1 UVOD
V [1] je bila s pomočjo diferenčne evolucije (DE) [2]
določena nelinearna magnetna karakteristika enofaznega
transformatorja, ki je bila v matematičnem modelu
podana z vsoto eksponentnih funkcij. Na predstavljen
način lahko določimo parametre enofaznega
transformatorja v celoti. Realnemu enofaznemu
transformatorju poiščemo ustrezen matematični
dinamični model. V naslednjem koraku, ob posnetih
odzivih primarnih in sekundarnih napetosti in tokov pri
vklopnem pojavu, prostem teku in obremenitvi, s
pomočjo DE poiščemo tiste vrednosti parametrov
dinamičnega modela, pri katerih dosežemo čim boljše
ujemanje izmerjenih in izračunanih vrednosti. V tem
primeru lahko trdimo, da smo s tako določenimi
parametri pri danem dinamičnem modelu
transformatorja poiskali najboljšo aproksimacijo
realnega transformatorja.
Aproksimacija osnovne magnetilne krivulje z vsoto
eksponentnih funkcij se pri hkratni določitvi vseh
parametrov enofaznega transformatorja lahko izkaže za
problematično, saj poveča računsko togost
simulacijskega modela, ki pride še posebej do izraza
zaradi poljubnih vrednosti poskusnih parametrov DE in
pogosto povzroči divergenco integracijske metode in
posledično prekinitev optimizacije z DE. V takih
primerih se kot bolj primerna izkaže aproksimacija
osnovne magnetilne krivulje z vsoto sigmoidne funkcije
(npr. hiperbolični tangens ali normirani arkus tangens)
in inverznega hiperboličnega sinusa, ki smo jo uporabili
tudi v prispevku.
V prispevku so prikazani rezultati določitve
parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo DE z
različnimi aproksimacijami osnovne magnetilne
krivulje.
Prejet 28. september, 2015
Odobren 27. november, 2015
DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA TRANSFORMATORJA S POMOČJO DIFERENČNE EVOLUCIJE 7
2 DINAMIČNI MODEL ENOFAZNEGA
TRANSFORMATORJA
Enofazni transformator je shematsko predstavljen na
sliki 1.
Slika 1: Model enofaznega transformatorja z železnim jedrom
Dinamični model enofaznega transformatorja je podan z
(1) in (2), ki opisujeta napetostni ravnotežji v
primarnem in sekundarnem navitju:
dt
d
N
dt
di
LRiu

 1
1
1111
  (1)
dt
d
N
dt
di
LRiu

 2
2
2222
  (2),
kjer so u1, u2 in i1, i2 primarna in sekundarna napetost in
toki, R1 in R2 sta primarna in sekundarna upornost
navitja, L1 in L2 sta primarna in sekundarna stresana
induktivnost navitja, N1 in N2 sta števili ovojev
primarnega in sekundarnega navitja, medtem ko je 
magnetni pretok v železnem jedru. Magnetna napetost v
železnem jedru je podana kot  = N1 i1 + N2 i2.
Histerezne in vrtinčne izgube v železnem jedru lahko
predstavimo poenostavljeno z ohmsko upornostjo RFe.
Napetostno ravnotežje v železnem jedru je v tem
primeru podano s (3):
dt
d
NRi
FeFe

1
0   (3),
kjer je iFe tok, ki teče skozi železno jedro, medtem ko je
magnetna napetost v železnem jedru  = N1 (i1 – iFe) +
N2 i2. Po posrednem odvajanju magnetnega pretoka po
magnetni napetosti zapišemo dinamični model
enofaznega transformatorja z upoštevanjem histereznih
in vrtinčnih izgub s (4), (5) in (6).




dt
di
N
dt
di
LRiu 1
2
1
1
1111



dt
di
N
dt
di
NN Fe








 2
1
2
21
(4)




dt
di
NN
dt
di
LRiu 1
21
2
2222



dt
di
NN
dt
di
N Fe









21
22
2
(5)




dt
di
NRi
FeFe
12
1
0


dt
di
N
dt
di
NN Fe








 2
1
2
21
(6)
Osnovna magnetilna krivulja je sigmoidne oblike,
zato so za njeno aproksimacijo primerne tudi sigmoidne
funkcije [3]. Sigmoidne funkcije so semilinearne
funkcije, kar pomeni, da so monotono naraščajoče ali
padajoče, zvezno odvedljive ter navzgor in navzdol
omejene. Za aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje
v območju krepitve magnetnega polja sta primerni
sigmoidni funkciji hiperbolični tangens in arkus
tangens. Katera funkcija se izbere, je odvisno od oblike
magnetilne krivulje magnetnega materiala. Hiperbolični
tangens je primeren za aproksimacijo magnetilnih
krivulj z izrazitejšim kolenom, arkus tangens pa je
primernejši  za magnetne materiale z mehkejšim
prehodom v nasičenje. Aproksimaciji osnovne
magnetilne krivulje s sigmoidnimi funkcijami in
inverznim hiperboličnim sinusom, ki ju bomo uporabili,
sta naslednji:
1. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje s
sigmoidno funkcijo hiperbolični tangens (MK-1)
zapišemo s (7) in njen parcialni odvod po
magnetni napetosti z (8).
   
54321
arsinhtanh kkkkk    (7)
   2
4
43
2
221
1
1
ch
1


k
kk
k
kk



  (8)
2. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje s
sigmoidno funkcijo arkus tangens (MK-2)
zapišemo z (9) in njen parcialni odvod po
magnetni napetosti z (10).
   
54321
arsinharctan
2
kkkkk  

  (9)
   2
4
432
2
21
1
1
1
12


k
kk
k
kk





  (10)
Za primerjavo bomo uporabili aproksimacijo osnovne
magnetilne krivulje z vsoto eksponentnih funkcij iz [1]:
3. Aproksimacijo osnovne magnetilne krivulje z
vsoto eksponentnih funkcij (MK-3) zapišemo z
(11) in njen parcialni odvod po magnetni
napetosti z (12).
   
531
42 e kkek
kk


  (11)
   


42
4321
kk
ekkekk 


(12)
Dinamični model enofaznega transformatorja smo
sestavili v modulu Simulink programskega paketa
i1 i2
u
1 u2
8  SLOKAN, ŠTUMBERGER
Matlab, in sicer za primera prostega teka in
obremenitve.
3 DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA
TRANSFORMATORJA S POMOČJO DE
Blokovna shema določitve parametrov enofaznega
transformatorja s pomočjo DE je predstavljena na
sliki 2.
Slika 2: Blokovna shema
Za določitev parametrov v skladu z blokovno shemo na
sliki 2 je treba posneti časovne poteke napetosti in tokov
med vklopnim pojavom, prostim tekom in pri
obremenitvi enofaznega transformatorja. Posnetek
vklopnega pojava prostega teka nam omogoča določitev
vrednosti ohmske upornosti primarnega navitja R1,
stresane induktivnosti primarnega navitja L1, števila
ovojev primarnega in sekundarnega navitja N1 in N2,
parametrov k1, k2, k3 in k4 aproksimacijske funkcije
osnovne magnetne krivulje in ohmske upornosti
železnega jedra RFe. Posnetek vklopnega pojava
obratovanja pod obremenitvijo pa nam omogoča
določitev vrednosti ohmske upornosti sekundarnega
navitja R2, stresane induktivnosti sekundarnega navitja
L2, ohmske upornosti bremena Rb in preostalega
magnetnega pretoka – remanence r.
Merjene vrednosti so primarna in sekundarna
napetost ter primarni in sekundarni tok. Kot merilo
ujemanja med vrednostmi primarnega toka, sekundarne
napetosti in sekundarnega toka, izračunanimi z
dinamičnim modelom transformatorja, ter njihovimi
izmerjenimi vrednostmi na realnem  transformatorju, je
srednji kvadratni pogrešek v danem časovnem intervalu
t  [t1,t2]. Minimiziramo ga s pomočjo DE, ki poišče
takšne vrednosti parametrov matematičnega modela
enofaznega transformatorja, ki zagotavljajo najmanjše
odstopanje izmerjenih in izračunanih vrednosti.
Po svojih velikostih srednji kvadratni pogreški
primarnega toka, sekundarne napetosti in sekundarnega
toka medsebojno niso primerljivi. Da bi bili, jih je treba
ustrezno utežiti. Temu se lahko izognemo tako, da jih
raje normiramo, in sicer prvega s srednjim kvadratom
izmerjenega primarnega toka i1m
2
(t), drugega s srednjim
kvadratom izmerjene sekundarne napetosti u2m
2
(t) in
tretjega s srednjim kvadratom izmerjenega sekundar-
nega toka i2m
2
(t). Kriterijsko funkcijo qpt, uporabljeno
med vklopnim pojavom neobremenjenega transfor-
matorja, zapišemo s (13):
 
 
 
 









2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
12
2
12
2
1
12
2
12
1
1
1
1
t
t
m
t
t
u
t
t
m
t
t
i
pt
du
tt
de
tt
di
tt
de
tt
q




(13),
kjer je ei1 = i1m(t) – i1(t) razlika med izmerjenim in
izračunanim primarnim tokom in eu1 = u2m(t) – u2(t)
razlika med izmerjeno in izračunano sekundarno
napetostjo. Pri vklopnem pojavu obremenjenega
transformatorja uporabimo kriterijsko funkcijo qob  (14)
 
 
 
 











2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
12
2
12
2
1
12
2
12
1
1
1
1
t
t
m
t
t
u
t
t
m
t
t
i
ob
du
tt
de
tt
di
tt
de
tt
q




 
 



2
1
2
1
2
2
2
12
2
12
1
1
t
t
m
t
t
i
di
tt
de
tt


(14),
kjer je ei2 = i2m(t) – i2(t) razlika med izmerjenim in
izračunanim sekundarnim tokom. Kriterijskima
funkcijama (13) in (14) bi lahko dodali še npr. pogrešek
maksimalne vrednosti primarnega toka, ki bi ga seveda
morali ustrezno utežiti, vendar se izkaže, da slednji ne
pripomore k manjšemu odstopanju odzivov, lahko pa z
njim izboljšamo ujemanje v določenem območju
odziva. Pri tem moramo biti pazljivi, saj nam izboljšanje
ujemanja v določenem območju odziva povzroči večje
odstopanje v drugem območju odziva.
Fizikalno neustrezni poskusni parametri DE zaradi
računske togosti simulacijskega modela nemalokrat
povzročijo prekinitev DE. Da se takšnim situacijam
izognemo, jih izločimo tako, da v omenjenih primerih
upoštevamo vrednost kriterijske funkcije kot neskončno.
Fizikalno neustrezni poskusni parametri so: R1 < 0, Lσ1
< 0, N1 < 0, N2 < 0, RFe < 0, R2 < 0, Lσ2 < 0, Rb < 0 in N1
> N2. Izločimo pa lahko tudi kombinacije poskusnih
parametrov k1, k2, k3 in k4 aproksimacijske funkcije
osnovne magnetne krivulje, ki nam največkrat
povzročajo divergenco integracijske metode.
Neustrezne kombinacije poskusnih parametrov za MK-1
in MK-2 so: k1 > 0, k2 > 0, k3 < 0, k4 < 0 (kombinacije
poskusnih parametrov je mogoče omejiti tudi nasprotno)
ter za MK-3: k1 > 0, k2 > 0, k3 > 0, k4 > 0.
3.1 Testni enofazni transformator
Parametri testnega enofaznega transformatorja Elra
Škofja Loka, tip: TEN52, 50 Hz, 20 VA, primar 100 V,
sekundar 380 V, Cl: 3, s.n.: 16502, so bili določeni v [4]
Vhod Realni enofazni
transformator
Matematični model
enofaznega transformatorja
Diferenčna evolucija
Izhod
Pogrešek
Parametri
+
-
DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA TRANSFORMATORJA S POMOČJO DIFERENČNE EVOLUCIJE 9
Tabela 1: Parametri enofaznega transformatorja
Parameter Izračunana
vrednost
Opis
R1 [Ω] 11,1858 Upornost primarnega navitja
R2 [Ω] 138,3 Upornost sekundarnega navitja
N1 [ovojev] 452 Število primarnih ovojev
N2 [ovojev] 1722 Število sekundarnih ovojev
RFe [Ω] 6895,2 Upornost železnega jedra
Lσ1 [mH] 199 Primarna stresana induktivnost
Lσ2 [mH] 13,7 Sekundarna stresana induktivnost
z uporabo izračuna efektivnih vrednosti, harmonsko
analizo in numerično integracijo posnetih tokov in
napetosti. Vrednosti parametrov testnega enofaznega
transformatorja so navedene v tabeli 1. Magnetilna
nelinearna karakteristika železnega jedra je bila podana
tabelarično in je tu ne navajamo.
Upornost bremena pri posnetku vklopnega pojava
obratovanja je bila Rb = 7100,50 Ω.
3.2 Krmilni parametri
Za prvi poskus reševanja večine simulacijskih
problemov v Simulinku je primerna integracijska
metoda ode45, ki temelji na eksplicitni formuli Runge-
Kutta (4,5), Dormand-Prince paru. Ko nam ta odpove,
ali je zelo neučinkovita in ko sumimo, da je problem
računsko tog, ali ko rešujemo diferencialno-algebrajske
probleme, takrat lahko poskusimo z integracijsko
metodo ode15s, ki temelji na numeričnih diferencialnih
formulah (NDF) [5]. Računska togost simulacijskega
modela pride še posebej do izraza zaradi poljubnih
poskusnih parametrov DE, zato si dodatno pomagamo s
stavkom try, catch, s katerim izločimo kombinacije
poskusnih parametrov, ki nam povzročajo prekinitev
DE [6]. Krmilni parametri simulacijskega modela v
Simulinku so navedeni v tabeli 2.
Tabela 2: Krmilni parametri simulacijskega modela
Krmilni
parameter
Vrednost Opis
Tz [s] 0 Začetni čas simulacije
Tk [s] 1 Končni čas simulacije
Ts [s] 1∙10
-4
Korak vzorčenja
Solver ode15s Integracijska metoda simulacije
Step size auto Velikost koraka integracijske metode
Tolerance auto Največja dopustna napaka
integracijske metode
Vrednosti krmilnih parametrov DE smo izbrali na
podlagi izhodišč v [2] in [7]. Ker poznamo vrednosti
iskanih parametrov, smo jih normirali, saj se izkaže, da
DE deluje najbolje, če so iskani parametri v območju
[0,1]. Krmilni parametri DE so navedeni v tabeli 3.
Tabela 3: Krmilni parametri DE
Krmilni
parameter
Vrednost Opis
VTR 1∙10
-3
Vrednost, ki jo želimo doseči
D 9
4
Število iskanih parametrov za vklopni
pojav prostega teka
Število iskanih parametrov za vklopni
pojav obratovanja
XVmin 0 Spodnja meja začetne populacije
XVmax 1 Zgornja meja začetne populacije
NP 10D Velikost populacije
itermax 200 Maksimalno število neodvisnih tekov
F 0,5 Skalirni faktor
CR 0,9 Faktor križanja
strategy 6 Strategija DE/best/1/bin
Izračune smo izvajali na delovni postaji Lenovo s
procesorjem Intel(R) Xeon(R) CPU E5-1620 0 @ 3.60
GHz, 3601 MHz, št. jeder: 4, št. logičnih procesorjev: 8,
fizičnim pomnilnikom (RAM) 16,00 GB in nameščenim
operacijskim sistemom Microsoft Windows 7 Enterprise
(64-bit).
4 REZULTATI
Odstopanje izračunanih vrednosti parametrov xi s
pomočjo DE v primerjavi z eksperimentalno določenimi
vrednostmi parametrov testnega enofaznega
transformatorja x [4] smo ovrednotili s pomočjo
relativnega procentualnega pogreška (15).
%100
x
x
i

  (15)
Pri tem zapišemo razliko med izračunano vrednostjo
parametra s pomočjo DE in eksperimentalno določeno
vrednostjo parametra testnega enofaznega transfor-
matorja s (16).
xxx
ii
  (16)
Odstopanje med izmerjenimi in izračunanimi odzivi
smo ovrednotili z normiranimi srednjimi kvadratnimi
pogreški, iz katerih sta bili sestavljeni kriterijski funkciji
(13) in (14). Kvadratni pogrešek daje informacijo tudi o
oblikovnem ujemanju, medtem ko absolutni pogrešek
ne, saj kvadriranje daje znatno večjo utež večjim
odstopanjem kot manjšim.
Izračunane vrednosti parametrov, ki smo jih dobili s
pomočjo posnetka vklopnega pojava neobremenjenega
transformatorja, so navedene v tabeli 4. Izračunane
vrednosti parametrov, ki smo jih dobili s pomočjo
posnetka vklopnega pojava obremenjenega transfor-
matorja, pa so navedene v tabeli 5.
10  SLOKAN, ŠTUMBERGER
Tabela 4: Izračunane vrednosti parametrov pri vklopnem
pojavu neobremenjenega transformatorja
Parameter MK-1 MK-2 MK-3
R1 [Ω] 12,98 12,41 12,86
Lσ1 [H] 29,07∙10
-6
126,67∙10
-6
127,40∙10
-6
N1 [ovojev] 394 592 578
N2 [ovojev] 1444 2154 2109
RFe [Ω] 7,12∙10
3
7,19∙10
3
6,93∙10
3
k1 -524,60∙10
-6
-590,95∙10
-6
-482,67∙10
-6
k2 -157,92∙10
-3
-122,65∙10
-3
-130,09∙10
-3
k3 513,42∙10
-6
322,93∙10
-6
-1,04∙10
-6
k4 57,05∙10
-3
21,73∙10
-3
-8,43∙10
-3
Tabela 5: Izračunane vrednosti parametrov pri vklopnem
pojavu obremenjenega transformatorja
Parameter MK-1 MK-2 MK-3
R2 [Ω] 64,76 90,29 169,51
Lσ2 [H] 611,35∙10
-6
7,36∙10
-3
14,05∙10
-3
Rb [Ω] 7,14∙10
3
7,06∙10
3
7,02∙10
3
r [Vs] -5,32 -7,59 -7,27
Odstopanja izračunanih vrednosti parametrov v
primerjavi z vrednostmi v tabeli 1 so navedena v
tabeli 6.
Tabela 6: Odstopanje izračunanih vrednosti parametrov
Parameter MK-1 MK-2 MK-3
δ [%] δ [%] δ [%]
R1 16,05 10,96 15,01
Lσ1 -99,98 -99,93 -99,93
N1 -12,72 31,07 27,93
N2 -16,11 25,11 22,49
RFe 4,33 5,35 1,63
R2 -53,17 -34,71 22,57
Lσ2 -95,53 -46,22 2,62
Rb 567,82∙10
-3
-540,35∙10
-3
-1,05
Najmanjše skupno absolutno odstopanje izračunanih
vrednosti parametrov dobimo pri aproksimaciji z MK-3,
nato z MK-2 in nazadnje z MK-1. Pri vseh izračunih
močno odstopa vrednost primarne stresane
induktivnosti, zato sklepamo na napačno izhodiščno
vrednost ali pomanjkljiv model, ki ne zajema vseh
fizikalnih pojavov.
Odstopanja odzivov za primer vklopnega pojava
neobremenjenega transformatorja so navedena v
tabeli 8. Odstopanja odzivov za primer vklopnega
pojava obremenjenega transformatorja so navedena v
tabeli 9.
Tabela 8: Odstopanja odzivov pri vklopnem pojavu
neobremenjenega transformatorja
Delna
kriterijska
funkcija
MK-1 MK-2 MK-3
1i
q  12,35∙10-3 12,87∙10-3 11,82∙10-3
2u
q  44,81∙10-6 25,72∙10-6 22,70∙10-6
pt
q  12,40∙10-3 12,90∙10-3 11,85∙10-3
Tabela 9: Odstopanja odzivov pri vklopnem pojavu
obremenjenega transformatorja
Delna
kriterijska
funkcija
MK-1 MK-2 MK-3
1i
q  1,78∙10-3 1,77∙10-3 1,90∙10-3
2u
q  215,44∙10-6 93,16∙10-6 149,37∙10-6
2i
q  276,16∙10-6 287,18∙10-6 259,41∙10-6
ob
q  2,27∙10-3 2,15∙10-3 2,31∙10-3
Najmanjše skupno odstopanje odzivov dobimo pri
aproksimaciji z MK-2, nato z MK-3 in nazadnje z
MK-1. Vklopni pojav neobremenjenega transformatorja
je prikazan na sliki 3, stacionarno stanje pa na sliki 4.
Izračunani primarni toki se oblikovno dobro ujemajo z
izmerjenimi, tako pri vklopnem pojavu kot tudi pri
stacionarnem obratovanju, ne glede na uporabljeno
aproksimacijsko funkcijo. K temu v veliki meri prispeva
vključitev izgub v železnem jedru, ki smo jih
poenostavljeno predstavili z ohmsko upornostjo.
Slika 3: Izmerjeni i1m in izračunani i1 primarni tok pri
vklopnem pojavu neobremenjenega transformatorja
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
izmerjen
čas t (s)
to
k
i
1
m
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
izračunan z MK-1
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
izračunan z MK-2
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
izračunan z MK-3
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
DOLOČITEV PARAMETROV ENOFAZNEGA TRANSFORMATORJA S POMOČJO DIFERENČNE EVOLUCIJE 11
Nekoliko večje oblikovno odstopanje dobimo v predelu
temen, ki je posledica slabših aproksimacij magnetilnih
krivulj v območju nasičenja.
Slika 4: Izmerjeni i1m in izračunani i1 primarni tok pri
stacionarnem obratovanju neobremenjenega transformatorja
Za primer obremenjenega transformatorja je vklopni
pojav prikazan na sliki 5, stacionarno stanje pa na
sliki 6. Tudi tu se izračunani primarni tokovi oblikovno
dobro ujemajo z izmerjenimi, tako pri vklopnem pojavu
kot tudi v stacionarnem stanju, ne glede na uporabljeno
aproksimacijsko funkcijo magnetilne krivulje.
Slika 5: Izmerjeni i1m in izračunani i1 primarni tok pri
vklopnem pojavu obremenjenega transformatorja
Slika 6: Izmerjeni i1m in izračunani i1 primarni tok v
stacionarnem obratovanju obremenjenega transformatorja
5 SKLEP
V prispevku smo predstavili pristop in način določitve
parametrov enofaznega transformatorja s pomočjo DE.
Osnovno magnetilno krivuljo smo aproksimirali z vsoto
sigmoidne funkcije in inverznega hiperboličnega sinusa.
Pri MK-1 je bila sigmoidna funkcija hiperbolični
tangens, pri MK-2 pa normirani arkus tangens. Za
primerjavo smo uporabili aproksimacijo osnovne
magnetilne krivulje MK-3 z vsoto eksponentnih funkcij,
s katero pa smo morali izračune kar nekajkrat ponoviti,
saj integracijska metoda večkrat ni konvergirala.
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.1
0
0.1
MK-1
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.1
0
0.1
MK-2
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.1
0
0.1
MK-3
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
izmerjen
čas t (s)
to
k
i
1
m
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
izračunan z MK-1
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
izračunan z MK-2
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
izračunan z MK-3
čas t (s)
to
k
i
1
(
A
)
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.4
-0.2
0
0.2
MK-1
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.4
-0.2
0
0.2
MK-2
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
3 3.02 3.04 3.06 3.08 3.1
-0.4
-0.2
0
0.2
MK-3
čas t (s)
to
k
i
1
,
i 1
m
(
A
)
i
1m
i
1
12  SLOKAN, ŠTUMBERGER
Najmanjše skupno absolutno odstopanje izračunanih
vrednosti parametrov smo dobili pri aproksimaciji z
MK-3, nato z MK-2 in nazadnje z MK-1. Najmanjše
skupno odstopanje odzivov smo dobili pri aproksimaciji
z MK-2, nato z MK-3 in nazadnje z MK-1. S tako
izračunanimi vrednostmi parametrov izračunani
primarni tokovi oblikovno dobro ujamejo izmerjene,
tako pri vklopnem pojavu kot tudi v stacionarnem
stanju, ne glede na uporabljeno aproksimacijsko
funkcijo magnetilne krivulje. K temu v veliki meri
pripomore vključitev izgub v železnem jedru, ki smo jih
poenostavljeno predstavili z ohmsko upornostjo.
Nekoliko večje oblikovno odstopanje dobimo v predelu
temen, ki je posledica slabših aproksimacij magnetilnih
krivulj v območju nasičenja.
Določitev parametrov enofaznega transformatorja s
pomočjo DE se izkaže kot časovno zelo zahteven
pristop, predvsem zaradi računske togosti
simulacijskega modela. Zavedati se moramo, da na
natančnost izračunov vpliva tudi izbira integracijske
metode in njene nastavitve. V primerih, ko nimamo
podatkov o transformatorju, meritev pa ni mogoče
drugače izvesti, je to tako rekoč edini način, da
določimo parametre transformatorja, ki jih potrebujemo
pri dinamičnih modelih električnega omrežja.
Predstavljeni pristop je osnova za uporabo podobnih
metod določitve parametrov trifaznih transformatorjev,
ki jih srečujemo v električnih omrežjih.