1 UVOD
Biološke celice, osnovne gradbene in funkcionalne enote
živih organizmov, obdaja membrana, ki ločuje notranjost
celice od okolice in med drugim skrbi za transport snovi
v celico in iz nje (slika 1) [1], [2].
Osnova biološke membrane je dvojna plast lipidnih
molekul, v in na katero so pripete druge molekule, kot so
membranski proteini in citoskelet. Lipidna dvojna plast
je debela le približno 5 nm, kar je bistveno manj od
razsežnosti celice, ki so tipično reda nekaj µm. Lipidne
molekule v dvojni lipidni plasti so pogosto lateralno
gibljive, kar omogoča difuzijo molekul znotraj lipidne
dvojne plasti.
Prejet 13. oktober, 2020
Odobren 27. november, 2020
Slika 1: Zgradba biološke celice (zgoraj) in celične membrane
(na sredi) in njene osnove - lipidne dvojne plasti (spodaj). Vir:
Wikipedia (avtor članka je tudi (so)avtor slovenske različice
slike).
Modeliranje lipidnih in bioloških membran ter nji-
hovih interakcij z okolico je v zadnjega pol stoletja
zelo napredovalo. Ob tem pa se moramo zavedati, da
276 FOŠNARIČ
je biološka membrana kompleksen sistem, sestavljen iz
komponent z zelo različnimi mehanskimi lastnostmi [1].
Tako je izbira modela odvisna od namena in nivoja,
na katerem želimo sistem preučevati. Model mora biti
dovolj podroben, da zazna pojave, ki jih želimo popi-
sovati, a ne sme biti prezapleten, da se ne izgubimo v
podrobnostih [3].
Lipidno dvojno plast in tudi biološko membrano za-
radi njunih zgoraj naštetih lastnosti pogosto obravna-
vamo kot dvodimenzionalno tekočino [1], [3]. Pri tem
je za mehanske lastnosti membrane in njeno funkcijo
zelo pomembna lastnost njena upogibna trdnost, κ.* Ta
nam pove, koliko dela moramo opraviti, da membrano
upognemo. Za zaključeno dvodimenzionalno ploskev, ki
se ji topologija ne spreminja in nima spontane ukrivlje-
nosti, lahko njeno upogibno energijo zapišemo kot [4],
[1]
Wb = 2κ
∫
A
H2 dA. (1)
Pri tem je H povprečna ukrivljenost v dani točki plo-
skve, integral pa teče po njeni celotni površini. Da
takšno ploskev ukrivimo v obliko krogle, opravimo torej
Wb = 8πκ dela. Lipidna dvojna plast ima upogibno
trdnost reda κ ≈ 10 kT [1], kjer je k Boltzmannova
konstanta in T temperatura. Tako pogosto na obliko
membran vplivajo že termične fluktuacije.
V tem prispevku predstavimo model, v katerem mem-
brano popišemo z dinamično triangulirano površino
(DTP) [5], [6]. Simulacije DTP so v biofiziki orodje
mnogih raziskav: za konformacije in skalirne lastnosti
membran [6], [7] in preučevanje njihovega toploškega
faznega prostora [8]; za oblike mehurčkov (vesiklov)
membran pri končni temperaturi [9], njihovo dinamiko
v strižnem toku [10], njihovo interkacijo z naelektrenimi
koloidi [11] in ovijanje polimerov [12], analizo njihovih
termičnih flutuacij za preučevanje njihovih mehanskih
lastnosti, kot je upogibna trdnost [13] in lateralna mem-
branska napetost [14]; modelu DTP je bila dodana
anizotropija [15], [16]; preučevali smo tudi vpliv mem-
branskih proteinov in citoskeleta na biološke membrane
[17], [18].
V članku najprej razložimo model DTP ter idejo simu-
lacij Monte-Carlo s takšnimi površinami. V nadaljevanju
pa predstavimo uporabo simulacij DTP za določanje me-
hanskih lastnosti “kosmate” membrane z analizo njenih
termičnih fluktuacij. S “kosmato” membrano mislimo
na lipidno membrano, dekorirano s polimeri, ki so
pripeti na membrano kot lasje. Takšne strukture so lahko
model npr. PEG lipidnih membran, kjer so na membrano
pripete verige polietilen glikola (PEG) [19], [20].
∗Upogibni trdnosti pogosto rečemo tudi upogibna konstanta.
Večkrat zanjo srečamo tudi simbol kC .
2 DINAMIČNO TRIANGULIRANE
POVRŠINE
2.1 Struktura in lastnosti
Dvodimenzionalno ploskev v tridimenzionalnem pro-
storu pogosto diskretiziramo tako, da na površino na-
pnemo trikotniško mrežo. Izbira trikotnika se ponuja kar
sama, saj je najenostavnejši mnogokotnik, ki obstoja v
evklidski ravnini.
Ko s trikotniško mrežo popišemo membrano, lahko en
trikotnik, oziroma eno vozlišče in njegova neposredna
okolica, predstavlja del membrane, ki jo zapolnjuje več
molekul v membrani. Takšni modeli s skaliranjem so
nepogrešljiv del modeliranja bioloških sistemov [3],
[1], saj omogočajo kvalitativen vpogled na dogajanje
v membranah in pripomorejo k razumevanju njenega
delovanja [21].
Ne glede na skaliranje, torej kolikšen del membrane
predstavlja eno vozlišče, površino, ki jo želimo mo-
delirati, predstavimo z N vozlišči, ki so s približno
3N vezmi povezani v trikotniško mrežo s približno 2N
trikotniki.
Kot smo omenili že v uvodu, za popis lipidnih
dvojnih plasti in bioloških membran pogosto želimo,
da se takšna triangulirana površina obnaša kot dvo-
dimenzionalna tekočina. To lahko dosežemo tako, da
poleg premikanja vozlišč trikotniške mreže dovolimo
tudi spreminjanje povezav med vozlišči, kar nam da
lateralno mobilnost vozlišč znotraj mreže. In to je ideja
dinamično trianguliranih površin (DTP).
Simulacije z DTP so metode Monte-Carlo (MC),
kjer spremembe mreže dosežemo z dvema vrstama MC
korakov: premiki vozlišč in premeti vezi (slika 2).
Premik vozlišča pomeni, da izbrano vozlišče prema-
knemo na nov položaj znotraj krogle z radijem s in s
središčem v vozlišču pred premikom (slika 2, levo).
Premet vezi vključuje trikotnika, ki si izbrano vez
delita in njuna štiri vozlišča (slika 2, desno). Pri pre-
metu izbrano vez nadomestimo z vezjo, ki povezuje
prej nepovezani vozlišči. Z mehanizmom premetavanja
vezi poskrbimo za difuzijo vozlišč znotraj trikotniške
mreže. Takšna lateralna gibljivost gradnikov površine je
pomembna lastnost lipidnih in bioloških membran.
Pri premikanju vozlišč in premetih vezi nas omejuje
dolžina vezi, d. Ta je med povezanima vozliščema ome-
jena z minimalno dolžino, dmin, in maksimalno dolžino,
dmax. Vsa vozlišča tako čutijo odbojni potencial togih
teles na medsebojni razdalji dmin, torej se obnašajo kot
toge krogle z radijem dmin. S primerno izbiro vrednosti
parametrov dmin, dmax in s, lahko obnašanje površine
prilagodimo potrebam.
Pri modeliranju membranskih površin ponavadi
želimo, da membrana med premiki vozlišč in premeti
vezi ne more prebosti sama sebe. Na primer, izbira
razmerij dmax/dmin = 1.7 in s/dmin = 0.15 nam za
kvazi-krogelne oblike površin zagotavlja, da vozlišče ne
more zatavati skozi trikotniško površino, vseeno pa nam
DINAMIČNO TRIANGULIRANE POVRŠINE “KOSMATIH” BIOMEMBRAN 277
Premik vozlišča Premet vezi
i
it
km
k
kp
lm lp
lm2
lp1
it
km
k
kp
lp
lm
lm2
lp1
Slika 2: Vrste MC korakov. LEVO: Premik vozlišča – vozlišče i se premakne iz začetnega položaja (točkasto) na novega. Pri
premiku vozlišča se topologija povezljivosti mreže ne spremeni – vozlišče i ostane po premiku povezano z enakimi sosedi.
DESNO: Premet vezi – pred spremembo sta vozlišči it and k povezani, po spremembi pa njuno vez nadomesti vez med prej
nepovezanima vozliščema km and kp. Ob tem se spremenita tudi trikotnika lm and lp.
zagotavlja približno 50 % verjetnost, da bo premik vo-
zlišča sprejet.† V primeru t.i. zmečkanih membran (angl.
crumpled membranes), kjer se ukrivljenosti membrane
znatno spreminjajo ob majhnih premikih po površini,
pa moramo biti bolj pazljivi, na primer z zmanjšanjem
razmerja dmax/dmin in/ali koraka s.
2.2 Prečesavanja faznega prostora mikrostanj
V statistični fiziki ločimo med mikrostanji in ma-
krostanji sistema, ki ga opazujemo. Z mikrostanjem
mislimo na stanje, pri katerem poznamo vse podrob-
nosti sistema. V naših simulacijah DTP to pomeni, da
poznamo položaj vseh vozlišč in vseh vezi med njimi.
Makrostanje, na drugi strani, definirajo makroskopske
spremenljivke, kot sta npr. temperatura in tlak. Makro-
skopskih spremenljivk je praviloma bistveno manj kot
mikroskopskih in tako lahko isto makroskopsko stanje
realizira veliko število različnih mikroskopskih stanj.
V naših simulacijah prostor mikrostanj sistema
prečešemo z Metropolis-Hastingovim algoritmom [22],
[23]. Vsak MC korak, torej vsak premik vozlišča in
vsak premet vezi, spremeni mikrostanje sistema. Ta
sprememba iz mikrostanja i v mikrostanje i + 1 je
sprejeta z verjetnostjo
P (i→ i+ 1) = min [1, exp (−∆E/kT )] , (2)
kjer je ∆E = Ei+1 − Ei sprememba energije sistema
ob potencialni spremembi premika vozlišča ali premeta
vezi, kT pa je termična energija (produkt Boltzmannove
konstante k in temperature T ).
Začetno stanje sistema v simulacijah lahko poljubno
izberemo, če pred začetkom opazovanja oz. merjenja sis-
tem le lahko spravimo v ravnovesno stanje. To ponavadi
naredimo z začetno “termalizacijo” ob uporabi zgoraj
opisanega algoritma (enačba 2).
†Če ima površina le upogibno energijo (enačba 1). Kako
izračunamo upogibno energijo mreže in verjetnost za sprejetje premika
vozlišča, opišemo v nadaljevanju.
Ko je sistem v termičnem ravnovesju, lahko za
vsako količino Q, ki je definirana na mikroskopskem
stanju našega sistema, uporabimo simulacije DTS, da
izračunamo njeno povprečno vrednost 〈Q〉 [13]. Pri tem
nam algoritem iz enačbe 2 zagotavlja, da se naš sistem
obnaša kot kanonični ansambel, kjer je verjetnost, da
bomo našli sistem v nekem mikrostanju z energijo E,
sorazmerna z exp (−E/kT ). Predpostavimo lahko torej,
da je s simulacijami dobljeno povprečje 〈Q〉 enako
časovnemu povprečju sistema v termičnem ravnovesju,
〈Q〉t:
〈Q〉 = 〈Q〉t . (3)
Enakost v enačbi 3 nam odpre možnost uporabe
simulacij DTS za izračun količin, ki jih lahko tudi v
resnici izmerimo. Veliko bioloških sistemov je namreč
v termičnem stiku s svojo okolico pri konstantni tem-
peraturi, kar v statistični fiziki predstavlja kanonični
ansambel mikrostanj.‡
2.3 Diskretizacija energije
Da v simulacijah DTP definiramo energijo mikro-
stanja (glej enačbo 2), je smiselno uporabiti operatorje
diskretne diferencialne geometrije, ki jih lahko pripnemo
na triangulirane površine [24].
V modeliranju bioloških membran in lipidnih mem-
bran je pomembna količina upogibna energija membrane
(enačba 1) [1]. V znanstveni literaturi najdemo več
načinov diskretizacije upogibne energije na DTS [25],
[5], [15]. Osnovna ideja večine njih pa je definirati
povprečno ukrivljenost, H , v vozlišču, ki jo dobimo
iz vsote normal trikotnikov, ki si to vozlišče delijo.
V izrazu za upogibno energijo membrane (enačba 1)
nastopa kvadrat povprečne ukrivljenosti, H2, in integral
preko celotne površine membrane je potem kar vsota
‡V primeru, da na količine, ki jih opazujemo, znatno vpliva
tudi izmenjava snovi med našim sistemom in okolico, uporabimo
velekanonični ansambel.
278 FOŠNARIČ
prispevkov upogibne energije v vseh vozliščih mreže, ki
predstavlja membrano v modelu DTP.
V nadaljevanju bomo uporabili diskretizacijo
Itzyksona [26], [27],
4
∫
A
H2dA =
∑
i
1
σi

∑
j(i)
σij
dij
(Ri −Rj)

2 , (4)
kjer zunanja vsota teče preko vozlišč mreže, notranja pa
preko sosedov, s katerimi so ta vozlišča povezana. Vektor
Ri kaže do vozlišča i, dij je razdalja med vozlišči i in
j,
σi =
1
4
∑
j(i)
σijdij (5)
pa je površina celice v dualni mreži ob vozlišču i [26].
Razdalja med vozlišči v dualni mreži je
σij = dij [cot θ1 + cot θ2]/2, (6)
kjer sta θ1 in θ2 kota nasproti stranici ij v trikotnikih,
ki si delita stranico ij (slika 3).
i
jm
j
jp
θm θp
Slika 3: Trikotnika dualne mreže, ki si delita vozlišči i in j ter
vez med njima z dolžino dij (glej enačbo 5). Označena kota
θm in θp nastopata v enačbi 6.
2.4 Globalne omejitve
Lipidna dvojna plast (slika 1) je praktično nepropu-
stna za vodne molekule, biološke membrane pa imajo
mehanizme, s katerimi uravnavajo tlačno razliko med
notranjostjo in zunanjostjo celice [1].
Zato pri simulacijah zaključenih membranskih struk-
tur, kot so lipidni mehurčki (vesikli) ali biološke celice, v
okviru modela DTS pogosto dodamo energiji membrane
(enačba 2) člen
Ep = −pV, (7)
kjer je p razlika zunanjega in notranjega tlaka in V
volumen zaključene membranske strukture (vesikla ali
celice).
Če pa želimo, da je volumen vesikla ali celice med
simlacijo konstanten pri vrednosti V0, lahko namesto
zgornjega energijskega člena uporabimo pogoj
|V − V0| < εV , (8)
ki ga preverimo ob vsakem poskusu spremembe mikro-
stanja sistema. Pri tem mora biti εV majhen (εV � V0),
ampak vseeno dovolj velik, da ne zaduši termičnih
fluktuacij oblike membrane. Izbira εV je odvisna od
diskretizacije. Na primer, vzamemo lahko, da je εV enak
prostornini tetraedra, ki ga sestavljajo enakostranični
trikotniki s površinami A0/Nt, kjer je A0 površina
krogle s prostornino V0 in Nt število trikotnikov mreže:
εV =
4
√
2π
33/4
V0
N
3/2
t
. (9)
Na podoben način lahko uvedemo tudi vez za
površino, |A − A0| < εA, kjer lahko izberemo �A =
A0/Nt.
2.5 Potek in prostorska dimenzija simulacij
V simulacijah DTS lahko razvoj sistema merimo
v enotah Monte-Carlo prečesavanj, angl. Monte Carlo
sweeps (mcs). En mcs je sestavljen iz poskusov premika
vsakega izmed N vozlišč, ki jim pogosto sledi 3N
poskusov premeta vsakič naključno izbrane vezi.
Razmerje med poskusi premetov vezi in premiki vo-
zlišč je povezano z lateralno difuzijsko konstanto mem-
brane oziroma z njeno viskoznostjo [28], [10]. Difuzija
nam v simulacije prinese tudi realno časovno skalo in
omogoča modeliranje dejanske dinamike sistema.
Izbira velikosti DTS mrež je odvisna od potreb, skali-
ranja ter zmožnosti strojne in tudi programske opreme. V
naših biofizikalnih raziskavah [11], [12], [13] smo upo-
rabljali mreže z do 3000 vozlišči, kar nam je omogočalo
simulacije (kvazi)ravnovesnih pojavov lipidnih in bi-
oloških membran na skali mikrometra ali manjše.
3 UPOGIBNA TRDNOST “KOSMATE”
MEMBRANE
Na elastične lastnosti bioloških membran lahko znatno
vplivajo molekule, ki so pripete na ali v dvojno lipidno
plast (slika 1) [1]. Na primer, toge membranske inklu-
zije v dvojni lipidni membrano lahko membrano tudi
“zmehčajo” na upogib, torej zmanjšajo njeno upogibno
trdnost (enačba 1) [29].
V tem delu s pomočjo simulacij DTP “izmerimo”,
kako na upogibno trdnost membrane vpliva t.i. “ko-
smatost” membrane. S tem mislimo na lipidno dvojno
plast, na katero so z enim koncem pripeti fleksibilni
polimeri (slika 4). Takšne strukture so lahko model
pomembnih struktur v biotehnologiji, kjer npr. t.i. PEG
lipidnih membran [19], [20], kjer so na membrano kot
lasje pripete verige polietilen glikola (PEG).
V našem modelu so polimeri sestavljeni iz linearne
verige vozlišč, ki imajo enake lastnosti, kot vozlišča v
DTP, le da so členi linearne verige in ne 2D mreže. Imajo
torej le do dva soseda. Na enem koncu je polimer pripet
na vozlišče DTP, na drugem koncu je pa prost. Torej
tudi polimeri opletajo zaradi termičnih fluktuacij. Delež
vozlišč DTP, na katere so pripeti polimeri, definirajmo
kot polimerna pokritost membrane.
DINAMIČNO TRIANGULIRANE POVRŠINE “KOSMATIH” BIOMEMBRAN 279
Slika 4: Mikrostanje “kosmatega” kvazi-krogelnega vesikla v
termičnem ravnovesju. Membrano vesikla predstavlja DTP z
1447 vozlišči, od katerih so na 701 vozlišč pripeti linearni
polimeri (polmerna pokritost membrane je torej 48.5 %). Po-
limeri so sestavljeni iz 10 monomerov (delov linearne verige
vozlišč). Upogibna konstanta čiste membrane (brez polimerov)
je 20 kT .
Upogibno trdnost membrane lahko določimo z ana-
lizo termičnih flutuacij DTS [13]. Za simulacije DTS
uporabimo odprtokodno simulacijsko orodje trisurf
[30], [31], [32]. Vesikle z različno polimerno pokri-
tostjo membrane (slika 4) v simulacijah DTS najprej
termaliziramo, tako da dosegežejo kvazi-krogelno obliko
v termičnem ravnovesju. Pri takšnih vesiklih nato pri
konstantnem volumnu (enačba 8) opazujemo termične
fluktuacije. Oblike vesiklov med seboj statistično neko-
reliranih stanj vesikla razvijemo po krogelnih funkcijah
in v okviru teorije Milnerja in Safrana [33] izračunamo
upogibno konstanto membrane vesikla, skupaj z njeno
statistično napako [13]. Ker je upogibna konstanta čiste
membrane, torej brez dodanih polimerov, vhodni para-
meter simulacij (zvezi 1 in 4), lahko opazujemo vpliv
polimerov na upogibno trdnost membrane (slika 5).
Kot lahko vidimo na sliki 5 pri majhni polimernih
pokritostih, naša metoda oceni nekoliko premajhno vre-
dnost upogibne trdnosti membrane. Napaka je posledica
diskretizacije površine in je v našem primeru okoli 10 %
(vir te napake, njena analiza ter vpliv diskretizacije nanjo
je opisan v [13]).
Pri večjih pokritostih (nad ≈ 40 %) pa se izkaže, da
polimeri znatno povečajo upogibno trdnost membrane.
Tam je odvisnost med upogibno trdnostjo in polimerno
pokritostjo približno linearna in povečanje upogibne
trdnosti vsekakor znatno presega okvir napake metode
zaradi diskretizacije. Pri skoraj 100 % polimerni pokrito-
sti se upogibna trdnost podvoji glede na njeno vrednost
membrane brez polimerov.
0 20 40 60 80 100
20
30
40
Polimerna pokritost membrane [%]
Iz
m
er
je
na
up
og
ib
na
ko
ns
ta
nt
a
[k
T
]
Slika 5: Upogibna trdnost membrane v odvisnosti od po-
kritosti s polimeri, ki so kot lasje pripeti na zunanjo stran
membranskega mehurčka (vesikla). Upogibna trdnost čiste
membrane (brez polimerov) je v modelu 20 kT (siva črtkana
črta). Parametri modela so enaki, kot pri sistemu na sliki 4.
4 RAZPRAVA IN ZAKLJUČEK
V članku smo predstavili simulacije dinamično trianguli-
ranih površin (DTP) in z njimi ocenili elastične lastnosti
“kosmatih” membran, torej vpliv mehkih polimerov, ki
so kot lasje pripeti na zunanjo stran membranskega
vesikla, na upogibno trdnost membrane.
Izkaže se, da pri velikih polimernih pokritostih mem-
brane njena upogibna trdnost znatno naraste. To lahko
razložimo s steričnim odbojem sosednjih polimerov. Ta
je pri večji pokritosti membrane večji, saj so polimeri
bližje drug drugemu in se bolj čutijo.
Motiv za takšno študijo so PEG lipidne membrane,
kjer so na membrano pripete verige polietilen glikola
(PEG). Te igrajo pomembno vlogo v biotehnologiji
[19], [20], saj lahko z dekoracijo membranskih vesiklov
(mehurčkov) s PEG molekulami znatno vplivamo na
obnašanje vesiklov. Ker so takšni vesikli pomembni tudi
za prenos snovi v bioloških sistemih, je naša raziskava
potencialno zanimiva za biotehnološke aplikacije v far-
maciji in medicini.
V pripravi so že nadaljne raziskave. Smiselno bi
bilo raziskati, kako različne lastnosti polimerov vplivajo
na upogibne lastnosti membrane in kako se membrane
z različno upogibno trdnostjo odzivajo na polimerno
pokritost. Smiselno bi bilo preveriti tudi vpliv tempe-
rature in dimenzij sistema na rezultate simulacij. In
bolje razumeti mehanizem steričnega odboja polimerov
ter druge dejavnike, ki vplivajo na mehanske lastnosti
“kosmatih membran”.
Simulacije DTP so torej uporabno orodje za raziskave
obnašanja lipidnih in bioloških membran. Njihova sla-
bost je relativno zahtevna uporaba in časovna potra-
tnost prilagajanja modela potrebam. Želimo si, da bi
280 FOŠNARIČ
prispevki, kot je ta, prispevali k razvoju in širši uporabi
simulacij DTP v biofiziki bioloških membran, saj bi s
tem potencialno zelo koristno orodje postalo uporabniku
dostopnejše in prijaznejše.