1 Uvod
V sklopu slovenskega elektroenergetskega sistema
obstajajo visokonapetostni daljnovodi (DV)  nazivne
napetosti 110 kV, 220 kV in 400 kV. Pri obravnavi
elektromagnetih polj je trebna pravilno upoštevati
vplivne veličine (napetost, tok, geometrijo), saj na
vrednost električne poljske jakosti (E) vpliva napetost
daljnovoda, ki za 110 kV napetostni nivo lahko doseže
123 kV, za 220 kV nivo je maksimalna  napetost 245
kV in za 400 kV sisteme je maksimalna napetost 420
kV. Na vrednost gostote magnetnega pretoka (B) vpliva
električni tok, ki teče po posameznem faznem vodniku.
Kjer so na 400 kV napetostnem sistemu montirani
vodniki Al/Fe 490/65, je po veljavnem standardu
najvišji dopustni tok (termični tok) takšnega enojnega
vodnika 960A. Ponavadi sta v snopu  dva vodnika, zato
je dopustni tok 2x960 A. Po literaturi [4], se je za
izračun elektromagnetnega sevanja upošteval tok 1600
A, ki je opredeljen s tokom merilnih transformatorjev.
Poleg obratovalne napetosti in toka na vrednost
elektromagnetnega polja vplivajo še geometrijski
parametri, med katere štejemo oddaljenosti delov pod
napetostjo ali delov, ki prevajajo električni tok do
opazovanega mesta. Za 400 kV napetostni nivo velja, da
je najmanjša varnostna razdalja do vodnika 8 m.
Prejet 25. maj, 2006
Odobren 27. julij, 2006
2 Ferlič, Trlep
Napetost sistema se med obratovanjem daljnovoda
bistveno ne spreminja, medtem ko so tokovi neposredno
odvisni od energije, ki jo v danem trenutku prenaša
daljnovod, in se zato spreminjajo od vrednosti nič do
mogoče trajno dopustne termične obremenitve vodnika.
Pri enosistemskih vodih se za prenos električne energije
uporablja en sistem, ki ga sestavljajo trije fazni vodniki,
medtem ko je pri dvosistemskih vodih šest faznih
vodnikov, razdeljenih v dva med seboj ločena sistema,
ki lahko neodvisno drug od drugega prenašata
električno energijo. Najneugodnejši primer tokovne
obremenitve dvosistemskega voda za prenos električne
obremenitve je, če prenaša električno energijo po obeh
sistemih v isto smer, kar je treba pri izračunu tudi
upoštevati.
S ciljem, da izračunamo največje vrednosti polja, je
mogoče za preprostejše primere uporabiti analitični
pristop s pomočjo Biot-Savart-ovega zakona, za
zahtevne primere pa je korekten samo numerični pristop
z uporabo 2D ali 3D izračunov. Pod daljnovodi je
največje polje zagotovo v ravnini največjega povesa,
zato je smiselna uporaba 2D izračunov s predpostavko,
da so vodniki ravni, neskončno dolgi in vzporedni z
zemljo, kar vpliva na nekoliko večji rezultat.
V nadaljevanju bo prikazan primer dvosistemskega
daljnovoda 400 kV Maribor–Krško in Maribor–Podlog,
pri katerih je smer pretoka električne energije nasprotna,
je pa treba v danem trenutku upoštevati fazni kot med
napetostjo in tokovi v različnih sistemih.
2 Teoretična podlaga
Elektromagnetno polje popolnoma opišemo s pomočjo
Maxwellovih enačb [1]. Pri poenostavljeni obravnavi
elektromagnetnega polja v okolici daljnovodov, ki je
uporabljena v članku, problem prevedemo na reševanje
2D statičnega oz. kvazistatičnega električnega in
magnetnega polja v ravnini X-Y, ki je prečno na smer
vodnikov daljnovoda. Tako lahko za elektrostatično
polje zapišemo naslednje enačbe:
rot E = 0 (1)
div D = ρ (2)
D = ε E (3)
E = − grad ϕ , (4)
pri čemer je:
E…električna poljska jakost,
D…gostota električnega pretoka,
ϕ…električni potencial,
ε…dielektričnost,
ρ…gostota prostorsko porazdeljene elektrine.
Funkcijo električnega potenciala ϕ določimo v
ravnini X-Y z rešitvijo t.i. Poissonove diferencialne
enačbe (5):
2 2
2 2x y
ϕ ϕ ρ
ε
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
(5)
Prav tako lahko za magnetostatično polje zapišemo
naslednje enačbe:
rot H = J (6)
div B = 0 (7)
B = µ H (8)
B = rot A , (9)
pri čemer je:
H…magnetna poljska jakost,
B…gostota magnetnega pretoka,
J…tokovna gostota,
A…magnetni vektorski potencial,
µ…permeabilnost.
Funkcijo magnetnega vektorskega potenciala A
določimo v ravnini X-Y z rešitvijo Poissonove
diferencialne enačbe (10):
2 2
2 2
z z
z
A A
J
x y
µ
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
, (10)
pri čemer sta Jz in Az z komponenti A oz. J.
Za reševanje Poissonove diferencialne enačbe
uporabimo metodo končnih elementov (MKE),  ki nam
zaradi svoje univerzalnosti omogoča reševanje
problema za poljubno geometrijo, poljubni material,
poljubno vzbujanje in poljubne robne pogoje [3]. V
nadaljevanju Poissonovo diferencialno enačbo za
elektrostatično in magnetostatično polje zaradi
preglednosti zapišemo za 2D problem v obliki [2]:
∇ε∇ϕ= ρ
ν∇ ∇ =A J (11)
Če uporabimo za formulacijo MKE metodo utežnih
ostankov, potem zapišemo izhodiščno enačbo v obliki
(12):
( ) 0g
S
W W dSε ϕ ρ∇ ∇ − =∫∫
( ) 0
S
W A WJ dSν ∇ ∇ − =∫∫ , (12)
pri čemer je W utežnostna funkcija.
Površino S oz. območje problema, kjer rešujemo,
razdelimo na Ne končnih elementov, ki imajo po n
vozlišč. Pri 2D problemih so to geometrijski liki, pri 3D
problemih pa geometrijska telesa, ki nam tvorijo mrežo
Analiza elektromagnetnega polja v okolici 400 kV daljnovodov 3
končnih elementov. Znotraj elementa prikažemo
spreminjanje potenciala s pomočjo interpolacijske
funkcije za 2D z N(x,y), in vozliščnih vrednosti
potenciala (φi oz. Ai):
1
n
i i
i
Nϕ ϕ
=
=∑
1
n
i i
i
A N A
=
=∑
(13)
Ko (13) vstavimo v (12), pri čemer upoštevamo še
W(x,y)=N(x,y), dobimo enačbo za vozlišče i:
1 1
0
e e
Ne n
e i j j i e
e jS S
N N dS N dSε ϕ ρ
= =
 
∇ ∇ − = 
 
∑ ∑∫∫ ∫∫
1 1
0
e e
Ne n
e i j j i e
e jS S
N N A dS N J dSν
= =
 
∇ ∇ − = 
 
∑ ∑∫∫ ∫∫
, (14)
pri čemer se indeksi i, j in e nanašajo pri že
omenjenih veličinah na vozlišče (i, j) oz. končni element
(e).
Zgornjo enačbo zapišemo za vsa vozlišča mreže,
upoštevajoč robne pogoje. Dobimo sistem algebraičnih
enačb za električno oz. magnetno polje (15):
[ ] { } { }S Dϕ ϕϕ =
[ ] { } { }A AS A D= (15)
Končna rešitev so vrednosti potenciala v vseh
vozliščih:
{ } [ ] { }1S Dϕ ϕϕ
−
=
{ } [ ] { }1A mkeA S D
−
= , (16)
pri čemer  sta [S] in {D} matrika sistema in vektor
desne strani za električno ([S]φ in  {D}φ) oz. za
magnetno ([S]A in  {D}A) polje. {φ} je vektor vozliščnih
vrednosti električnega potenciala, {A} pa vektor
vozliščnih vrednosti magnetnega potenciala.
Vrednosti potenciala znotraj končnega elementa pa
izračunamo z naslednjo enačbo:
1
n
i i
i
Nϕ ϕ
=
=∑
1
n
i i
i
A N A
=
=∑
(17)
3 Izračun elektromagnetnega sevanja
Podrobno je obdelan konkreten primer
obremenjevanja okolja z elektromagnetnim sevanjem
dvosistemskega daljnovoda 400 kV Maribor–Krško in
Maribor–Podlog na razpetini med stebroma SM št. 20 in
SM št. 21. Izračuni so opravljeni v dvodimenzionalni
dimenziji »2D« za efektivne vrednosti električne poljske
jakosti in gostote magnetnega pretoka na razdalji 1m od
tal pod daljnovodom, na liniji (L) največjega povesa
vodnikov. Izračuni so bili narejeni s programom
»POLJE« [3], ki uporablja metodo končnih elementov
(MKE). Prednosti uporabe MKE so, da v obravnavanem
področju rezultati izračuna lahko zajemajo tudi
ozemljene električno prevodne strukture, preostale
vodnike, po katerih teče tok, in zapletene topološke
strukture terena. Poleg tega nam MKE omogoča točnejši
opis geometrije problema, natančno upoštevanje
materialov, veliko točnost izračuna, možnost
opazovanja krajevne porazdelitve polja in možnost
upoštevanja časovno spremenljivega polja.
3.1 Izračun električne poljske jakosti
Presečna ravnina, v kateri se izvaja izračun, je profil,
ki ga je bilo treba modelirati za program »POLJE«.
Presečna ravnina je ponazorjena z likom (slika 1), ki
izhaja iz izmerjenih višin vodnikov in tipa modela
daljnovodnega stebra »sod«, katerega oglišča so fazni in
strelovodni vodniki.
Slika 1: Model daljnovoda
Figure 1: HVPL model
S pomočjo programa je bilo treba generirati mrežo oz.
razdeliti področje problema na končne elemente
(trikotnike) in definirati robne pogoje. Tla so na
električnem potencialu 0 V, enak potencial velja za vse
strelovodne vodnike. Potencial prenosnih vodnikov je
bil postavljen na dejanske vrednosti.
V izračunih so uporabljene povprečne vrednosti
napetosti, prikazane v tabeli 1, in sicer tiste, ki so bile
izmerjene v času terenskih meritev.
DV 400 kV Maribor–Krško in
Maribor-Podlog
Umax
(kV)
UPODLOG
(kV)
UKRŠKO
(kV)
Medfazna efektivna  napetost
(kV)
420 393 393
Fazna amplitudna napetost (kV) 342,9 320,9 320,9
Tabela 1: Napetosti daljnovodov
Table 1: HVPL voltages
4 Ferlič, Trlep
Zaradi sinusnega spreminjanja faznih napetosti oz.
potencialov posameznih faznih vodnikov do zemlje, ki
so med seboj premaknjene za električnih 120°, se s
časom spreminjata potencial, ki ga s programom
izračunamo na 1 m višine nad zemljo v amplitudnih
vrednostih, kakor tudi električna poljska jakost, ki je
odvod tega potenciala.
Dobljeni rezultat so izračunane vrednosti amplitud
potenciala oz. električne poljske jakosti, ki so podane v
osmih trenutkih za eno polperiodo.  Z obdelavo teh
rezultatov poiščemo maksimalno vrednost potenciala v
vsaki točki oddaljenosti od osi daljnovoda in ker se
potencial spreminja po sinusni odvisnosti, lahko
izračunamo efektivno vrednost potenciala in efektivno
vrednost električne poljske jakosti v vseh teh točkah.
Rezultati amplitudnih in efektivne vrednosti so
prikazani na sliki 2.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Oddaljenost od osi daljnovoda  (m)
E
le
kt
ri
čn
a
po
lj
sk
a
ja
ko
st
(k
V
/m
) t = 0,0 ms
t = 2,9 ms
t = 5,7 ms
t = 8,6 ms
Ef.vrednost
Slika 2: Vrednosti E na liniji L
Figure 2: Values of E on the line L
Primer oblike potenciala za daljnovod 400 kV tip sod,
ko je spodnja faza na maksimalnem potencialu 320,9
kV, srednja in zgornja faza pa na polovičnem
potencialu, nam prikazuje slika 3.
Slika 3: Porazdelitev potenciala
Figure 3: Electric potencial distribution
Pri izračunih efektivne električne poljske jakosti na
prej omenjeni razpetini 400 kV dvosistemskega
daljnovoda so upoštevane napetosti, ki so bile izmerjene
ob samih terenskih meritvah in napetosti, ki lahko
nastanejo kot maksimalne mogoče. Rezultati izračunov
efektivne poljske jakosti v odvisnosti od višine napetosti
so prikazani na sliki 4.
0
2
4
6
8
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Oddaljenost od osi daljnovoda  (m)
E
le
kt
ri
čn
a
po
ljs
ka
ja
ko
st
(k
V
) U = 420 kV
U = 393 kV
Slika 4: Efektivna vrednost E za različne napetosti
daljnovodov 400 kV na liniji L
Figure 4: RMS of E for different voltages of  HVPL on the
line L
3.2 Izračun gostote magnetnega polja
Za izračun gostote magnetnega polja je bilo najprej
treba razjasniti smeri in velikosti tokov. Smeri tokov sta
si nasprotovali, fazna kota pa glede na različne pretoke
delovne in jalove moči v posameznih 400 kV
daljnovodih Maribor–Krško in Maribor–Podlog nista
bila enaka. Srednje vrednosti posameznih tokov so
prikazane v tabeli 2, kazalčni diagram izračunanih
srednjih pretokov moči in tokov pa je prikazan na sliki
5.
DV 400 kV Maribor–Krško in
Maribor - Podlog
Imax
(A)
IPODLOG
(A)
IKRŠKO
(A)
Efektivna vrednost toka  (A) 1.600 398 358
Amplitudna vrednost toka (A) 2.263 595 502
Tabela 2: Tokovi v daljnovodih
Table 2: HPVL currents
Qkrško
105 MVA
Ppodlog
266 MW
Qpodlog
66 MVA
Ipodlog
398 A
25,214,0
Slika 5: Kazalčni  diagram srednjih pretokov moči in tokov
Figure 5: Phasor diagram of energy flows and currents
Dobljeni rezultati efektivne vrednosti magnetnega
potenciala za dejanske srednje tokove, ki so bili v
daljnovodu 400 kV Maribor–Krško 358 A in v
daljnovodu 400 kV Maribor–Podlog 398 A, so prikazani
na sliki 6. Na sliki 7 je prikazana primerjava med
efektivnimi vrednostmi gostote magnetnega polja pri
dejanskih prej navedenih tokovih in efektivnimi
Analiza elektromagnetnega polja v okolici 400 kV daljnovodov 5
vrednostmi gostote magnetnega polja pri maksimalnem
toku, ki bi lahko tekel v isto smer po obeh 400 kV
sistemih.
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Oddaljenost od osi daljnovoda  (m)
M
ag
ne
tn
ip
ot
en
ci
al
(m
V
s/
m
)
t = 0,0 ms
t = 2,9 ms
t = 5,7 ms
t = 8,6 ms
Ef. vrednost
Slika 6: Vrednosti magnetnega potenciala na liniji L
Figure 6: Values of magnetic potencial on the line L
0
5
10
15
20
25
30
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Oddaljenost od osi daljnovoda   (m)
G
os
to
ta
m
ag
ne
tn
eg
a
pr
et
ok
a
(µ
T)
Ip = Ik = 1600A
Ip = 398A,
Ik = 358A
Slika 7: Efektivna vrednost B za različne vrednosti in smeri
tokov v daljnovodih 400 kV
Figure 7: RMS B for different values and direction currents in
HVPL
4 Izvedba meritev
4.1 Meritve elektromagnetnega sevanja
Meritve elektromagnetnega sevanja smo izvedli na
dvosistemskem daljnovodu 400 kV Maribor–Podlog in
Maribor–Krško, med stebroma SM 20 in SM 21 na liniji
L najnižjega povesa vodnikov. Izbranih je bilo 40
merilnih točk, 35 m levo in desno od osi daljnovoda
(sliki 8 in 9). Merilne točke so bile med seboj oddaljene
1, 2 ali 5 metrov.
Slika 8: Določitev merilnih točk na liniji L
Figure 8: Determination of measurement points on the line L
Slika 9: Merilne točke pod daljnovodom
Figure 9: Measurement points under  HVPL
4.2 Meritev napetosti, tokov in moči
Vrednosti medfaznih napetosti in faznih tokov so
pridobljene iz merilnega sistema, vgrajenega v RTP
400/110 kV Maribor. Deklarirani skupni pogrešek
vgrajenega merilnega sistema je 5 %.  Izmerjene
vrednosti tokov so prikazane na slikah 10 in 11.
300
340
380
420
460
10:48 11:02 11:16 11:31 11:45 12:00 12:14 12:28 čas (ura)
T
ok
v
D
V
40
0
kV
M
ar
ib
or
-
Po
dl
og
(A
) Meritev toka
Srednja vrednost toka
Slika 10: Izmerjen tok v DV 400 kV Maribor–Podlog
Figure 10: Measured current of the 400 kV Maribor–Podlog
HVPL
300
340
380
420
460
10:48 11:02 11:16 11:31 11:45 12:00 12:14 12:28 čas (ura)
T
ok
v
D
V
40
0
kV
M
ar
ib
or
-K
rš
ko
(A
) Meritev toka
Srednja vrednost toka
Slika 11: Izmerjen tok v DV 400 kV Maribor–Krško
Figure 11: Measured current of the 400 kV Maribor–Krško
HVPL
6 Ferlič, Trlep
5 Primerjava izračunanih in izmerjenih
vrednosti
Izračunane vrednosti elektromagnetnih polj za
dvosistemski daljnovod 400 kV Maribor–Krško in
Maribor–Podlog na razpetini med SM 20 in SM 21
izhajajo iz srednje vrednosti napetosti in toka, ki so
dobljene iz povprečnih vrednosti, določene na podlagi
meritev v časovnem intervalu ene minute.
Podana je primerjava med izračunanimi in
izmerjenimi vrednostmi električne poljske jakosti, ki je
razvidna na sliki 12.
0
2
4
6
8
10
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Oddaljenost od osi daljnovoda  (m)
Ef
ek
tiv
na
el
ek
tri
čn
a
po
ljs
ka
ja
ko
st
(k
V
/m
)
Meritve E
Izračun E
Slika 12: Primerjava izračunanih in izmerjenih efektivnih
vrednosti E
Figure 12: Comparison between calculated and measured
values of E
0
2
4
6
8
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
O dda lj enost od osi da lj novoda   (m )
E
fe
kt
iv
na
go
st
ot
e
m
ag
ne
tn
eg
a
pr
et
ok
a
(µ
T
)
Me ritve  B
Izračun B ( Ip =  398A )
Izračun B ( Ip =  425A )
Izračun B ( Ip =  370A )
Slika 13: Preimerjava izračunanih in izmerjenih efektivnih
vrednosti B
Figure 13: Comparison between calculated and measured
values of B
Pri magnetnih poljih zaradi večjega nihanja toka in
vpliva različnih pretokov jalove in delovne komponente
moči izračunane vrednosti bolj odstopajo od merjenih
vrednosti kot pri električnem polju. V času meritev
elektromagnetnega polja je tok v daljnovodu 400 kV
Maribor-Podlog precej nihal med vrednostmi 370 A in
425 A, zato so na sliki 13 prikazani izračuni za tri
različne tokove v tem daljnovodu, za daljnovod 400 kV
Maribor–Krško pa je upoštevan konstanten tok 358 A.
6 Sklep
Ugotavljanje jakosti elektromagnetnega polja poteka
v dveh delih. V prvem delu se opravijo izračuni s
pomočjo računskega modela, v drugem pa sledijo
terenske meritve elektromagnetnega polja.
Pri analizi odstopanja izračunanih in izmerjenih
vrednosti je treba upoštevati dejstva, ki vplivajo na
točnost izračuna in točnost merilnega rezultata. Izračun
temelji na predpostavki, da so vodniki v presečni
ravnini vzporedni s podlago, v resnici pa se vodniki iz
presečne ravnine po parabolični krivulji dvigujejo proti
obesiščem na stebrih stojnih mest. Zato je v grafu
efektivnih vrednosti električne poljske jakosti in
efektivne gostote magnetnega polja razvidno, da je
izračunana vrednost pod daljnovodi nekoliko višja od
izmerjene vrednosti.
Veličine, ki ob pazljivem merilnem postopku in
ugodnih vremenskih dejavnikih, še najbolj vplivajo na
točnost merilnega rezultata so nihanje napetosti in
spreminjanje jakosti pretoka električne energije.
7 Literatura
[1] M. Trlep, Teoretska elektrotehnika, Fakulteta za
elektrotehniko Maribor, Maribor, 2003.
[2] M. Željeznov, Osnove teorije elektromagnetnega
polja, Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana,
Ljubljana, 1986.
[3] M. Trlep, Interna dokumentacija za programski
paket »POLJE«, Laboratorij za aplikativno
elektromagnetiko, FERI Maribor, 2002.
[4]Elektromagnetna sevanja električnih naprav in
postrojev v naravno in življensko okolje,
Elektroinštitut Milan Vidmar, referat št.: 1349,
Ljubljana, 1998.
Rado Ferlič je leta 2004 diplomiral na Fakulteti za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru. Od
leta 1991 je zaposlen v Elektro-Slovenija, kjer se ukvarja z
vzdrževanjem visokonapetostnih elektroenergetskih naprav.
Mladen Trlep je diplomiral leta 1979 na Fakulteti za
elektrotehniko v Ljubljani. Leta 1985 je magistriral, leta 1994
pa doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in
informatiko v Mariboru. Zaposlen je na Fakulteti za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Inštitutu za
močnostno elektrotehniko, kot redni profesor. Je vodja
laboratorija za Aplikativno elektromagnetiko. Njegovo
raziskovalno in pedagoško delo obsega razvoj in uporabo
numeričnih metod, predvsem: metode končnih elementov,
metode robnih elementov in hibridne metode, za izračun
elektromagnetnega polja, razvoj programske opreme za CAD
elektromagnetnih naprav in sistemov ter področje inverznih
problemov, električnih strojev in pogonov. Je član strokovnih
združenj ED, IEEE in ICS.