1 Uvod
Raziskave obratovalnih lastnosti elektroenergetskih
sistemov (EES) so pokazale, da prenosi velikih moči
prek povezav nezadostnih prenosnih zmogljivosti
pripomorejo k elektromehanskim nihanjem nizkih
frekvenc. Takšna nihanja so posledica odziva
generatorjev na spremembe v omrežju in lahko vodijo v
nesinhrono obratovanje.
Izrazit problem so nihanja generatorjev, ki vplivajo
na pretoke moči v globalnem merilu. Globalna nihanja
pogosto sledijo povezovanju manjših sistemov v
interkonekcije. Nove povezave spremenijo smeri
pretokov moči in pripomorejo k vzbujanju nihajnih
načinov med generatorji oziroma generatorskimi
skupinami iz različnih delov razširjenega omrežja.
Globalni nihajni načini so v frekvenčnem območju od
0.1-1 Hz in so nepredvidljivi. Pogosto je njihov vzrok
neznan, zaradi obsežnosti pojava pa jih je nemogoče
lokalno nadzorovati in odpraviti. V evropskem sistemu
UCTE so v letu 2005 odkrili več globalnih načinov.
Spontani nastanek oscilacij prikazuje slika 1. Diagrami
so bili posneti s sistemom WAMS, ki združuje več
časovno sinhroniziranih merilnih mest v Evropi in
Sredozemlju. Posnetek prikazuje nihanje frekvence na
mestih po Evropi in izmenjavo moči intekonekcije
Italija–Slovenija. Vzrok vzbujanja in zadušitve oscilacij
ni znan, jasno pa je, da bi lahko v drugačnih okoliščinah
Prejet 8. januar, 2009
Odobren 15. februar, 2009
172   Kerin, Bizjak
(konfiguraciji omrežja, pretokih moči ipd) povzročila
aktiviranje zaščitnih sistemov.
Slika 1: Nizkofrekvenčno nihanje v UCTE.
Figure 1: Low-frequency oscillation at UCTE nodes.
Nihajne načine oscilacij določajo struktura in lastnosti
EES. Ugotavljamo jih z analizo lastnih vrednosti
pripadajočega matematičnega modela sistema. Lastne
vrednosti interpretiramo glede na tip in položaj v
kompleksni ravnini. Realne lastne vrednosti opisujejo
neoscilatorne nihajne načine, konjugirani kompleksni
pari pa oscilatorne.
Običajno orodje za identifikacijo lastnih vrednosti je
modalna analiza. To je metoda, ki temelji na analizi
Jacobijeve matrike modela sistema, lineariziranega
okoli izbrane delovne točke. Metodologija uporabe je na
voljo v [1], zahteva pa poznavanje konceptov lastnih
vektorjev, participacijskih faktorjev in residuumov.
Nihajne načine EES je mogoče ugotoviti tudi
drugače. Iz teorije spektralne analize signalov izvirajo
metode, s katerimi jih lahko določimo na podlagi
analize časovnega odziva sistema na motnjo (ali drugo
obliko vzbujanja). Tovrstna metoda je tudi metoda
Prony. Z metodo signalu nelinearnega odziva sistema
priredimo linearni model in na podlagi stopnje modela
ugotovimo nihajne lastnosti sistema. Vsaka komponenta
modela Prony ustreza enemu nihajnemu načinu
izraženem v odzivnem signalu. V članku podamo
matematično definicijo metode, metodologijo uporabe
na primeru velikega EES in izpostavimo ključne
lastnosti.
2 Metoda Prony
Metodo Prony je leta 1795 razvil Gaspard de Prony in
spada v sklop tako imenovanih parametričnih metod za
spektralno analizo signalov. Parametrične metode na
podlagi odziva (izmerjenega ali simuliranega)
vzbujenega nelinearnega sistema določijo linearni
model z lastnostmi originalnega sistema. Princip
konstrukcije modela temelji na empiričnem prilagajanju
funkcije (1) funkciji dejanskega odziva z izbiro
parametrov n sestavnih komponent.
( )
1
k
n
t
i k
k
x t R eλ
=
= ⋅∑  (1)
Parametri opisujejo nihajne lastnosti sistema v i-tem
stanju. Parameter Rk je kompleksen in določen z
začetnimi pogoji, λk je pripadajoča lastna vrednost.
Točnost modela zagotovimo z minimizacijo odstopanja
med originalno in modelirano funkcijo oziroma z
zadostitvijo pogoju (2).
2
1 1
min k i
N n
t
k i
i k
f R e yλ
= =
 
 = ⋅ −  
  
∑ ∑  (2)
Pri tem je n število ocenjenih nihajnih načinov in N
število vzorcev časovnega odziva yi vzbujenega sistema.
Po lastnostih je Prony analiza podobna Fourierevi
analizi. Pri slednji z uporabo hitre Fouriereve
transformacije (ang. Fast Fourier Transform - FFT)
poljuben signal razčlenimo na konsistentne frekvenčne
komponente, ki aproksimirajo fazni premik, amplitudo
in frekvenco sestavnih komponent originalnega signala.
Metoda Prony signal modelira še bolje, saj ga pretvori v
spekter dušenih sinusoid ter poleg frekvence, amplitude
in faznega premika ugotovi tudi dušenje posameznih
komponent signala. Primer prikazuje slika 2, kjer je y(t)
originalni signal in yk(t) komponente signala. Prony
model podaja enačba 3; parameter Bi določa amplitudo,
σi določa dušenje, ωi kotno hitrost in φi fazni premik i-
te komponente.
( ) ( )
( )
1
1
2 cos
i
i i
tq
i i ii
j tq
ii
y t B e t
A e
σ
σ ω
ω ϕ
−
=
− ±
=
= + =
= ⋅
∑
∑
(3)
Teorija in matematična utemeljitev metode Prony je
podana v [2]. Primerjava še z nekaterimi drugimi
parametričnimi metodami pa v [3].
y
(
t)
t [s]
y
(t
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
0
5
0
k
Originalni signal
Nihajne komponente signala
Slika 2: Nihajne komponente (yk)  signala y(t).
Figure 2: Prony components (yk) of the signal y(t).
Analiza oscilatorne stabilnosti elektroenergetskih sistemov z metodo Prony 173
2.1 Uporaba metode
Aplikacija metode je večstopenjska. Vključuje
regresivno prilagajanje modela originalnemu signalu,
iskanje korenov opisnih polinomov in določitev
koeficientov kompleksnih eksponentnih parametrov,
filtriranje korenov glede na dominantnost, optimizacijo
z metodo minimalnih kvadratov odstopanj in
konstrukcijo končnega modela.
Kot pri vseh tovrstnih metodah je ustreznost modela
Prony odvisna od kakovosti podatkov originalnega
signala. Zato je smiselno pred modeliranjem odstraniti
šume in tendence, zaradi katerih lahko model signala
napačno določimo. Še posebno je to pomembno pri
modeliranju oz. analizi izmerjenih signalov. Drugi
pomembni element metode je izbira reda modela. Z
redom modela določimo število residuumov pripadajoče
karakteristične enačbe modela. Red je navadno neznan
in ga določimo iterativno. Pri tem upoštevamo dve
merili: amplitudo residuumov in minimalno odstopanje
od originalnega signala. Nenapisano pravilo pravi, da
postopek začnemo z redom modela, ki je enak tretjini
razpoložljivih vzorcev originalnega signala, in ga
nadaljujemo v odvisnosti izpolnjevanja kriterijev. Če
model ni ustrezen, red povečamo, če je, red zmanjšamo
do stopnje, ko model še ustreza. S tem preprečimo
predimenzioniranost modela in skrajšamo čas računanja.
2.2 Računski primer
Za ponazoritev uporabnosti metode izvedemo analizo
nihajnih načinov modela velikega EES. Osnovne
značilnosti modela so: 500, 230, 115 kV in nižji
napetostni nivoji, 259 transformatorjev, 119
generatorjev in 515 daljnovodnih povezav. Osnovna
topologija 500- in 230 kV omrežja je narisana na sliki 3.
V analizi se osredotočimo na iskanje globalnih
nihanj med dvema generatorskima skupinama; prvo
skupino sestavlja 110 generatorjev iz območja 1, drugo
skupino sestavlja 9 generatorjev iz območja 2. Skupini
definiramo z vpeljavo centra vztrajnostnih mas oziroma
centra rotorskih kotov generatorjev (ang. Centre of
Angles - COA). Center rotorskih kotov generatorjev
poljubnega omrežja določa COAδ  v enačbi (4), kjer je
iδ  rotorski kot in iH  vztrajnostna konstanta i-tega
generatorja. Vsota vztrajnostnih mas TH  je določena z
izrazom (5).
1
1
n
COA i i
T i
H
H
δ δ
=
= ⋅∑  (4)
1
n
T i
i
H H
=
=∑  (5)
Slika 3: Topologija 500 kV in 230 kV modela omrežja.
Figure 3: Topology of the 500 kV and 230 kV network model.
V sklopu analize definiramo dva centra COA. S tem
namenom enačbo (4) prilagodimo v obliko, ki jo podaja
enačba (6), kjer je i število generatorjev v j-tem
območju omrežja.
1
1
n
območje j območje j območje j
i iCOA območje j
T i
H
H
δ δ
=
= ⋅∑  (6)
Dinamičen odziv modela spodbudimo z motnjo
normalnega obratovalnega stanja. Motnja je tripolni
kratki stik dolžine 100 ms na vozlišču West 1 v
območju 1. Simuliramo jo s simulacijskim orodjem
PSS™NETOMAC [4]. Odziv generatorskih skupin je
podan na sliki 4. Pričakovano, zaradi majhnega števila
generatorjev in njihovih dinamičnih lastnosti, druga
generatorska skupina niha proti prvi; pri tem prva
generatorska skupina zaradi veliko večje vztrajnosti
rotirajočih mas določa trend gibanja celotnega sistema.
Diagram je v koordinatah COA, kjer je ključna
medsebojna oddaljenost trajektorij generatorskih skupin
in ne oddaljenost od ordinatne osi.
C
O
A
[
°
]
Slika 4: Odziv generatorskih skupin na motnjo.
Figure 4: Dynamic behaviour of the generator groups after
system disturbance.
174   Kerin, Bizjak
Nihajne lastnosti območij sistema ugotovimo z analizo
signala prehodnega pojava. Vsak signal poda nihajne
lastnosti dela omrežja, ki ustreza definiciji posamezne
generatorske skupine. Postopek analize je za oba enak,
zato navajamo le podrobno analizo odziva generatorjev
skupine 2.
Nihajne lastnosti najlažje ugotovimo z analizo dela
signala z minimalno vsebnostjo visokofrekvenčnih
komponent in popačenj. Na sliki 5 tema pogojema
ustreza označeni del signala tik pred koncem časovne
osi. Izbrani del signala izrežemo in ga pred analizo
obdelamo. Prav tako bi lahko izbrali katerikoli drug del
signala.
C
O
A
[
°
]
Slika 5: Odziv generatorske skupine 2 na tripolni kratki stik.
Figure 5: Dynamic behavior of the generator group 2
following a three-phase fault at the 500 kV node West 1.
Izrezani del signala je prikazan na sliki 6. Delu
zmanjšamo število vzorcev in poskušamo odstraniti čim
večje število konstantnih komponent.
9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
90
91
92
93
94
95
96
97
Čas [s]
C
O
A
[
°
]
Original
Model Prony
Slika 6: Prony analiza odziva generatorske skupine 2.
Figure 6: Prony model of the generator group 2 response
signal.
Po predpripravi signal aproksimiramo z linearnim
modelom oziroma Prony modelom. Minimalni red
modela je odvisen od uporabljene kriterijske funkcije.
Bolj ko je kriterijska funkcija ostra, višji red je potreben
za zagotovitev ustrezne točnosti modela. Iskanje
ustreznega modela je iterativni postopek, kjer linearni
model postopoma prilagajamo originalnemu signalu.
V obravnavanem primeru izbrani kriterijski funkciji
(7) zadostimo z linearnim modelom 18. reda. To
pomeni, da je originalni signal ustrezno modeliran z
modelom (3) z 18 komponentami. Vsaka komponenta
poda en nihajni način, skrit v signalu. Osredinimo se le
na načine, ki so po amplitudi A dominantni.
5min 10f −<  (7)
Prony model izseka signala je podan na sliki 7.
Odstopanje med modelom Prony in originalnim
signalom je ponazorjeno na sliki 8; sliki kažeta dobro
prileganje modela dejanskemu signalu.
C
O
A
[
°
]
Slika 7: Prileganje modela Prony originalnemu signalu.
Figure 7: Prony approximation of the original signal.
K
v
a
d
ra
t
m
in
im
a
ln
e
g
a
o
d
st
o
p
a
n
ja
[1
0
]
-6
Slika 8: Odstopanje Prony modela reda 18 od originala.
Figure 8: Squared error for the Prony model of order 18.
Analiza oscilatorne stabilnosti elektroenergetskih sistemov z metodo Prony 175
Podobno kot za drugo generatorsko skupino analiziramo
tudi signal prehodnega pojava prve generatorske
skupine. Dominantni nihajni načini skupin so podani v
tabelah I in II.
TABELA I
DOMINANTNI NIHAJNI NAČINI GENERATORSKE SKUPINE 1
Način Amplituda [ °] Frekvenca [Hz]  Dušenje [%]
1 92.0 0.009 0.018
2 0.18 0.69 -0.016
3 0.16 0.49 -0.032
4 0.06 0.88 -0.1
TABELA II
DOMINANTNI NIHAJNI NAČINI GENERATORSKE SKUPINE 2
Način Amplituda [ °] Frekvenca [Hz]  Dušenje [%]
1 210.0 0.00 -0.07
2 6.70 0.50 -0.04
3 0.49 0.81 -0.12
4 0.06 1.10 -1.1
Tabeli podajata več načinov nizkofrekvenčnih oscilacij
v sistemu. Poleg dominantnih nihanj, ki večinoma
opisujejo globalna nihanja med območjema, so v obeh
skupinah prisotna tudi lokalna nihanja, kjer generatorji
znotraj skupine nihajo napram drug drugemu v
frekvenčnem spektru nad 1 Hz.
Vsi nihajni načini so stabilni in dušeni. Izjema je le
prvi nihajni način generatorske skupine 1. Skladno s
teorijo interpretacije komponent Pronyevega modela je
ta nihajni način nestabilen. To določa pozitiven
predznak amplitude dušenja. Pozitivno dušenje pomeni,
da sčasoma nizkofrekvenčno nihanje majhne amplitude
preraste v nihanje z naraščajočo amplitudo, ki raste čez
vse meje. Primer nestabilnega nizkofrekvenčnega
nihajnega načina je podan na sliki 9.
A
m
p
lit
u
d
a
[
p
.u
.]
Slika 9: Primer nestabilnega nihajnega načina; sčasoma
nihanje prerasete vse meje.
Figure 9: Example of an unstable oscillation mode swinging;
in respect to time, swinging progresses beyond limits.
V obravnavanem primeru pa nihajni način ni te vrste. Z
referenco na sliko 10 je ugotovljene parametre načina
mogoče razložiti kot Prony interpretacijo drsenja
faznega sistema omrežja. Fazni sistem določa relativni
položaj kazalcev omrežnih veličin, na primer napetosti
in tokov, in ga rišemo v kazalčni diagram. V
obravnavanem primeru se fazni sistem pod vplivom
motnje začne gibati in povzroči sinhrono drsenje
kazalcev spremenljivk stanj omrežja v določeni smeri.
Smer gibanja je odvisna od motnje in karakteristik
omrežja, pri drsenju pa se relativni položaj kazalcev
ohrani.
Trajektorija gibanja sistema je nazorno vidna na
sliki 10. Trend gibanja določajo generatorji skupine 1,
ki mu zaradi zadostnega sinhronizacijskega momenta
med območjema sledi skupina 2. Nihanje med
skupinama je dušeno in izzveni, sistem pa kljub drsenju
faznega sistema ohrani stabilnost pri prehodu v novo
obratovalno točko.
Slika 10: Drsenje kazalčnega sistema omrežja; sistem ohrani
stabilnost.
Figure 10: Drifting of the network phasor system; the system
remains stable.
2.3 Primerjava rezultatov
Rezultate metode Prony smo preverili s primerjalno
študijo, v kateri smo nihajne načine ugotavljali z analizo
lastnih vrednosti sistema (modalno analizo). Lastne
vrednosti smo izračunali s QR-algoritmom. Ugotovili
smo 770 lastnih nihajnih načinov sistema. Njihov
položaj v kompleksni ravnini prikazuje slika 11.
Primerjava z obema metodama ugotovljenih nihajnih
načinov potrdi ustreznost rezultatov. Lastne vrednosti
modalne analize, prav tako kot komponente modela
Prony, kažejo na dominantnost globalnih nihanj v
sistemu, v frekvenčnem spektru od 0.5 do 0.8 Hz. Še
več, položaj lastne vrednosti v koordinatnem izhodišču
kompleksne ravnine razkrije gibljiv sistem faznih
kazalcev omrežja, kar ustreza že navedenim
ugotovitvam.
Razlike pa so v jakosti dušenja načinov. Metoda
lastnih vrednosti namreč poda večje dušenje kot model
Prony (tabela III). Tovrstna odstopanja med metodama
so znana in so že bila predmet razprav v strokovni
literaturi. So zaradi konceptualnih razlik v metodologiji
metod.
Metoda Prony obravnava sistem vključno z
nelinearnimi lastnostmi omrežja. Omogoča analizo
vpliva nelinearnosti na nihajne načine in oscilatorno
stabilnost, vendar je omejena z naborom informacij,
skritih v posameznem signalu odziva omrežja.
Nasprotno temelji analiza lastnih vrednosti na
linearizaciji opisnih enačb in ne upošteva nelinearnosti
sistema; omogoča pa identifikacijo vzrokov nihajnih
načinov, določitev lastnih vektorjev in participacijskih
176   Kerin, Bizjak
dejavnikov. Zato se za optimalno analizo v sklopu
razprave, ki sledi [5], priporoča kombinirana uporaba
obeh metod.
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Realna os
F
re
kv
e
n
ca
[
H
z]
Dominantni nihajni
načini
Lastna vrednost v
izhodišču
Dušenje 3.0%
Slika 11: Vsi nizkofrekvenčni nihajni načini sistema
izračunani s QR-algoritmom.
Figure 11: Oscillation modes of the system extracted by using
the QR-algorithm.
TABELA III
DOMINANTNE LASTNE VREDNOSTI
Način Lastna vrednost Frekvenca [Hz] Dušenje [%]
1 -0.072 +j 3.34 0.53 -2.1
2 -0.129 +j 4.39 0.69 -2.9
3 -0.172 +j 4.87 0.77 -3.5
3 Sklep
V tem delu je predstavljena analiza nizkofrekvenčnih
nihanj v elektroenergetskih sistemih z uporabo metode
Prony. Z metodo smo uspešno ugotovili dominantne
nihajne načine velikega elektroenergetskega omrežja.
Nihajne načine smo interpretirali na podlagi teoretičnih
postavk oscilatorne stabilnosti sistemov, interpretacijo
rezultatov pa preverili z analizo lastnih vrednosti
sistema.
S primerjavo rezultatov ugotovimo, da je metoda
Prony ustrezna alternativa za analizo nihajnih lastnosti
EES in učinkovito orodje za ugotavljanje oscilatorne
stabilnosti.
4 Zahvala
Delo je sofinancirala Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije v okviru raziskovalnega
programa P2-0356 “Elektroenergetski sistemi”.
5 Literatura
[1] Prabha Kundur, Power System Stability and Control,
Mc. Graw-Hill, Inc., ISBN 0-07-035958-X, 1994
[2] M.A. Johnson , I.P. Zarafonitis, M. Calligaris, ”Prony
Analysis and Power System Stability Some Recent
Theoretical and Applications Research”, In Proc. PES
Summer Meeting 2000, Vol. 3, pp 1918-1923
[3] J. J. Sanchez-Gasca and J. H. Chow, “Performance
Comparison of Three Identification Methods for the
Analysis of Electromechanical Oscillations”, IEEE
Transactions on Power Systems, Vol. 14, No. 3, August
1999
[4] PSS™NETOMAC, Power System Simulator, www.pss-
netomac.de
[6] D.N. Kosterev, C.W. Taylor, W.A. Mittelstadt, ''Model
Validation for the August 10, 1996 WSCC System
Outage'', IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 14,
No. 3, August 1999
Uroš Kerin je diplomiral na Fakulteti za elektrotehniko
Univerze v Ljubljani (2004). Istega leta je kot mladi
raziskovalec začel podiplomski študij na Katedri za
elektroenergetske sisteme in naprave. Njegovo raziskovalno
delo obsega dinamične analize velikih energetskih sistemov.
Trenutno področje njegovega dela je sigurnost in stabilnost
obratovanja elektroenergetskih sistemov.
Grega Bizjak je diplomiral, magistriral in doktoriral na
Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Po diplomi je
bil na specializaciji v podjetju Siemens AG v Erlangnu v
Nemčiji. Trenutno je zaposlen kot docent na Katedri za
elektroenergetske sisteme in naprave Fakultete za
elektrotehniko.
Njegovo raziskovalno področje zajema modeliranje elementov
elektroenergetskega sistema za potrebe digitalne simulacije s
poudarkom na stikalnih aparatih in simulacije prehodnih
pojavov v industrijskih omrežjih.