2, δ3 –
temperature teles (nad okoljem); P – moč ogrevanja
prvega telesa;
R1, R2, R3 – upori med prvim in drugim telesom, drugim
in tretjim telesom ter med tretjim telesom in okoljem
Analogija med tremi sistemi na sliki 1 je opisana v [5].
Tu bomo opisali le rešitev za toplotni sistem v primeru
toplotnega ogrevanja in:
R1C1 = R2C2 = R3C3 = T – časovne konstante teles
R1/R2 = R2/R3 = 0,5
δ1 = δ1c [1 - 0,706exp(-0,33t/T) - 0,2365exp(-1,25t/T) -
0,0675exp(-2,4t/T)] (2)
δ2 = δ2c [1 - 1,418exp(-0,33t/T) + 0,177exp(-1,25t/T) +
0,241exp(-2,4t/T)] (3)
δ3 = δ3c [1 - 1,807exp(-0,33t/T) + 1,2exp(-1,25t/T) -
0,393exp(-2,4t/T)] (4)
δ1c = (R1 + R2 + R3)P;      δ2c = (R2 + R3)P;       δ3c = R3P
Slika 2: Poteki temperature toplotnega sistema s slike 1
Figure 2. Temperature variations for the heat transfer from
figure 1
Krivulje 1s, 2s in 3s na sliki 2 ustrezajo izrazom (2), (3)
in (4) in veljajo za popolno ogrevanje obravnavanih treh
teles po vklopu ogrevanja s stalno močjo P. Krivulje 10,
20 in 30 ustrezajo popolnemu ohlajevanju teles in so
komplementarne prvim, krivulje 1, 2 in 3 pa ustrezajo
ogrevanju in ohlajevanju teles, če je termostat (brez
časovne konstante) prirejen prvemu telesu ter je
nastavljen na 0,6δ1c in ima vklopno razliko 0,4δ1c (slika
2 zgoraj). Če je termostat prirejen tretjemu telesu in ima
vklopno razliko 0,02δ3c, poteka segrevanje in
ohlajevanje teles po spodnji sliki 2. Trajanje ogrevanja
ustreza vklopu termostata, trajanje ohlajevanja pa
izklopu termostata. Ob toplotnem viru temperatura
najbolj niha (prvo telo), z oddaljenostjo od vira pa vse
manj, tam nastaja čedalje večji fazni (časovni) premik in
se potek temperature nagiba k sinusni krivulji. Če je
termostat prirejen tretjemu telesu, tako rekoč ne
moremo regulirati (stabilizirati) njegove temperature.
Slika 2 ustreza tudi sistemu vezanih posod (slika 1),
če upoštevamo analogijo med dotokom in močjo
ogrevanja na vhodu, med odtokom in močjo na izhodu
(oddana toplota okolju) ter med višinami vode v
posodah in temperaturami teles; namesto termostata pa
vklapljanje in izklapljanje črpalke v dotoku pri
določenih gladinah vode. V konkretnem primeru
moramo seveda prirediti sistem konkretnim razmeram.
Rusjan, Rusjan 40
Poseben primer vezanih posod je visokotlačna pretočna
hidroelektrarna, kjer je odtok speljan do turbine, ki je
veliko niže kot oba bazena. V odtoku in v vodu med
bazenoma se razvije kinetična energija, ki ni
zanemarljiva v primerjavi s potencialno energijo vode v
vodostaju (drugem bazenu v smer dotoka), zato pri
spremembi odtoka gladina vode v vodostaju zaniha, kar
bomo pojasnili v naslednji točki. Veriga RC na sliki 1
ustreza prevajanju toplote skozi stene [6].
3 Sistem vzmetenja in dušenja
Na sliki 3 sta shematsko prikazana tak sistem in
analogno električno vezje. Ustrezni sistemski
diferencialni enačbi sta:
)(2
2
tFkx
dt
dx
b
dt
xd
m =++ (5)
)(2
2
tUU
dt
dU
RC
dt
Ud
LC c
cc =++ (6)
Prvi člen (5) je zmnožek mase telesa in drugega odvoda
pomika telesa po času (pospeška) in pomeni
vztrajnostno silo, drugi člen je zmnožek dušenja b in
prvega odvoda pomika telesa po času (hitrosti) in
pomeni silo dušenja, tretji člen je zmnožek sile vzmeti
na enoto pomika k in pomika x in pomeni silo vzmeti.
F(t) je zunanja sila in je na splošno funkcija časa t. Prvi
člen (6) pomeni napetost na dušilki L, drugi napetost na
uporu R, tretji pa napetost na kondenzatorju C. U(t) je
vhodna (vsiljena) napetost in je na splošno funkcija
časa t.
Enačbi (5) in (6) napišemo v operatorski obliki [5] in
sicer:
kmpkpbpF
pkx
//1
1
)(
)(
2++
= (7)
LCppRCpU
pU c
21
1
)(
)(
++
= (8)
oziroma:
2
0
2
0 //21
1
)(
)(
)(
)(
ωωζ pppU
pU
pF
pkx c
++
== (9)
Če primerjamo (7) in (9) ter (8) in (9), sledi:
naravna krožna frekvenca (v radianih na sekundo)
LCmk /1/0 ==ω (10)
faktor dušenja sistema (brez dimenzij)
LCRmkb /5.0/2/ ==ζ (11)
Slika 3: Sistem vzmetenja in dušenja ter analogno električno
vezje; k – sila vzmeti na enoto pomika, m – masa, b – dušenje,
R – upor, L – dušilka, C – kondenzator, U – vsiljena napetost
Figure 3. Damped spring-mass system and analog RCL circuit
(k = spring force per unit of shifting, m = mass, b = damping,
R = resistance, L = inductance, C = forced voltage)
Slika 4: Časovni odziv pomika x sistema s slike 3 na hipni
spremembo zunanje sile F0 (napetosti na kondenzatorju Uc po
vklopu enosmerne napetosti U0, relativne vrednosti glede na
F0/x oziroma U0); ω0t – produkt naravne krožne frekvence
sistema (vezja) in časa
Figure 4. Shifting time response (x) of the system from figure
3 to a step variation of the external Force (F0), capacitor
voltage (Uc) after switching on the continuous voltage (U0,
relative values related to F0/k and U0). ω0t – product of the
system natural circural frequency and time
Fizikalni pogled na nihanja gospodarstva in financ 41
3.1 Prosto gibanje (vklop enosmerne napetosti)
Če zunanja sila hipno poskoči na določeno vrednost F in
ostane potem ves čas opazovanja enaka, je pomik v
časovnem območju podan z inverzijo (9):






−
−
+= )(
1
1)( 21 12
21
0 tptp epep
ppk
F
tx (12)
p1 in p2 sta korena ustrezne karakteristične enačbe,
Den(9)=0.
Za ζ=2 sledi iz (12):
[ ]tt ee
k
F
tx 00 732,3268,00 077,0077,11)( ωω −− +−= (13)
Na sliki 4 je časovni odziv pomika ustrezno (13) in
napetosti kondenzatorja za faktor dušenja 2 preostali
časovni odzivi izhajajo iz [5]. Če je ζ<1 sistem določen
čas niha (aperiodično), in sicer tembolj, čim manjši je
faktor dušenja ζ. Če je ζ=0 sistem niha harmonsko
(periodično po sinusni krivulji) s krožno frekvenco ω0.
Pri ζ<1 je krožna frekvenca nihanja sistema:
2
00 1 ζωω −= (15)
3.2 Vsiljeno nihanje
Vsiljeno nihanje pomeni, da zunanja sila (vsiljena
napetost) izvaja na sistem stalno nihanje. Ponavadi
upoštevamo sinusno periodično (harmonsko) nihanje. V
tem primeru je v (5):
F(t) = F0sinωt;
F0 amplituda zunanje (vsiljene) sile
ω krožna frekvenca vsiljenega nihanja
Rešitev (5) v tem primeru da podobne krivulje (sliki 4),
le da imajo superponirano vsiljeno nihanje [7, 8]. Tako
nihanje nastane tudi v vezanih posodah, če je v vodih
med njimi in v odvodu kinetična energija, ki ni
zanemarljiva v primerjavi s potencialno energijo vode v
posodi ob odvodu. V praksi je to primer tlačne
hidroelektrarne, ki smo ga omenili že v točki 2.
V stacionarnem stanju v (9) vstavimo p=jω (j je
imaginarno število) in je ustrezna rešitev:
2
0
22
0
2
0
)/2()/1(
)sin(
)(
ωζωωω
ϕω
+−
+
=
t
k
F
tx (15)
2
0
2
0
/1
/2
ωω
ωζω
ϕ
−
= arctg
Če je faktor dušenja sisitema nič (ζ=0), doseže
amplituda pomika telesa obravnavanega sistema v
resonanci (ω=ω0) neskončnost. V praksi je seveda
vrednost dušenja končna. Vendar je v ZDA leta 1940 ne
zelo močan veter spravil viseči most (Tacoma Narrow
Bridge) v resonančno gibanje in ga porušil [9]. V
Londonu so imeli pred leti težave s stabilnostjo visečega
mostu za pešce čez Temzo (Millenium Bridge) in tudi
pri nas je znan podoben primer [10]. Resonančno
nihanje je pogosto v elektrotehniki. Za vezje RLC velja
(15), če upoštevamo napetost na kondenzatorju Uc(t)
namesto pomika x(t) in amplitudo vsiljene napetosti  U0
namesto F0/k. Pri vsiljenem nihanju se v stacionarnem
stanju amplituda odzivne veličine sistema spremeni in
med vsiljeno in odzivno veličino nastane fazni premik,
frekvenca nihanja odzivne veličine pa je enaka vsiljeni.
To velja tudi za sisteme vezanih posod in analogna
sistema v točki 2, čeprav je bilo tam vsiljeno nihanje
pravokotno in ne sinusno.
V [5, 11-13] vidimo, da nihanja, ki smo jih opisali v
točki 3 nastajajo tudi v regulacijskih sistemih.
4 Finančna in gospodarska gibanja
Na sliki 5 so poteki nekaterih veličin nekaterih razvitih
držav ter cen zlata in nafte v daljšem obdobju [14, 15,
16]. Druga naftna kriza leta 1979 je najbolj povišala
cene zlata in nafte, zatem inflacijo in obresti ter končno
valutno menjavo. Cena zlata je bila pred krizo leta 1979
okoli 200 dolarjev za unčo, cena nafte pa okoli 13
dolarjev za sod. Cena zlata je drugič poskočila še pred
zalivsko vojno, med azijsko in rusko krizo pa je padala.
Zalivska vojna je dvigala ceno nafte, inflacijo in obresti
tako rekoč sočasno, v Nemčiji je sicer inflacija
naraščala še dve leti po zalivski vojni, verjetno zaradi
združitve z vzhodnimi deželami. Cena nafte je
11.9.2001 poskočila in takoj za tem še bolj padla, potem
pa se je dvigala in nihala. Poteka valutnih menjav sta
bistveno premaknjena poteki drugih veličin, ker gre za
razmerje dveh spremenljivk. Delno razlago za ta pojav
vidimo na sliki 2, če primerjamo razmerje temperatur
prvega in drugega ali drugega in tretjega telesa pri
popolnem ogrevanju ali ohlajevanju. Ameriška vlada je
pred leti grozila Japonski z znižanjem vrednosti dolarja.
Tedaj se ameriški ekonomisti niso oglasili. Odzvali so
se na koncu leta 1998, ko so se nekateri finančni
ministri zavzemali za omejevanje nihanja valut in dejali,
da to ni mogoče, češ da to nihanje določa denarni trg.
Obresti (dolgoročne) so se v zadnjih letih ustalile. V
Združenih državah si niso enotni glede vpliva obresti
nacionalnih bank na gospodarstvo in finance. Te sicer
potekajo drugače in tam jih dozirajo v desetinkah
odstotka [14]. Na Japonskem so jih znižali na minimum
in se to zdi brez haska, tudi v ZDA še ni videti odziva
na njihovo zniževanje.
Slika 6 kaže poteke nekaterih gospodarskih in
finančnih veličin Združenih držav in Japonske [14, 15,
16]. Bruto domači proizvod in industrijska proizvodnja
ZDA sta po drugi naftni krizi nekoliko bolj padla kot po
zalivski vojni in borzni indeks v New Yorku Dow Jones
42      Rusjan, Rusjan
Slika 5: Dolgoročne obresti (Int) v Združenih državah Amerike (USA), Japonski (J) in Nemčiji (D); menjava japonskih jenov z
ameriškimi dolarji (YEN/USD) in nemških mark z ameriškimi dolarji (DEM/USD); cene zlata in nafte na londonski borzi v
dolarjih za čisto unčo (USD/oz) in v dolarjih na sod  (USD/bl) ter inflacija (Inf) v Italiji (I), Veliki Britaniji (GB), Nemčiji (D) in
Združenih državah Amerike (USA) od leta 1980
Figure 5. Long-term interest rates (Int) in the Unated States (USA), Japan (J) and in Germany (D); exchange of Japanese yen
with American dollar (YEN/USD) and German mark with American dollar (DEM/USD); gold and oil prices in dollars per ounce
(USD/oz) and dollars per barrel (USD/bl) on the London stock market and inflation (Inf) in Italy (I), Great Britain (GB),
Germany (D) in United States (USA) from 1980
se je z njima približno skladal, vendar je naraščal
hitreje, nanj so sicer vplivale tudi krize v Argentini,
Mehiki, Aziji in Rusiji. Konec tisočletja je ta indeks
prenehal naraščati in kmalu zatem je industrijska
proizvodnja padla. Opazna sta bila padec tega indeksa
11.9.2001 in poznejše iznihanje, vendar na nižjo
vrednost, in ponovni padec. Z majhnim premikom so
začeli padati tudi borzni indeksi v Londonu, Frankfurtu,
Stockholmu in drugje, nastala je recesija. Borzni indeks
v Tokiu Nikkei je zaznamoval velik padec že pred
zalivsko vojno. Japonska industrijska proizvodnja je po
zalivski vojni doživela nekajletni padec in stagnacijo, ki
sta se končala s krizo leta 1997. Menjava jena z
dolarjem je po zalivski vojni padala (vrednost jena je
naraščala) do leta 1995 (podobno kot marke, slika 5).
Zato je gospodarstvo ZDA postalo konkurenčno in je
zelo napredovalo, to je še bolj veljalo za borzni indeks
Dow Jones, in sicer do preobrata (začetek leta 2000).
Fizikalni pogled na nihanja gospodarstva in financ 43
Slika 6: Indeksi na borzah v New Yorku (Dow Jones; DJ) in Tokiu (Nikkei, Nik), bruto domači proizvod (BDP), industrijska
proizvodnja (IP, 100% ustreza letu 1980) in brezposelnost (NP) v Združenih državah Amerike (USA) in Japonski (J) ter menjava
japonskih jenov z ameriškimi dolarji (YEN/USA) od leta 1980
Figure 6. Stock prices in New York (Dow Jones; DJ) in Tokyo (Nikkei, Nik); real GDP (BDP), Industrial production (IP, 100%
refers to 1980) and unemployment (NP) in the United States (USA) and in Japan (J); exchange of Japanese yen with American
dollar (YEN/USA) from 1980
Ali bo prišlo v ZDA do krize, kot na Japonskem, je
odvisno od odzivnosti tamkajšnjih dejavnikov. Gibanje
brezposelnosti v ZDA ima manjši časovni premik za
drugo naftno krizo in zalivsko vojno kot na Japonskem,
kar kaže na večjo odzivnost ZDA.
Svetovno gospodarstvo res niha, še bolj pa svetovne
finance. To nihanje povzročajo različne vojne in krize.
Poteka inflacije in cen na drobno v Združenih državah
Amerike in v Veliki Britaniji od leta 1918 to potrjujeta
[17, 18]. Bruto domači proizvod in industrijska
proizvodnja v domačih razmerah potekata integralno
(naraščata po času) in enako poteka ustrezni borzni
indeks. To pomeni, da sta v sistemu gospodarstva in
financ dva zaporedna integralna člena, kar pomeni
nestabilen sistem [12, 13]. Kako stabilizirati tak sistem,
nakazujemo v točki 5.
5 Sklepne pripombe
Pojavi v sistemu vezanih posod so lahko razmeroma
mirni in neproblematični ter podobni pojavom v
poenostavljenem analognem toplotnem sistemu in v
električnem vezju z ustreznim številom členov RC, ali
pa so burni in problematični, če se v vodih razvije
kinetična energija, ki ni zanemarljiva glede na
potencialno energijo tekočine v posodah. V tem primeru
gre za superpozicijo pojavov z dinamiko sistema
vzmetenja in dušenja, nihala, električnega vezja RLC ali
normalnega regulacijskega sistema pri hipni spremembi
vhodne veličine.
Časovnimi poteki gospodarskih in finančnih veličin
kažejo, da se te različno odzivajo na krize in vojne.
Najprej naraščajo cene in inflacija ter obresti, kar se
najprej pozna v gospodarstvu, potem pa v menjavi valut
in brezposelnosti. Po drugi naftni krizi leta 1979 je med
razvitimi državami najmanj trpela industrijska
proizvodnja na Japonskem, po zalivski vojni leta 1990
pa so najmanj trpele ZDA in Japonska, ki je potem zašla
v recesijo in krizo (azijska kriza leta 1997), tam še ni
okrevanja. Združene države in Evropa so sedaj v
recesiji. Nekateri menijo, da jim grozi kriza kot na
Japonskem, zaradi večje odzivnosti pa morda ne bo
prišlo do nje oziroma bo blažja.
Sistem gospodarstva in financ se kaže kot sistem z
dvema zaporednima integralnima členoma, ki je v
matematičnem pogledu sam po sebi nestabilen. Nekateri
bodo rekli, da v njem ne velja čista matematika, zato ne
kaže dramatizirati. Naj omenimo, da je pretočna
hidroelektrarna s servomotorjem za odpiranje in
zapiranje turbine tudi sistem z dvema zaporednima
integralnima členoma. Ta obratuje gospodarno in varno,
če ima regulacijo odtoka glede na dotok in regulacijo
zgornje gladine, če se zahteva večja oddana moč
(odtok), je to morda le določen čas, ki je pogojen z
minimalno zgornjo gladino, in počasno spremembo
odtoka, ki preprečuje nihanje gladine v vodostaju. Po
analogiji bi lahko rekli, da bi kazalo imeti tudi v
gospodarstvu in financah poleg trga ustrezne
regulacijske sisteme. Najbolj nevarni so nenadni odtoki
denarja, ker povzročajo največjo nestabilnost oziroma
krizo, zato se regulacija pretoka denarja in blaga vsiljuje
sama po sebi, kar še posebej velja za države v razvoju.
6 Literatura
[1] K. W. Usemann, In Sinne Rietschels: 100 Jahre
Kongresse für technische Gebaudeausrüstung
1896-1996 – Streiflichter aus der Vergangenheit,
Gesundh.-Ing. 117 (1996), H.4, S.165-186.
[2] DELO, Gospodarstvo in finance, Ljubljana,
16.12.1992 (Neue Zürcher Zeitung).
[3] J. D. Sachs, IMF v Aziji, DELO, SP, Ljubljana,
31.1.1998, str.44
[4] G. Soros, Ustanovimo sestro za IMF, DELO, SP,
Ljubljana, 10.1.1998, 12.10.2002.
[5] B. Rusjan, E. Rusjan, Grobvergleich der Dynamik
von technischen und wirtschaflichen Systemen,
Gesundh.-Ing. 121 (2000), H.1, S.31-39.
[6] B. Rusjan, Nachbildung der Raumlufttemperatur in
Gebäuden schwerer Bauart, Gesundh.- Ing. 112
(1991), H.4, S.182-190.
[7] K. R. Nagle, E. B. Saff, Fundamentals of
Differential Equations, Addison Westley, Inc.,
USA, 1994.
[8] D. A. Coker, E. Rusjan, W. J. Thistleton, An
Interactive Laboratory Suite for the Differential
Equations Class Category: Using Technology,
SUNY Institute of Technology, Utica/Rome, New
York 1995.
[9] R. Resnik, D. Halliday, Physics, Part. 1, John
Wiley & Sons, Inc., New York – London –
Toronto, 1997.
[10] Nestabilen most smo imeli tudi pri nas, DELO,
Znanost, 12.9.2001.
[11] B. Rusjan, Regelung der Raumtemperatur mit
Thermostatventilen bei zentralbeheizten Wohnge-
bäuden, Gesundh.-Ing. 116 (1995), H.1, S.17-26.
[12] H. Chestnut, R. W. Mayer, Servomechanisms and
Regulating Systems Design, Vol.1, John Wiley &
Sons, Inc., New York – London 1959.
[13] C. B. Kou, Automatic Control System, Prentis –
Hall, Inc., Englewood Cliffs, New York 1962,
1982.
[14] DELO, Gospodarstvo in finance, Ljubljana
(dnevna in občasna poročila).
[15] OECD Economic Outlook 62, 63, June 1989, June
2002.
[16] OECD Main Economic Indicators, Vol. 2002/8.
[17] DELO, Ljubljana, 12.4.1995 (The Economist,
Datastream).
[18] DELO, Ljubljana, 21.7.1993.
Bruno Rusjan je diplomiral in doktoriral na Fakulteti za
elektrotehniko Univerze v Ljubljani v letih 1954 in 1962. Leta
1954 se je zaposlil v tovarni TELA, kjer je razvijal aparate za
termično zaščito električnih strojev, termostate in naprave za
javljanje požara. Leta 1961 je prešel v Zavod za
avtomatizacijo, kjer je razvijal naprave za regulacijo obločnih
peči, obdelovalnih in papirnih strojev, varilnih avtomatov,
ladijskih generatorjev, transformatorskih postaj in
hidroelektrarn. Od leta 1971 se ukvarja z gospodarno rabo
energije za ogrevanje in ohlajevanje prostorov.
Edmond Rusjan je diplomiral iz fizike leta 1983 in
matematike 1984 na Fakulteti za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, doktoriral je leta 1988 na Virginia Tech
v Blackburgu, ZDA. Na isti univerzi in na University of
Delaware je bil do leta 1991 na podoktorskem delu. Zatem se
je zaposlil na SUNY Institut of Tecnology Utica/Rome, NY,
kjer je sedaj izredni profesor in vodja oddelka za matematiko.
Ukvarja se s transportno teorijo, teorijo strun, modeliranjem
informacijskih sistemov in toplote v zgradbah.