1 UVOD
Tankoplastne strukture, nanesene na nosilno plast, se
uporabljajo kot premazi z visoko ali nizko optično
odbojnostjo, oz. kot optična interferenčna sita,
ki prepuščajo, oz. odbijajo svetlobo določenih valovnih
dolžin. Za izračun odbojnosti tankoplastne strukture
se uporablja metoda prenosnih matrik (angl. TMM -
Transfer-Matrix Method) [1], [2] ali iz nje izpeljana
metoda karakterističnih matrik [3], [4]. Obe matrični
metodi predvidevata izotropne, homogene, optično ravne
in vzporedne tanke plasti, katerih debelina ne presega
velikostnega razreda valovne dolžine svetlobe. Lomni
količniki plasti so zato konstantni, razširjanje svetlobe
pa koherentno. Za izračun odbojnosti zadostuje enodi-
menzionalni model prereza strukture.
Predpostavka koherentnosti odpove v nosilni plasti,
ki je občutno debelejša od tankih plasti oz. od valovne
dolžine svetlobe. Tehnologija izdelave debelih plasti
ne omogoča popolne ravnosti in vzporednosti, zato je
Prejet 10. april, 2018
Odobren 10. julij, 2018
razširjanje svetlobe v debeli nosilni plasti nekoheren-
tno. Izračun odbojnosti z matričnimi metodami je tako
nepravilen (gl. sliko 3), ozka nihanja v odbojnostnem
spektru niso realna in so posledica napačne predpostavke
o koherentnem razširjanju svetlobe v nosilni plasti.
Pravilno odbojnost je mogoče izračunati s pov-
prečenjem koherentnih izračunov prek intervala različnih
debelin nosilne plasti [5]. Ker je za izračun povprečne
vrednosti potrebnih veliko koherentnih izračunov, je bilo
v preteklosti razvitih nekaj metod, ki poskušajo število
koherentnih izračunov zmanjšati. Metodi naključnih fa-
znih premikov [6] oz. naključnih debelin [7] opravita
povprečenje nad naključno izbranim vzorcem. Po drugi
strani metodi enakomernih faznih premikov [8] oz. ena-
komerno porazdeljenih debelin [9] opravita povprečenje
nad enakomerno porazdeljenim vzorcem.
V članku je predstavljen nov postopek izračuna
optične odbojnosti tankoplastne interferenčne strukture
z eno ali več nekoherentnimi nosilnimi plastmi. Za
primer strukture z eno nekoherentno plastjo je namesto
povprečenja prek velikega števila koherentnih izračunov
podan analitični izraz za določitev iskane povprečne
vrednosti. Postopek je nato razširjen na strukture s
poljubnim številom nekoherentnih plasti. Potreben je le
en koherenten izračun. Rezultati, pridobljeni s predlaga-
nim postopkom, so preverjeni s klasičnim numeričnim
povprečenjem koherentnih rezultatov prek intervala de-
belin nosilne plasti oziroma z uporabo GTMM [10] kot
referenčne metode.
ANALITIČNI IZRAČUN OPTIČNE ODBOJNOSTI TANKOPLASTNE STRUKTURE S POVPREČENJEM NEKOHERENTNE PLASTI 193
2 METODA PRENOSNIH MATRIK
Tankoplastna interferenčna struktura z eno nosilno pla-
stjo je prikazana na sliki 1. Sestavlja jo n plasti, od tega
m−1 tankih plasti na levi in n−m tankih plasti na desni
strani debele nosilne plasti. Nosilna plast je označena z
indeksom m, vpadni in izstopni medij pa z indeksoma
0 in n+ 1.
debela
nosilna plasttanke plasti tanke plasti
Ê+0 Ê
′+
1 Ê
+
1 Ê
′+
2 Ê
+
m−1 Ê
′+
m Ê
+
m Ê
′+
m+1 Ê
+
m+1 Ê
′+
m+2 Ê
+
n Ê
′+
n+1
1 . . . m m+1 . . .
Ê−0 Ê
′−
1 Ê
−
1 Ê
′−
2 Ê
−
m−1 Ê
′−
m Ê
−
m Ê
′−
m+1 Ê
−
m+1 Ê
′−
m+2 Ê
−
n Ê
′−
n+1 = 0
Slika 1: Tankoplastna interferenčna struktura z nosilno plastjo
Ê označuje tangencialno komponento kompleksne
amplitude električne poljske jakosti. Desno potujoči
valovi nosijo znak plus ( + ), levo potujoči pa minus
( − ). Strešica ( ˆ ) označuje kompleksno vrednost, črtica
( ′ ) pa Ê na desni strani meje dveh plasti. Prestopne
pogoje med dvema plastema podaja relacija
D̂j
[
Ê+j
Ê−j
]
= D̂j+1
[
Ê′+j+1
Ê′−j+1
]
j = 0, 1, . . . n , (1)
kjer D̂j pomeni kompleksno dinamično matriko medija
oz. j-te plasti:
D̂j =
[
1 1
η̂j −η̂j
]
j = 0, 1, . . . n+ 1 .
η̂j je kompleksna poševna valovna admitanca medija
oz. j-te plasti. Za vertikalno polarizacijo velja η̂j =
ŷj/ cos ϑ̂j , za horizontalno pa η̂j = ŷj cos ϑ̂j , pri
čemer je ŷj = y0N̂j kompleksna valovna admitanca
medija oz. j-te plasti, ϑ̂j pa kompleksni lomni kot
v j-ti plasti, ki sledi iz Snellovega lomnega zakona
N0 sinϑ0 = N̂j sin ϑ̂j . N̂j = nj − ikj je kompleksen
lomni količnik medija oz. j-te plasti. N0 in ϑ0 sta lomni
količnik brezizgubnega vpadnega medija in vpadni kot,
y0 je valovna admitanca vakuuma.
Zvezo med amplitudami Ê na levi in desni strani j-te
plasti podaja relacija
[
Ê′+j
Ê′−j
]
= P̂j
[
Ê+j
Ê−j
]
j = 1, 2, . . . n , (2)
kjer P̂j pomeni kompleksno fazno matriko j-te plasti:
P̂j =
[
eiδ̂j 0
0 e−iδ̂j
]
j = 1, 2, . . . n .
δ̂j = 2πN̂jdj cos ϑ̂j/λ0 je kompleksni fazni premik v j-
ti plasti. dj je debelina j-te plasti, λ0 pa valovna dolžina
v vakuumu.
Celotna struktura s slike 1 je z uporabo enačb (1) in
(2) popisana z
[
Ê+0
Ê−0
]
= T̂
[
Ê′+n+1
Ê′−n+1
]
=
[
T̂11 T̂12
T̂21 T̂22
] [
Ê′+n+1
Ê′−n+1
]
, (3)
pri čemer je T̂ = D̂−10
(∏n
j=1 D̂jP̂jD̂
−1
j
)
D̂n+1 kom-
pleksna prenosna matrika strukture. Iz enačbe (3) sledi
odbojnost, ki je enaka
R =
|Ê−0 |2
|Ê+0 |2
∣∣∣∣∣
Ê
′−
n+1
=0
=
|T̂21|2
|T̂11|2
. (4)
3 NEKOHERENTNO RAZŠIRJANJE
SVETLOBE V DEBELI PLASTI
Razdelek 2 matematično popisuje interferenco med de-
sno in levo potujočimi valovi v tankoplastni strukturi s
slike 1. Predpogoj za nastanek interference je koherentno
valovanje.
Koherentno svetlobo je mogoče dobiti le z laserjem.
Običajni viri svetlobe (sonce, svetilke ipd.) so neko-
herentni. Svetloba je izsevana ob naključnih prehodih
atomov med energijskimi nivoji. Celoten vir pravza-
prav tvori množica majhnih izvorov, ki ob naključnih
časih za kratek čas zasvetijo z različnimi valovnimi
dolžinami. Slika 2 simbolično prikazuje koherentno in
nekoherentno valovanje ene valovne dolžine. L pomeni
povprečno dolžino posameznega svetlobnega snopa in
je za nekoherentne vire navadno v velikostnem razredu
valovne dolžine svetlobe.
L → ∞
L
Slika 2: Svetlobno valovanje iz koherentnega (zgoraj) in ne-
koherentnega (spodaj) vira
Če je debelina tankoplastne strukture veliko manjša
od L, so posamezni snopi kljub nekoherentnemu sve-
tlobnemu viru dovolj dolgi za nastanek interference
med napredujočimi (desno potujočimi) in odbitimi (levo
potujočimi) valovi. Debelina nosilne plasti pa je ve-
liko večja od L. Posamezni snop ni dovolj dolg za
interferenco med valoma, odbitima na prednji in zadnji
strani. Informacija o fazi se v debeli nosilni plasti izgubi
oziroma enačba (2) v njej ne velja. Mavrične barve
milnih mehurčkov in enakomerna odbojnost/prosojnost
okenskega stekla sta vsakdanja primera interference pri
odboju od tanke plasti in nekoherentntnega razširjanja
svetlobe v debeli plasti.
Vendar pa debele plasti izkazujejo svojo nekoherentno
naravo tudi pri povsem koherentnem laserskem žarku,
čeprav je v tem primeru L veliko večji od debeline
194 PUHAN
debele plasti. Razlog je v natačnosti izdelave debele
plasti. Za nastanek interference bi morali biti površini
na obeh straneh povsem gladki in vzporedni oziroma
debelina plasti bi morala biti konstantna. Vendar se
debelina nosilne plasti v praksi spreminja tudi do nekaj
valovnih dolžin opazovane svetlobe, zato se val, odbit na
zadnji strani, vrne z naključno fazo, to je odvisno od de-
beline, na katero posamezni snop naleti. Potrebna bi bila
bistveno večja natančnost izdelave, kar pa je izjemno
težko doseči. Na drugi strani se za izdelavo tankih plasti
uporablja naparevanje, kar omogoča enakomeren nanos
materiala in s tem boljši nadzor nad debelino plasti.
4 POVPREČNA VREDNOST
Izračun odbojnosti z metodo prenosnih matrik (4) pred-
videva koherentno razširjanje svetlobe v vseh plasteh
interferenčne strukture, zato je rezultat napačen. Pravilno
vrednost odbojnosti je mogoče dobiti s povprečenjem
prek intervala debelin nosilne plasti dm, ki ustreza eni
periodi faznega zamika δm nosilne plasti, in je enak
1
2
λ0(Re
2N̂m −N20 sin2 ϑ0)−
1
2 .
Kot alternativa povprečenju je v tem razdelku predsta-
vljena analitična pot do pravilnega rezultata. V strukturo
na sliki 1 naj bo med nosilno plast m in prvo tanko
plast na desni strani m+1 dodana nova plast ∆. Lomni
količnik nove plasti naj bo enak realnemu delu kom-
pleksnega lomnega količnika nosilne plasti N∆ = nm
oz. nova plast je iz enakega materiala kot nosilna plast,
le da je brez izgub. Odbojnost nove strukture z dodano
plastjo ∆ je
R (δ∆) =
|T̂21lT̂11deiδ∆ + T̂22lT̂21de−iδ∆ |2
|T̂11lT̂11deiδ∆ + T̂12lT̂21de−iδ∆ |2
,
pri čemer sta T̂l in T̂d kompleksni prenosni matriki
plasti na levi in desni stani plasti ∆:
T̂l =
[
T̂11l T̂12l
T̂21l T̂22l
]
= D̂−10
(∏m
j=1 D̂jP̂jD̂
−1
j
)
D̂∆
T̂d =
[
T̂11d T̂12d
T̂21d T̂22d
]
=
= D̂−1∆
(∏n
j=m+1 D̂jP̂jD̂
−1
j
)
D̂n+1 ,
δ∆ = 2πN∆d∆ cosϑ∆/λ0 pa je njen fazni zamik. Ker
je plast ∆ brez izgub, je njen fazni zamik za N∆ ≥ N0
realen.
Odbojnost R (δ∆) je periodična funkcija faznega za-
mika δ∆ s periodo π. Do pravilne vrednosti odbojnosti
tankoplastne interferenčne strukture z nekoherentno no-
silno plastjo m s slike 1 je mogoče priti z izračunom
provprečne vrednoti funkcije R (δ∆):
R =
1
π
∫ π
0
R (δ∆) dδ∆ . (5)
Integral v enačbi (5) je analitično rešljiv. Tako je za R
mogoče izpeljati izraz:
R =
|T̂21l|2 +Rd|T̂22l|2∣∣∣|T̂11l|2 −Rd|T̂12l|2∣∣∣ +
Re(T̂11lT̂
∗
12lT̂
∗
21lT̂22l)
|T̂11lT̂12l|2
·
·

1− |T̂11l|2 +Rd|T̂12l|2∣∣∣|T̂11l|2 −Rd|T̂12l|2∣∣∣

 , (6)
pri čemer je Rd = |T̂21d|2/|T̂11d|2 odbojnost tankih
plasti na desni strani plasti ∆. Zvezdica ( ∗ ) označuje
konjugirano kompleksno vrednost.
Izraz (6) je mogoče zaporedno uporabiti tudi pri več
debelih nekoherentnih plasteh v interferenčni strukturi.
Določitev končne odbojnosti zahteva toliko iteracij, ko-
likor je nekoherentnih plasti. Če za prvo nekoherentno
plast označimo tisto, ki je najbliže vpadnemu mediju, za
zadnjo pa tisto, ki je najbliže izstopnemu mediju, je v
prvi iteraciji izračunana odbojnost od predzadnje neko-
herentne plasti do izstopnega medija. Vlogo vpadnega
medija v prvi iteraciji prevzame predzadnja nekoheren-
tna plast brez izgub. Izračunana odbojnost je odbojnost
desne strani Rd v drugi iteraciji, ko je upoštevana
predzadnja nekoherentna plast. Vlogo vpadnega medija
tokrat prevzame predpredzadnja nekoherentna plast. Po-
stopek se zaporedno nadaljuje do prve nekoherentne
plasti.
Postopek iz prejšnjega odstavka nakazuje, da v
primeru več kot ene nekoherentne plasti odbojnosti
ni mogoče izračunati s povprečenjem funkcije
R (δ∆1, δ∆2, . . . ). Končna skupna odbojnost ni pov-
prečna vrednost prek faznih zamikov vseh nekoherentnih
plasti, kar je v nasprotju s trditvami v [6], [7] in [8].
5 TESTNA PRIMERA
V potrditev pravilnosti predlaganega postopka sta v
tem razdelku predstavljena dva primera interferenčnih
struktur. Prva struktura ima eno debelo nekoherentno
nosilno plast, druga pa tri. Analitično izračunani poteki
odbojnosti prek izbranega intervala valovnih dolžin so
primerjani z rezultati, pridobljenimi s klasičnim nu-
meričnim povprečenjem. Pri večih nekoherentnih plasteh
rezultat, izračunan s klasičnim povprečenjem, ni pravi-
len, zato je dodan še referenčni rezultat, pridobljen z
GTMM.
5.1 Interferenčno sito z eno nekoherentno plastjo
Interferenčno sito je sestavljeno iz tankih plasti SiO2
in TiO2, ki so nanesene na zgornjo in spodnjo stran
debele steklene nekoherentne nosilne plasti. Vseh plasti
je 21 (n = 21), vpadni in izstopni medij pa je zrak
(N0 = N22 = 1). Interferenčna struktura je naslednja:
- 10 tankih plasti: SiO2 (vpadna plast) / TiO2 /
SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2
/ TiO2,
ANALITIČNI IZRAČUN OPTIČNE ODBOJNOSTI TANKOPLASTNE STRUKTURE S POVPREČENJEM NEKOHERENTNE PLASTI 195
- nosilna plast iz stekla Schott tipa N-FK58 in
- 10 tankih plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2
/ TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2
(izstopna plast).
Debelina vseh SiO2 plasti je 50 nm, plasti TiO2 pa
47 nm. Debelina steklene nosilne plasti je 0.5 mm.
Vrednosti kompleksnih lomnih količnikov v odvisnosti
od valovne dolžine svetlobe so za uporabljene materiale
na voljo v [11] za SiO2, [12] za TiO2 in [13] za steklo
Schott tipa N-FK58.
400 600 800 1000 1200 1400 λ0 [nm]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
R(λ0 )
RTMM 0 ◦
RTMM 45 ◦ hor
RTMM 45 ◦ ver
Rnum 0 ◦
Rnum 45 ◦ hor
Rnum 45 ◦ ver
Rpred 0 ◦
Rpred 45 ◦ hor
Rpred 45 ◦ ver
Slika 3: Spekter odbojnosti R (λ0) interferenčnega sita,
izračunan z metodo prenosnih matrik, z numeričnim pov-
prečenjem in po predlaganem postopku. Spekter je prikazan
pri vpadnih kotih ϑ0 = 0◦ in ϑ0 = 45◦ za vertikalno in
horizontalno polarizacijo.
Spekter odbojnosti R (λ0) interferenčnega sita je pri-
kazan na sliki 3. Slika kaže, da se analitično izračunane
odbojnosti po enačbi (6) povsem ujemajo z vrednostmi,
pridobljenimi z numeričnim povprečenjem. Pri tem je
bilo numerično povprečenje izvedeno na sto koherentnih
rezultatih, enakomerno porazdeljenih prek ene periode
faznega zamika nosilne plasti. Oziroma, izraženo s
spremembo debeline nosilne plasti, prek intervala de-
belin
[
d11 − ∆d112 , d11 +
∆d11
2
]
, pri čemer je ∆d11 =
1
2
λ0(Re
2N̂11 − N20 sin2 ϑ0)−
1
2 . Indeks 11 je za dani
primer interferenčne strukture zaporedni indeks neko-
herentne nosilne plasti.
Na sliki 3 so dodani tudi poteki odbojnosti R (λ0),
če je nosilna plast obravnavana kot povsem koherentna
plast. V spektru so dobro vidna ozka nefizikalna nihanja
odbojnosti.
5.2 Interferenčna struktura z več nekoherentnimi
plastmi
Struktura je sestavljena iz treh debelih steklenih ne-
koherentnih plasti, med katerimi so tanke plasti SiO2 in
TiO2. Vseh plasti je 19 (n = 19), vpadni in izstopni
medij pa je zrak (N0 = N20 = 1). Interferenčna
struktura je naslednja:
- štiri tanke plasti: SiO2 (vpadna plast) / TiO2 /
SiO2 / TiO2,
- nekoherentna plast iz stekla Schott tipa N-FK58,
- štiri tanke plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2,
- nekoherentna plast iz stekla Schott tipa LASF35,
- štiri tanke plasti: SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2,
- nekoherentna plast iz stekla Schott tipa N-FK58
in
- štiri tanke plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2
(izstopna plast).
Enako kot v primeru 5.1 je debelina vseh SiO2 plasti 50
nm, plasti TiO2 pa 47 nm. Debelina vseh nekoheren-
tnih steklenih plasti je 0.5 mm. Vrednosti kompleksnih
lomnih količnikov so na voljo v [11], [12] in [13].
400 nm 0◦ 45◦
hor
45◦ver 89
◦
hor
89◦ver errmax
1 99.4 97.0 93.8 100.0 99.5 15.2
2 84.3 89.8 79.8 99.4 97.6 2.8
5 89.2 93.0 85.1 99.8 95.8 4.5
10 90.3 94.4 85.4 99.4 96.3 4.9
20 90.4 94.2 85.4 99.6 96.2 4.8
50 90.4 94.2 85.4 99.5 96.2 4.8
100 90.4 94.2 85.4 99.5 96.2 4.8
pred 86.7 90.7 81.5 99.3 95.5 0.0
GTMM 86.7 90.7 81.5 99.3 95.5
800 nm 0◦ 45◦
hor
45◦ver 89
◦
hor
89◦ver errmax
1 86.8 13.5 0.1 99.9 81.0 98.9
2 12.1 27.4 10.1 98.6 96.3 3.9
5 12.0 26.7 9.8 97.4 94.5 1.9
10 12.0 26.7 9.8 97.4 92.8 0.8
20 12.0 26.7 9.8 97.8 92.8 0.8
50 12.0 26.7 9.8 97.8 92.8 0.8
100 12.0 26.7 9.8 97.8 92.8 0.8
pred 11.9 26.5 9.8 97.5 92.7 0.0
GTMM 11.9 26.5 9.8 97.5 92.7
Tabela 1: Vrednosti odbojnosti R (λ0) interferenčne strukture
s tremi nekoherentnimi plastmi pri valovni dolžini svetlobe
λ0 = 400 nm in 800 nm. Odbojnosti so izračunane z
numeričnim povprečenjem, s predlaganim postopkom in z
GTMM pri vpadnih kotih ϑ0 = 0◦, 45◦ in 89◦ za verti-
kalno in horizontalno polarizacijo. Pri rezultatih, izračunanih
z numeričnim povprečenjem, prvi stolpec podaja število ena-
komerno porazdeljenih faznih zamikov posamezne nekoheren-
tne plasti, uporabljenih za izračun povprečja. Vse odbojnosti
so podane v odstotkih. Zadnji stolpec podaja največje rela-
tivno odstopanje od vrednosti GTMM. Pri tem je errmax =
max
|R(ϑ0,pol)−RGTMM|
RGTMM
100%, ϑ0 ∈ {0◦, 45◦, 89◦}, pol ∈
{hor, ver}.
Analitično izračunane odbojnosti po enačbi (6), tj. vr-
stici pred v tabeli 1, se povsem ujemajo z referenčnimi
vrednostmi GTMM. Povprečenje prek ene periode fa-
znega zamika po posameznih nekoherentnih plasteh to-
krat ne da pravilnega rezultata, kot v primeru 5.1 z eno
nosilno plastjo. Napaka se z večanjem števila enako-
merno porazdeljenih faznih zamikov sicer zmanjšuje,
vendar tudi ob zelo velikem številu nekoherentnih
izračunov ne pade na nič. Oziroma, za splošni primer z
l nekoherentnimi plastmi z indeksi m1,m2, . . .ml lahko
sklepamo, da velja
RGTMM = err +
1
∆dm1 . . .∆dml
·
·
∫ dm1+ ∆dm12
dm1−
∆dm1
2
· · ·
∫ dml+ ∆dml2
dml−
∆dml
2
R ddm1 . . . ddml ,
196 PUHAN
pri čemer je sprememba debeline mo-te nekoherentne
plasti, ki se izrazi v eni periodi faznega zamika, enaka
∆dmo =
λ0
2
√
Re2N̂mo −N20 sin2 ϑ0
o = 1, 2, . . . l ,
napaka err pa je na splošno različna od nič.
V obravnavani interferenčni strukturi s tremi nekohe-
rentnimi plastmi (l = 3) so zaporedni indeksi debelih
steklenih plasti enaki m1 = 5, m2 = 10 in m3 = 15.
6 SKLEP
V članku je izpeljan nov postopek izračuna optične
odbojnosti tankoplastne interferenčne strukture z eno
ali več debelimi nekoherentnimi plastmi. Predlagana
metoda temelji na metodi prenosnih matrik. Klasično
modeliranje nekoherentnih plasti s povprečjem koheren-
tnih rezultatov je nadomeščeno s povprečenjem prek
dodatnih brezizgubnih plasti.
Z dodajanjem enakovrednih brezizgubnih plasti za
nekoherentnimi plastmi postane povprečenje analitično
rešljiv problem. To pomeni, da je za izračun končne
odbojnosti potreben le en koherenten izračun. Pravilnost
postopka je preverjena na dveh primerih z eno in s
tremi nekoherentnimi plastmi. Primerjava rezultatov z
referenčnimi vrednostmi GTMM v celoti potrdi verodo-
stojnost predlaganega postopka, medtem ko se izkaže,
da klasično povprečenje v primerih z več kot eno neko-
herentno plastjo odpove.
ZAHVALA
Raziskavo je omogočilo Ministrstvo za visoko šolstvo,
znanost in tehnologijo Republike Slovenije v okviru pro-
grama P2-0246 - Algoritmi in optimizacijski postopki v
telekomunikacijah.